20. Equilibrio de una partícula y fuerzas concurrentes

20.1 Qué significa equilibrio

La segunda ley de Newton establece que ΣF = ma. Para un cuerpo de masa positiva, si la fuerza resultante es cero, su aceleración también es cero:

La velocidad no cambia. El cuerpo puede permanecer en reposo o moverse en línea recta con velocidad constante. Por eso el equilibrio traslacional no es sinónimo exclusivo de reposo.

20.2 Equilibrio estático y dinámico

En ambos casos a = 0 y se cumple la misma condición sobre las fuerzas. Una fotografía puede mostrar un objeto en una posición, pero no basta para decidir qué tipo de equilibrio tiene: también necesitamos conocer su velocidad.

20.3 El modelo de partícula

Consideramos una partícula cuando el tamaño, la forma y la orientación del cuerpo no son relevantes para la pregunta. Todas las fuerzas del diagrama se representan aplicadas en un mismo punto.

Las fuerzas son concurrentes cuando sus líneas de acción se encuentran en un punto. Bajo el modelo de partícula solo estudiamos el equilibrio traslacional.

Los momentos de fuerza y el equilibrio rotacional se reservarán para el curso de Movimiento Circular y Rotaciones.

20.4 Una ecuación vectorial

Si sobre la partícula actúan n fuerzas externas:

Esta igualdad exige que la suma sea cero en todas las direcciones. No alcanza con que los módulos “parezcan compensarse”: importan dirección y sentido.

La condición también puede interpretarse geométricamente. Al colocar los vectores uno a continuación del otro, el polígono de fuerzas debe cerrar.

20.5 Ecuaciones por componentes en dos dimensiones

En un plano, la ecuación vectorial equivale a dos ecuaciones escalares independientes:

Una fuerza de módulo F que forma un ángulo θ medido desde +x tiene componentes:

Los signos surgen del cuadrante. Conviene calcular componentes vectoriales antes de plantear las ecuaciones, en lugar de asignar signos de memoria.

20.6 Elegir ejes convenientes

La condición de equilibrio no depende de la orientación de los ejes, pero una elección apropiada simplifica el álgebra. Es útil alinear un eje con una superficie, una cuerda o una fuerza desconocida.

• En una superficie horizontal suelen resultar naturales los ejes horizontal y vertical.
• Junto a una superficie inclinada pueden elegirse ejes paralelo y perpendicular.
• Si varias fuerzas ya están expresadas en coordenadas cartesianas, conviene conservar esa base.

Todas las fuerzas deben descomponerse en la misma base antes de sumarlas.

20.7 Construir el diagrama de cuerpo libre

1. Elegí la partícula o el objeto modelado como partícula.
2. Aislalo mentalmente de su entorno.
3. Identificá cada interacción externa: peso, normales, tensiones, rozamiento o fuerzas aplicadas.
4. Dibujá un vector por fuerza y rotulá agente y receptor cuando sea necesario.
5. Indicá los ejes y los ángulos usados.

No se dibujan fuerzas internas del sistema ni los pares de reacción que actúan sobre otros cuerpos.

20.8 Equilibrio bajo dos fuerzas

Si solo actúan dos fuerzas sobre una partícula en equilibrio, deben tener igual módulo, la misma dirección y sentidos opuestos:

Una lámpara suspendida en reposo de una cuerda vertical es un ejemplo: la tensión equilibra al peso. Si las dos fuerzas no fueran colineales, su suma no podría ser cero.

Que se equilibren no las convierte en un par de acción y reacción: ambas actúan sobre la misma partícula.

20.9 La fuerza equilibrante

La resultante de un conjunto de fuerzas es R = ΣF. La fuerza que debe agregarse para producir equilibrio se llama equilibrante:

La equilibrante tiene el mismo módulo que la resultante, pero dirección opuesta. No es “la resultante con otro nombre”: es una fuerza adicional capaz de anularla.

20.10 Ejemplo con tres fuerzas

Sobre una argolla actúan F1 = (30; 0) N y F2 = (0; 40) N. Para mantenerla en equilibrio, una tercera fuerza debe cumplir:

Su módulo es √(30² + 40²) = 50 N. Su dirección apunta hacia el tercer cuadrante. Al sumar componente por componente se obtiene exactamente (0; 0) N.

20.11 Incógnitas y cantidad de ecuaciones

En dos dimensiones disponemos de dos ecuaciones independientes. Por eso normalmente podemos determinar como máximo dos incógnitas escalares independientes a partir del equilibrio, siempre que las ecuaciones no sean redundantes.

Una tensión desconocida con dirección conocida aporta una incógnita: su módulo. Una fuerza cuya dirección también se desconoce suele aportar dos incógnitas, por ejemplo Fx y Fy.

Tener igual cantidad no garantiza por sí solo una solución física: también deben respetarse condiciones como T ≥ 0, N ≥ 0 y el límite del rozamiento estático.

20.12 Equilibrio en tres dimensiones

Si las fuerzas no pertenecen a un mismo plano, la condición vectorial produce tres ecuaciones:

Una fuerza escrita como F = (Fx; Fy; Fz) debe sumarse componente a componente. Si conocemos dos fuerzas, la equilibrante se obtiene negando cada componente de su resultante.

La estrategia es la misma que en dos dimensiones; solo aparece una ecuación independiente adicional.

20.13 Actividad interactiva: construir la equilibrante

Modificá los módulos y ángulos de dos fuerzas. El laboratorio suma sus componentes y construye una tercera fuerza que cierra el polígono vectorial.

20.14 Sumar fuerzas y calcular la equilibrante con JavaScript

Podemos representar cada fuerza mediante sus componentes y reutilizar operaciones vectoriales sencillas:

function desdePolar(moduloN, anguloGrados) {
  const rad = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return { x: moduloN * Math.cos(rad), y: moduloN * Math.sin(rad) };
}

function sumar(vectores) {
  return vectores.reduce(
    (suma, vector) => ({ x: suma.x + vector.x, y: suma.y + vector.y }),
    { x: 0, y: 0 }
  );
}

function equilibrante(fuerzas) {
  const resultante = sumar(fuerzas);
  return { x: -resultante.x, y: -resultante.y };
}

const fuerzas = [desdePolar(30, 0), desdePolar(40, 90)];
console.log(equilibrante(fuerzas));
// Aproximadamente { x: -30, y: -40 }

La pequeña componente horizontal que puede aparecer al calcular cos(90°) se debe al punto flotante. Para verificar equilibrio se usa una tolerancia:

function estaEnEquilibrio(fuerzas, toleranciaN = 1e-9) {
  const resultante = fuerzas.reduce(
    (suma, fuerza) => ({ x: suma.x + fuerza.x, y: suma.y + fuerza.y }),
    { x: 0, y: 0 }
  );

  return Math.hypot(resultante.x, resultante.y) <= toleranciaN;
}

const sistema = [
  { x: 30, y: 0 },
  { x: 0, y: 40 },
  { x: -30, y: -40 }
];
console.log(estaEnEquilibrio(sistema)); // true

20.15 Comprobar una solución

Una respuesta no queda verificada solo porque se despejaron las incógnitas. Conviene realizar controles independientes:

• Suma: sustituir los valores y comprobar que cada componente resulte cero dentro de la tolerancia elegida.
• Unidades: todos los términos de una ecuación de fuerzas deben expresarse en newtons.
• Signos: un resultado negativo puede indicar que el sentido real es opuesto al supuesto.
• Restricciones: una cuerda no puede tener tensión negativa y una superficie ideal no puede ejercer una normal negativa.
• Orden de magnitud: comparar con pesos y fuerzas conocidas del problema.

En mediciones reales, la resultante rara vez será exactamente cero. Se define una tolerancia coherente con la incertidumbre de los datos.

20.16 Errores frecuentes

20.17 Ejercicios propuestos

1. Sobre una partícula actúan F1 = (12; −5) N y F2 = (−4; 9) N. Calculá la equilibrante.
2. Dos fuerzas de 35 N y 20 N apuntan respectivamente a 0° y 90°. Calculá módulo y ángulo de la equilibrante.
3. Una lámpara de 8 kg cuelga inmóvil de una cuerda vertical. Calculá la tensión con g = 9,81 m/s².
4. Una argolla recibe una fuerza de 60 N hacia la derecha y otra de 80 N hacia arriba. Determiná la tercera fuerza necesaria para equilibrarla.
5. En tres dimensiones actúan (10; −5; 4) N y (−3; 2; 8) N. Hallá la equilibrante.
6. Explicá por qué dos fuerzas de 10 N perpendiculares entre sí no pueden equilibrarse mutuamente.

20.18 Ideas para recordar

• El equilibrio traslacional exige ΣF = 0.
• Puede haber equilibrio con reposo o con velocidad constante.
• En dos dimensiones deben cumplirse dos ecuaciones independientes; en tres dimensiones, tres.
• La equilibrante es la opuesta de la resultante de las demás fuerzas.
• Las condiciones físicas de tensiones, normales y rozamiento también deben verificarse.
• El modelo de partícula no permite decidir si un cuerpo extenso puede girar.

En el próximo tema aplicaremos estas herramientas y la segunda ley a situaciones dinámicas sobre planos inclinados.