21. Dinámica en planos inclinados

21.1 Por qué estudiar un plano inclinado

Rampas, pendientes y superficies oblicuas aparecen en máquinas, vehículos y escenarios de simulación. La dificultad no proviene de una ley física diferente, sino de que el peso ya no es paralelo ni perpendicular a la superficie.

Las mismas leyes de Newton siguen siendo válidas. La clave consiste en elegir ejes adaptados al contacto, descomponer correctamente las fuerzas y distinguir si el cuerpo permanece adherido o desliza.

21.2 Ejes paralelo y perpendicular

Para un plano que forma un ángulo θ con la horizontal elegimos normalmente:

Esta base gira junto con la superficie. La normal queda sobre el eje n y el rozamiento sobre el eje t, lo que reduce la cantidad de fuerzas que deben descomponerse.

21.3 Componentes del peso

El peso P = mg continúa apuntando verticalmente hacia abajo. En los ejes vinculados al plano, sus módulos son:

No son dos fuerzas adicionales: son las componentes de un único vector peso. La relación puede comprobarse mediante Pitágoras:

21.4 Calcular la fuerza normal

Si el bloque permanece en contacto con un plano fijo y no existen otras fuerzas con componente perpendicular, su aceleración normal es cero:

Por tanto:

Esta igualdad es un resultado del caso, no una definición. Una fuerza oblicua, una aceleración normal o la pérdida de contacto pueden modificarla.

21.5 Plano ideal sin rozamiento

Si no hay rozamiento ni otras fuerzas paralelas, la componente tangencial del peso es la fuerza resultante. Tomando positivo cuesta abajo:

Al dividir por la masa:

Dentro de este modelo la aceleración no depende de la masa. Cuando θ = 0°, vale cero; al acercarse θ a 90°, se aproxima a g.

21.6 El signo depende de la convención

Si elegimos +t cuesta abajo, la componente tangencial del peso es positiva. Si elegimos +t cuesta arriba, es negativa. El movimiento físico no cambia.

También debemos distinguir velocidad y aceleración. Un bloque puede estar subiendo por el plano mientras la aceleración apunta cuesta abajo; en ese caso reduce su rapidez hasta detenerse.

21.7 Reposo con rozamiento estático

Un bloque sin otras fuerzas tendería a deslizar cuesta abajo. Para mantenerlo en reposo, el rozamiento estático debe apuntar cuesta arriba y equilibrar mg sen(θ):

El contacto solo puede proporcionar hasta fs,max = μsN = μsmg cos(θ). Por lo tanto, el reposo es posible cuando:

Si se cumple la desigualdad, el rozamiento real es el necesario, no necesariamente el máximo.

21.8 Ángulo crítico e inicio del deslizamiento

El deslizamiento es inminente cuando el rozamiento estático alcanza su límite:

Por debajo del ángulo crítico, el bloque puede permanecer en reposo. Por encima, la hipótesis estática deja de ser compatible con las ecuaciones y comienza una nueva etapa con deslizamiento.

En el valor exacto del umbral el sistema es muy sensible a pequeñas perturbaciones e incertidumbres de los datos.

21.9 Deslizamiento cuesta abajo con rozamiento cinético

Si el bloque desliza cuesta abajo, el rozamiento cinético apunta cuesta arriba. Con +t cuesta abajo:

La aceleración resulta:

Si el resultado es positivo, aumenta la rapidez cuesta abajo. Si es negativo, el bloque se frena mientras todavía desliza en ese sentido. Al llegar a velocidad cero debe reevaluarse el contacto.

21.10 Fuerza aplicada paralela al plano

Supongamos que una fuerza F tira cuesta arriba de un bloque que desliza cuesta abajo. El rozamiento también apunta cuesta arriba. Con positivo cuesta abajo:

Si el bloque, en cambio, desliza cuesta arriba, el rozamiento cambia de sentido y apunta cuesta abajo:

La fórmula depende del estado y del sentido de deslizamiento. Dibujar primero los vectores evita memorizar expresiones incompatibles entre sí.

21.11 Fuerza oblicua y modificación de la normal

Una fuerza aplicada que forma un ángulo φ por encima del plano tiene una componente que aleja al bloque de la superficie. Mientras se mantiene el contacto sin aceleración normal:

Su componente paralela es F cos(φ). Como el rozamiento depende de N, la componente perpendicular modifica indirectamente la dinámica tangencial.

Si el cálculo exige N < 0, la superficie tendría que tirar del bloque. Eso es imposible en el modelo ideal: el contacto se pierde y debe analizarse otra etapa con N = 0.

21.12 Un problema por etapas

En un plano con rozamiento no conviene comenzar escribiendo una fórmula de aceleración. Primero hay que determinar el estado del contacto:

1. Suponer que el bloque no desliza y calcular el rozamiento estático necesario.
2. Compararlo con μsN.
3. Si alcanza, la aceleración tangencial es cero.
4. Si no alcanza, rechazar el reposo y pasar al modelo cinético con μk.
5. Si posteriormente la velocidad llega a cero, volver a comprobar el estado estático.

Este enfoque por estados evita usar simultáneamente rozamiento estático y cinético sobre el mismo contacto.

21.13 Actividad interactiva: reposo o deslizamiento

Elegí el modelo de contacto y modificá el ángulo. En modo estático se comprueba si el reposo es posible; en modo cinético se supone que el bloque ya desliza cuesta abajo.

21.14 Implementar ambos estados con JavaScript

Una función puede comprobar el reposo sin inventar una aceleración cuando el modelo estático falla:

function comprobarReposoEnPlano(masaKg, anguloGrados, muEstatico, g = 9.81) {
  const angulo = anguloGrados * Math.PI / 180;
  const normalN = masaKg * g * Math.cos(angulo);
  const necesarioN = masaKg * g * Math.sin(angulo);
  const maximoN = muEstatico * normalN;

  return {
    normalN,
    necesarioN,
    maximoN,
    puedePermanecerEnReposo: necesarioN <= maximoN + 1e-9
  };
}

console.log(comprobarReposoEnPlano(10, 25, 0.5));

Si sabemos que el cuerpo desliza cuesta abajo, usamos el coeficiente cinético:

function aceleracionCuestaAbajo(anguloGrados, muCinetico, g = 9.81) {
  const angulo = anguloGrados * Math.PI / 180;
  return g * (Math.sin(angulo) - muCinetico * Math.cos(angulo));
}

console.log(aceleracionCuestaAbajo(30, 0.2).toFixed(2)); // 3.21 m/s²

Un resultado negativo no invalida la función: significa que la aceleración apunta cuesta arriba mientras la velocidad asumida todavía apunta cuesta abajo. La fórmula solo corresponde a esa etapa de deslizamiento.

21.15 Casos límite y verificaciones

También debe comprobarse dimensionalmente que las componentes y la normal se expresen en newtons, mientras que la aceleración se exprese en m/s².

21.16 Errores frecuentes

21.17 Ejercicios propuestos

1. Un bloque de 8 kg está sobre un plano sin rozamiento de 30°. Calculá la normal y la aceleración cuesta abajo.
2. Un bloque se encuentra en un plano de 25° con μs = 0,50. Determiná si puede permanecer en reposo.
3. Un bloque desliza cuesta abajo por un plano de 35° con μk = 0,20. Calculá su aceleración.
4. Una caja de 12 kg desliza cuesta abajo por un plano de 20°. Una fuerza paralela de 25 N tira cuesta arriba y μk = 0,15. Hallá la aceleración tangencial.
5. Calculá el ángulo crítico para μs = 0,65.
6. Una fuerza oblicua reduce a cero la normal calculada. Explicá qué ocurre con el modelo de contacto.

21.18 Ideas para recordar

• Los ejes paralelo y perpendicular al plano simplifican las ecuaciones.
• El peso se descompone como mg sen(θ) y mg cos(θ).
• La normal del caso simple es N = mg cos(θ), no mg.
• Antes de calcular una aceleración con rozamiento debe decidirse el estado del contacto.
• El rozamiento estático se compara con su máximo; el cinético se opone al deslizamiento.
• Cuando cambia el sentido de la velocidad o se pierde el contacto, comienza una nueva etapa.

En el próximo tema estudiaremos cómo analizar varios cuerpos conectados mediante restricciones geométricas y una aceleración común.