22. Cuerpos conectados, restricciones y aceleración común

22.1 Del cuerpo aislado al sistema conectado

Hasta ahora analizamos principalmente un cuerpo por vez. En muchos mecanismos, varias piezas están unidas mediante cuerdas, cables, barras o contactos que limitan su movimiento relativo.

La conexión no reemplaza las leyes de Newton. Añade una restricción: una relación geométrica que las posiciones permitidas deben cumplir en todo instante.

22.2 Restricción de una cuerda recta e inextensible

Dos bloques se mueven sobre la misma línea y están unidos por una cuerda ideal, recta y tensa de longitud L. Si sus posiciones se miden con el mismo eje:

Como L es constante, la separación no cambia. En términos de programación, la condición debe conservarse durante toda la evolución del sistema, dentro de la tolerancia numérica elegida.

Si la cuerda queda floja, esta igualdad deja de imponer el movimiento y la tensión se anula.

22.3 De la posición a la aceleración común

Si la separación x2 − x1 es constante, sus variaciones temporales también son iguales:

En este caso simple ambos cuerpos comparten la misma velocidad y aceleración vectorial a lo largo del eje. Esto no se deduce de que tengan la misma tensión, sino de la longitud constante de la conexión.

22.4 Cuidado con los signos

“Aceleración común” puede significar componentes iguales o módulos relacionados, según cómo se definan las coordenadas. Si ambos bloques usan el mismo eje positivo hacia la derecha, a1 = a2.

Con coordenadas locales orientadas de manera diferente, las componentes pueden tener signos opuestos aunque los módulos sean iguales. Por eso conviene escribir primero la ecuación geométrica y derivar de ella la relación cinemática.

22.5 Dos niveles de análisis

Un conjunto conectado puede estudiarse de dos maneras complementarias:

El método habitual consiste en encontrar primero la aceleración del sistema completo y luego aislar uno de los cuerpos para calcular la fuerza de conexión.

22.6 Fuerzas internas y externas

Si elegimos los dos bloques y la cuerda como un único sistema, las tensiones entre sus partes son fuerzas internas. Aparecen en pares opuestos y se cancelan al sumar las ecuaciones de todos los componentes.

Una fuerza aplicada por una persona, los rozamientos ejercidos por el piso y los pesos ejercidos por la Tierra son externos si sus agentes no pertenecen al sistema elegido.

Cuando todos los cuerpos trasladan con la misma aceleración, esa aceleración coincide con la utilizada para el conjunto.

22.7 Diagramas individuales

Para hallar la tensión debemos separar nuevamente los cuerpos. Cada diagrama contiene solo las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo.

Las tensiones sobre ambos bloques tienen igual módulo para una misma cuerda ideal, pero sentidos opuestos. No se cancelan en cada diagrama individual porque actúan sobre cuerpos diferentes.

22.8 Dos bloques sin rozamiento

Dos bloques de masas m1 y m2 están unidos y una fuerza horizontal F tira del bloque 1 hacia la derecha. Para el sistema completo:

La masa que debe acelerar la fuerza externa es la masa total. Omitir uno de los cuerpos produciría una aceleración demasiado grande.

22.9 Calcular la tensión

Sobre el bloque 2, la única fuerza horizontal es la tensión. Aplicando la segunda ley:

Ejemplo: m1 = 4 kg, m2 = 6 kg y F = 30 N. La aceleración común es 3 m/s² y la tensión vale 18 N.

Como comprobación, para el bloque 1 se obtiene F − T = m1a: 30 − 18 = 4 · 3.

22.10 Rozamiento sobre ambos cuerpos

Supongamos ahora que los bloques ya deslizan hacia la derecha sobre el mismo material y comparten un coeficiente cinético μk. Los rozamientos apuntan hacia la izquierda:

Para el sistema completo:

Sobre el bloque 2, T − fk2 = m2a. En este caso particular, al sustituir la aceleración queda T = m2F/(m1 + m2). Si los coeficientes fueran distintos, esa simplificación ya no sería válida.

22.11 Importa dónde se aplica la fuerza

La aceleración del sistema completo depende de la fuerza externa total y de la masa total, no de cuál bloque recibe directamente el tirón. Sin embargo, la tensión sí puede cambiar.

En el caso sin rozamiento, si F se aplica al bloque 2 y la cuerda debe arrastrar al bloque 1:

La fuerza de conexión debe acelerar la masa situada “detrás” del punto donde se tira. Esto explica por qué no puede hallarse una tensión mirando únicamente la ecuación del sistema completo.

22.12 Tres o más cuerpos en línea

Para una fila de bloques conectados por cuerdas ideales diferentes, primero se calcula la aceleración usando la masa total. Luego cada tensión se obtiene aislando un subconjunto conveniente.

Si una fuerza tira del primer bloque y no hay rozamiento:

Las tensiones T12 y T23 no tienen por qué ser iguales: pertenecen a cuerdas distintas y cada una acelera una cantidad diferente de masa.

22.13 Cuerpos que se empujan por contacto

Dos bloques apoyados uno contra otro pueden compartir aceleración sin una cuerda. Mientras no se separen, la distancia entre sus caras permanece constante y aparece una fuerza normal horizontal de contacto.

Si una fuerza F empuja al bloque 1 contra el bloque 2 sobre un piso sin rozamiento:

El contacto puede transmitir compresión, pero no atracción. Si el cálculo exigiera una normal negativa, los bloques se separarían y dejarían de compartir aceleración.

22.14 Actividad interactiva: dos bloques conectados

Los bloques ya deslizan hacia la derecha sobre una superficie con el mismo coeficiente cinético. Una fuerza tira del bloque delantero. Observá qué determina la aceleración total y qué determina la tensión.

22.15 Representar y resolver el sistema con JavaScript

La función calcula primero la aceleración común y después usa la ecuación del bloque trasero para obtener la tensión:

function resolverDosBloques(m1Kg, m2Kg, fuerzaN, muCinetico, g = 9.81) {
  const masaTotalKg = m1Kg + m2Kg;
  const friccion1N = muCinetico * m1Kg * g;
  const friccion2N = muCinetico * m2Kg * g;
  const aceleracion = (fuerzaN - friccion1N - friccion2N) / masaTotalKg;
  const tensionN = m2Kg * aceleracion + friccion2N;

  return { aceleracion, tensionN };
}

console.log(resolverDosBloques(4, 6, 50, 0.2));
// Aproximadamente { aceleracion: 3.038, tensionN: 30 }

La restricción también puede verificarse durante una simulación comparando la separación actual con la longitud de la cuerda:

function errorDeRestriccion(x1, x2, longitud) {
  return (x2 - x1) - longitud;
}

function restriccionCumplida(x1, x2, longitud, tolerancia = 1e-6) {
  return Math.abs(errorDeRestriccion(x1, x2, longitud)) <= tolerancia;
}

console.log(restriccionCumplida(2, 5, 3)); // true

En una simulación completa no basta con detectar el error: será necesario calcular o aplicar fuerzas de restricción de manera estable, tema que retomaremos al integrar las leyes de Newton.

22.16 Estrategia y comprobaciones

1. Identificá los cuerpos, las conexiones y qué condiciones permiten considerarlas ideales.
2. Escribí la restricción de posición y obtené la relación entre aceleraciones.
3. Dibujá un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo.
4. Elegí primero el sistema completo para calcular la aceleración con fuerzas externas.
5. Aislá después un cuerpo o subconjunto para hallar tensiones y fuerzas de contacto.
6. Sustituí los resultados en todas las ecuaciones individuales.
7. Comprobá T ≥ 0, N ≥ 0 y el error de la restricción.

22.17 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• Suponer aceleraciones iguales sin escribir la restricción geométrica.
• Incluir tensiones internas al aplicar la segunda ley al sistema completo.
• Usar la masa de un solo bloque para calcular la aceleración del conjunto.
• Creer que todas las cuerdas de un sistema deben tener la misma tensión.
• Confundir tensión uniforme con aceleración común: provienen de hipótesis diferentes.
• Aceptar tensiones o normales negativas sin revisar si se perdió la conexión.

Ejercicios propuestos

1. Dos bloques de 3 kg y 7 kg están unidos sobre un piso sin rozamiento. Una fuerza de 40 N tira del primero. Calculá la aceleración y la tensión.
2. Repetí el ejercicio si la fuerza se aplica al bloque de 7 kg y la cuerda arrastra al de 3 kg.
3. Dos bloques de 5 kg y 10 kg deslizan hacia la derecha con μk = 0,25. Una fuerza de 75 N tira del primero. Calculá la aceleración y la tensión.
4. Tres bloques de 2 kg, 3 kg y 5 kg están conectados en línea sin rozamiento y una fuerza de 60 N tira del primero. Calculá a, T12 y T23.
5. Dos bloques de 4 kg y 6 kg se tocan sobre un piso sin rozamiento. Una fuerza de 30 N empuja al primero contra el segundo. Hallá la fuerza de contacto.
6. En una simulación, x1 = 1,2 m, x2 = 4,200004 m y L = 3 m. ¿Se cumple la restricción con tolerancia 10−5 m?

22.18 Ideas para recordar

• Una conexión ideal introduce una restricción geométrica entre posiciones.
• La aceleración común se obtiene de esa restricción, no de la igualdad de tensiones.
• El sistema completo facilita el cálculo de la aceleración porque cancela fuerzas internas.
• Los diagramas individuales permiten hallar tensiones y fuerzas de contacto.
• Una misma cuerda ideal tiene tensión uniforme; cuerdas distintas pueden tener tensiones diferentes.
• Las condiciones T ≥ 0 y N ≥ 0 determinan si la conexión puede mantenerse.

En el próximo tema incorporaremos poleas ideales, que cambian la dirección de las cuerdas y generan nuevas relaciones entre desplazamientos y aceleraciones.