23. Poleas ideales y sistemas de varios cuerpos

23.1 Qué aporta una polea

Una polea guía una cuerda y permite transmitir una fuerza entre cuerpos que se mueven en direcciones diferentes. Una masa puede desplazarse horizontalmente mientras otra conectada a la misma cuerda lo hace verticalmente.

La polea no elimina la necesidad de analizar cada cuerpo. Debemos identificar tensiones, escribir la restricción de longitud y aplicar la segunda ley con convenciones de signos compatibles.

23.2 Modelo de polea ideal

Para concentrarnos en la traslación de los cuerpos utilizaremos una polea ideal:

Una polea real puede tener masa, rozamiento y deformaciones. En ese caso las tensiones de ambos lados pueden diferir y se necesita dinámica rotacional, reservada para un curso posterior.

23.3 Polea fija: cambiar la dirección

El eje de una polea fija permanece unido al soporte. La rueda permite que una misma cuerda tenga tramos con direcciones diferentes. En el modelo ideal, el módulo de la tensión es el mismo a ambos lados:

Los vectores tensión no son iguales: cada uno sigue la dirección local de la cuerda. La polea fija modifica la dirección del tirón, pero por sí sola no multiplica su módulo.

23.4 Fuerza sobre el soporte

La cuerda ejerce sobre la polea una fuerza en cada tramo de contacto. Para conocer la carga que recibe el soporte debemos sumar vectorialmente esas fuerzas.

Si dos tramos verticales tiran hacia abajo con tensión T, la cuerda ejerce sobre la polea una fuerza total de módulo 2T hacia abajo. El soporte ideal responde con una fuerza opuesta.

Este análisis usa la tercera ley de Newton y un diagrama exclusivo de la polea.

23.5 Restricción de longitud en una polea fija

Dos masas cuelgan de los extremos de una cuerda que pasa sobre una polea fija. Si y1 e y2 se miden hacia abajo desde la polea:

Al ser L constante:

Las componentes tienen signos opuestos con esta convención. Sus módulos son iguales: si una masa baja 5 cm, la otra sube 5 cm.

23.6 Máquina de Atwood

La máquina de Atwood está formada por dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda ideal sobre una polea fija ideal. Supongamos m2 > m1, por lo que m2 baja y m1 sube.

Elegimos para cada masa un eje positivo en el sentido de su movimiento esperado. La restricción indica que ambas aceleraciones tienen el mismo módulo a.

23.7 Resolver la aceleración de Atwood

Al sumar las ecuaciones individuales, la tensión interna se cancela:

Entonces:

Si el resultado fuese negativo, el movimiento real sería opuesto al supuesto. También podemos usar una única coordenada orientada y conservar el signo del numerador.

23.8 Calcular la tensión de Atwood

Después de hallar a, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones:

Al reemplazar la aceleración se obtiene una expresión simétrica:

Para m1 = 3 kg y m2 = 5 kg, a ≈ 2,45 m/s² y T ≈ 36,79 N.

23.9 Casos límite de la máquina de Atwood

Para masas positivas finitas, el módulo de la aceleración es menor que g. Este control permite detectar errores de signo o de denominador.

23.10 Bloque sobre mesa y masa colgante

Un bloque m1 se mueve sobre una mesa horizontal sin rozamiento y está conectado, mediante una polea fija, a una masa colgante m2. La restricción impone aceleraciones de igual módulo.

Al sumar:

El peso de m1 no impulsa el movimiento porque se equilibra con la normal de la mesa.

23.11 Incorporar rozamiento en la mesa

Si inicialmente el sistema está en reposo, primero debemos comprobar si el rozamiento estático puede sostenerlo. El valor necesario es m2g y el máximo sobre el bloque de la mesa es μsm1g.

Si el sistema ya desliza con la masa colgante hacia abajo, usamos rozamiento cinético:

Un resultado negativo indica que la aceleración es opuesta al sentido de deslizamiento supuesto; no autoriza a cambiar arbitrariamente la dirección del rozamiento.

23.12 Polea móvil y longitud variable de dos tramos

Una polea móvil se desplaza junto con la carga. Si dos tramos de una misma cuerda ideal sostienen el conjunto móvil, ambos cambian de longitud cuando la carga se mueve.

Sea x la coordenada hacia abajo del extremo libre y y la coordenada hacia abajo de la polea móvil. La parte variable de la longitud es:

Por lo tanto:

El extremo libre se desplaza el doble que la polea móvil y en sentido opuesto. Esta relación proviene de la geometría, no de la segunda ley.

23.13 Fuerzas sobre una polea móvil

Dos tramos de la misma cuerda ideal tiran de la polea móvil, cada uno con módulo T. Si ambos son verticales, la fuerza total hacia arriba sobre el conjunto móvil es 2T.

En equilibrio, 2T = Mg y cada tramo aporta la mitad del peso. Sin embargo, el extremo libre debe recorrer el doble de distancia que la carga.

En configuraciones más complejas no se memoriza un “número de ventaja”. Se cuenta cuántos tramos cambian con cada coordenada, se escribe L = constante y se deriva la restricción.

23.14 Actividad interactiva: máquina de Atwood

Modificá las dos masas. El laboratorio calcula qué lado desciende, la aceleración común y la tensión de la cuerda.

23.15 Resolver sistemas de poleas con JavaScript

La máquina de Atwood puede expresarse en una función que conserve el signo de la aceleración de m2:

function resolverAtwood(m1Kg, m2Kg, g = 9.81) {
  const aceleracionM2 = ((m2Kg - m1Kg) / (m1Kg + m2Kg)) * g;
  const tensionN = m1Kg * (g + aceleracionM2);

  return { aceleracionM2, tensionN };
}

console.log(resolverAtwood(3, 5));
// { aceleracionM2: 2.4525, tensionN: 36.7875 }

Para una restricción lineal general podemos calcular el residuo de posición, velocidad y aceleración:

function residuosPoleaMovil(x, y, longitud, vx, vy, ax, ay) {
  return {
    posicion: x + 2 * y - longitud,
    velocidad: vx + 2 * vy,
    aceleracion: ax + 2 * ay
  };
}

console.log(residuosPoleaMovil(4, 3, 10, -2, 1, -6, 3));
// { posicion: 0, velocidad: 0, aceleracion: 0 }

En una simulación, residuos cercanos a cero indican que la restricción se conserva dentro de una tolerancia. Un crecimiento sistemático revela deriva numérica o una fuerza de restricción mal implementada.

23.16 Estrategia general de resolución

1. Identificá cada cuerpo, polea, cuerda y punto fijo.
2. Marcá qué elementos se consideran ideales y qué tramos pertenecen a la misma cuerda.
3. Asigná una coordenada con sentido positivo a cada cuerpo móvil.
4. Escribí la longitud total de cada cuerda y conservá solo sus tramos variables.
5. Derivá la expresión para relacionar velocidades y aceleraciones.
6. Dibujá un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo y para las poleas si se piden fuerzas de soporte.
7. Aplicá la segunda ley y resolvé simultáneamente fuerzas y aceleraciones.
8. Comprobá signos, unidades, tensiones no negativas y residuos de restricción.

23.17 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• Asignar aceleraciones iguales sin obtenerlas de la longitud de la cuerda.
• Confundir módulos iguales con componentes de igual signo.
• Suponer igual tensión a ambos lados de una polea real con masa o rozamiento.
• Olvidar que una polea móvil modifica simultáneamente dos o más tramos.
• Usar el peso de un bloque apoyado como fuerza impulsora horizontal.
• Incluir rozamiento cinético antes de comprobar si el sistema puede permanecer estático.

Ejercicios propuestos

1. En una máquina de Atwood, m1 = 4 kg y m2 = 6 kg. Calculá aceleración y tensión.
2. Repetí el análisis con dos masas iguales de 5 kg.
3. Un bloque de 8 kg sobre una mesa sin rozamiento está unido a una masa colgante de 2 kg. Calculá aceleración y tensión.
4. Para el sistema anterior, la mesa tiene μs = 0,30. Determiná si puede permanecer en reposo.
5. Una polea móvil desciende 0,15 m. ¿Cuánto y en qué sentido se mueve el extremo libre de la cuerda?
6. Una carga de 100 kg cuelga inmóvil de una polea móvil sostenida por dos tramos verticales ideales. Calculá la tensión y la fuerza total que ejercen los tramos.

23.18 Ideas para recordar

• Una polea fija ideal cambia la dirección de la cuerda sin cambiar el módulo de la tensión.
• Las relaciones entre movimientos se obtienen de la longitud constante de cada cuerda.
• En una polea fija simple, los extremos recorren distancias iguales en sentidos opuestos.
• Una polea móvil modifica varios tramos y produce relaciones de desplazamiento diferentes.
• Las tensiones se cancelan al sumar ecuaciones del sistema, pero se necesitan para analizar cuerpos individuales.
• Las poleas reales requieren considerar rozamiento, masa e inercia rotacional.

En el próximo tema extenderemos la dinámica a dos dimensiones e incorporaremos fuerzas cuyo módulo o dirección dependen del estado del sistema.