24. Dinámica en dos dimensiones y fuerzas dependientes del estado

24.1 De una fuerza constante a una regla

En problemas sencillos recibimos fuerzas con módulos y direcciones constantes. Sin embargo, una fuerza también puede ser una regla que devuelve un vector diferente según el estado del sistema.

La segunda ley conserva su forma:

Lo que cambia es el paso anterior: antes de sumar debemos evaluar cada fuerza usando la posición, la velocidad, el tiempo y las condiciones activas en ese instante.

24.2 Estado dinámico en dos dimensiones

Para describir traslacionalmente una partícula en el plano necesitamos, como mínimo:

Otros datos, como orientación o velocidad angular, pertenecen a modelos de cuerpos extensos y no son necesarios para la partícula que estudiaremos aquí.

24.3 Forma general de una fuerza dependiente del estado

Una fuerza puede representarse como una función vectorial:

Los parámetros son valores que definen el modelo, pero no forman parte del estado instantáneo: por ejemplo, una intensidad, un coeficiente o los límites de una región.

La notación no obliga a depender de todos los argumentos. El peso en un campo uniforme puede ignorar r, v y t; otra fuerza puede depender solo de la velocidad.

24.4 Cuatro clases útiles

Una regla real puede combinar varias dependencias simultáneamente.

24.5 Fuerzas dependientes de la posición

La posición puede determinar si un cuerpo está dentro de una región o qué dirección debe tener una fuerza. Un ejemplo programable es una zona rectangular que aplica una fuerza horizontal solo cuando x está entre dos límites.

La función es discontinua en los bordes. En una simulación, un paso temporal grande podría atravesar toda la región sin evaluarla adecuadamente.

Campos gravitatorios variables y fuerzas elásticas son otros ejemplos, pero sus leyes específicas se estudiarán en cursos posteriores.

24.6 Fuerzas dependientes de la velocidad

Como modelo sencillo de amortiguamiento lineal podemos escribir:

El coeficiente b es positivo. El signo negativo hace que la fuerza sea opuesta a la velocidad. En componentes:

Este modelo no representa toda resistencia real. El comportamiento de fluidos y el arrastre cuadrático se desarrollarán en un curso específico.

24.7 Fuerzas dependientes del tiempo

Un motor, propulsor o control puede aplicar una fuerza durante un intervalo programado:

Esta dependencia es explícita: dos estados con igual posición y velocidad pueden recibir fuerzas diferentes si ocurren en tiempos distintos.

Conviene definir con precisión si cada extremo del intervalo está incluido para evitar que un evento se aplique dos veces o ninguna.

24.8 Fuerzas condicionadas por el contacto

La normal y el rozamiento no están activos en todo momento. Requieren contacto y dependen de su estado:

• Sin contacto, N = 0 y no hay rozamiento entre esas superficies.
• Con contacto sin deslizamiento, el rozamiento es estático y se ajusta hasta su límite.
• Con deslizamiento, se utiliza el modelo cinético y la velocidad relativa fija su dirección.

Estas son fuerzas por tramos: la fórmula cambia cuando se cruza una condición. Detectar correctamente la transición es tan importante como calcular el vector.

24.9 Evaluar, sumar y dividir por la masa

Para cada instante seguimos un orden definido:

En componentes:

No se suman aceleraciones si el modelo está formulado mediante fuerzas. Primero se acumulan todas las fuerzas externas y luego se realiza una única división por la masa.

24.10 Diagrama de cuerpo libre instantáneo

Cuando las fuerzas dependen del estado, el diagrama de cuerpo libre corresponde a un instante y una configuración determinados. La lista de interacciones puede cambiar al avanzar el sistema.

Para construirlo:

1. Fijá el estado (r, v, t) que se desea analizar.
2. Determiná qué interacciones están activas.
3. Evaluá el vector de cada fuerza con ese mismo estado.
4. Sumá las componentes en una base común.

No deben mezclarse fuerzas evaluadas con posiciones o velocidades de instantes diferentes.

24.11 Ejemplo: fuerza constante y amortiguamiento

Una partícula de 5 kg tiene velocidad v = (4; −2) m/s. Recibe una fuerza constante F0 = (30; 10) N y una resistencia lineal con b = 3 N·s/m.

La resistencia apunta en sentido opuesto a la velocidad, pero la fuerza resultante no necesariamente lo hace. Su dirección depende de la suma completa.

24.12 Las componentes pueden quedar acopladas

Para una fuerza constante, las ecuaciones de x e y pueden resolverse independientemente. Pero una fuerza dependiente del estado puede vincular ambas componentes.

En el amortiguamiento lineal simple, cada componente depende de la velocidad del mismo eje. En otros modelos, el módulo puede depender de la rapidez total:

Entonces modificar vx puede cambiar también el módulo de la fuerza en y. No debe suponerse independencia de ejes sin revisar la ley vectorial.

24.13 Resultante cero en un instante

Si las fuerzas evaluadas en cierto estado suman cero, la aceleración instantánea es cero. Eso no garantiza que continúe siendo cero.

Por ejemplo, si una fuerza depende del tiempo, puede cambiar un instante después. Si depende de la posición, una velocidad no nula puede llevar al cuerpo a una región donde la fuerza sea diferente.

Para afirmar equilibrio sostenido, la fuerza resultante debe permanecer nula a lo largo del estado permitido.

24.14 Actividad interactiva: fuerza dependiente de la velocidad

Modificá la velocidad, la fuerza constante y el coeficiente de amortiguamiento. El laboratorio evalúa todos los vectores en el mismo instante.

24.15 Evaluar fuerzas con JavaScript

La función recibe un estado inmutable, evalúa dos fuerzas y devuelve la aceleración sin avanzar todavía el tiempo:

function evaluarDinamica(estado, parametros) {
  const resistencia = {
    x: -parametros.b * estado.velocidad.x,
    y: -parametros.b * estado.velocidad.y
  };

  const resultante = {
    x: parametros.fuerzaConstante.x + resistencia.x,
    y: parametros.fuerzaConstante.y + resistencia.y
  };

  return {
    resultante,
    aceleracion: {
      x: resultante.x / estado.masa,
      y: resultante.y / estado.masa
    }
  };
}

const estado = { masa: 5, velocidad: { x: 4, y: -2 } };
const parametros = { b: 3, fuerzaConstante: { x: 30, y: 10 } };
console.log(evaluarDinamica(estado, parametros));

Una fuerza activada por posición puede expresarse como una función pura:

function fuerzaEnZona(posicion, zona, fuerzaActiva) {
  const dentro = posicion.x >= zona.xMin &&
    posicion.x <= zona.xMax &&
    posicion.y >= zona.yMin &&
    posicion.y <= zona.yMax;

  return dentro ? { ...fuerzaActiva } : { x: 0, y: 0 };
}

const zona = { xMin: 0, xMax: 10, yMin: -2, yMax: 2 };
console.log(fuerzaEnZona({ x: 4, y: 1 }, zona, { x: 8, y: 0 }));
// { x: 8, y: 0 }

Separar evaluación de fuerzas e integración facilita probar cada regla con estados conocidos. La representación general de cuerpos y acumuladores se profundizará en los temas 26 y 27.

24.16 Verificaciones y casos límite

Además deben verificarse valores finitos, masa positiva, unidades compatibles y ausencia de mutaciones inesperadas del estado durante la evaluación.

24.17 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• Evaluar distintas fuerzas con estados pertenecientes a instantes diferentes.
• Usar la rapidez donde la ley necesita el vector velocidad y perder la dirección.
• Sumar aceleraciones antes de comprobar que todas las interacciones fueron expresadas como fuerzas.
• Mantener una fuerza de contacto después de que los cuerpos se separaron.
• Suponer que resultante instantánea cero garantiza equilibrio permanente.
• Avanzar posición y velocidad dentro de cada función de fuerza, haciendo que el resultado dependa del orden.

Ejercicios propuestos

1. Una masa de 4 kg recibe fuerzas (12; −8) N y (−4; 20) N. Calculá la aceleración.
2. Para v = (3; −4) m/s y b = 2 N·s/m, calculá la resistencia lineal y su módulo.
3. Una masa de 5 kg tiene v = (4; −2) m/s, b = 3 N·s/m y fuerza constante (30; 10) N. Verificá la aceleración del ejemplo.
4. Una fuerza de 15 N hacia la derecha está activa para 2 s ≤ t < 5 s. Indicá su vector en t = 1,9 s, t = 2 s y t = 5 s.
5. Una zona ocupa 0 ≤ x ≤ 6 y −1 ≤ y ≤ 1. Decidí si la fuerza está activa en (6; 1) y en (6,01; 1).
6. Explicá por qué una normal calculada en un instante no debe conservarse después de perder contacto.

24.18 Ideas para recordar

• Una fuerza puede depender de posición, velocidad, tiempo y parámetros.
• Todas las fuerzas deben evaluarse con el mismo estado instantáneo.
• Después se suman los vectores y se divide una sola vez por la masa.
• Las fuerzas por tramos cambian de fórmula cuando cambia una condición física.
• Una resultante cero en un instante no garantiza equilibrio sostenido.
• Separar evaluación e integración mejora la claridad y permite probar las reglas.

En el próximo tema veremos cómo describir el movimiento desde marcos de referencia acelerados y cuándo aparecen fuerzas aparentes.