30. Proyecto integrador: simulador de bloques, cuerdas y rozamiento

30.1 Objetivo del proyecto

El sistema contiene un bloque A sobre una mesa horizontal y una masa B colgante. Ambos están conectados por una cuerda ideal que pasa sobre una polea fija ideal. Entre A y la mesa puede existir rozamiento.

El programa deberá:

• Determinar si el rozamiento estático puede conservar el reposo.
• Pasar al modelo cinético cuando el estado estático no sea posible.
• Calcular aceleración común, tensión y fuerza de rozamiento.
• Actualizar el movimiento mediante pasos fijos.
• Detenerse cuando la masa colgante alcanza el límite del escenario.

30.2 Supuestos y alcance

El proyecto impone 0 ≤ μk ≤ μs como condición de sus datos. Aunque no sea una desigualdad universal, representa el conjunto de materiales elegido para este simulador.

30.3 Variables y convención de signos

Usaremos una coordenada común s:

• s > 0: A avanza hacia la polea.
• El mismo incremento hace descender a B.
• v = ds/dt y a = d²s/dt² comparten esa convención.

Esta igualdad proviene de la longitud constante de la cuerda. Reduce el movimiento a un grado de libertad mientras el vínculo permanezca tenso.

30.4 Estados del simulador

Las fórmulas activas dependen del estado. Una máquina de estados explícita evita aplicar simultáneamente rozamiento estático y cinético.

30.5 Comprobar el reposo

Si el sistema permanece en reposo, la masa B necesita T = mBg. Sobre A, esa tensión debe ser equilibrada por rozamiento estático:

La normal sobre A es N = mAg y el máximo disponible:

El reposo es posible si mB ≤ μsmA. En ese estado a = 0, v = 0 y no debe iniciarse la integración del deslizamiento.

30.6 Ecuaciones durante el deslizamiento

Cuando B desciende y A se mueve hacia la polea, el rozamiento cinético sobre A apunta en sentido opuesto:

Con fk = μkmAg, la aceleración es:

Bajo las condiciones elegidas, si falla el reposo y μk ≤ μs, esta aceleración es positiva.

30.7 Calcular tensión y fuerzas de contacto

Una vez conocida la aceleración:

La misma tensión debe satisfacer T = mAa + fk. Comparar ambas expresiones es una verificación independiente.

También deben cumplirse T ≥ 0 y N ≥ 0. Un valor imposible señalaría un error de datos, signos o modelo.

30.8 Arquitectura por responsabilidades

Separar estas responsabilidades permite probar la dinámica sin dibujar y cambiar la visualización sin modificar las ecuaciones.

30.9 Estructura de datos

El estado mínimo puede expresarse como:

Los parámetros permanecen separados:

Reiniciar crea un estado nuevo en vez de reutilizar referencias modificadas. La fase se vuelve a decidir con los parámetros actuales.

30.10 Algoritmo de actualización

1. Validar parámetros y conservar μk ≤ μs.
2. Si v = 0, comprobar si el rozamiento estático puede mantener el reposo.
3. Si el sistema desliza, calcular normal, rozamiento cinético, aceleración y tensión.
4. Actualizar primero la velocidad y después el desplazamiento mediante Euler semimplícito.
5. Avanzar el reloj y el contador de pasos.
6. Comprobar si se alcanzó el recorrido máximo.

30.11 Paso fijo y controles

La reproducción utiliza un acumulador de tiempo real y subpasos de tamaño Δt. La interfaz ofrece:

• Reproducir/Pausar: controla el consumo de tiempo real.
• Avanzar un paso: facilita inspeccionar una transición.
• Reiniciar: restaura posición, velocidad, tiempo y fase.

Modificar un parámetro detiene y reinicia el escenario. Así nunca se mezclan estados calculados con conjuntos de parámetros diferentes.

30.12 Evento final y dominio del modelo

El modelo es válido mientras A no alcanza la polea y B no toca el suelo. Ambos límites se representan mediante un recorrido máximo común.

Cuando s ≥ smax, el simulador:

• Ajusta visualmente s al límite.
• Cambia la fase a finalizado.
• Detiene el reloj físico.
• No intenta resolver la colisión posterior.

30.13 Plan de verificación

30.14 Simulador integrador

Probá configuraciones que permanezcan en reposo y otras que deslicen. Reducí el paso temporal y compará el estado final.

30.15 Núcleo dinámico en JavaScript

La función decide el estado inicial y devuelve las fuerzas compatibles:

function evaluarSistema(parametros) {
  const { masaA, masaB, muS, muK, g = 9.81 } = parametros;
  if (!(masaA > 0 && masaB > 0 && muS >= 0 && muK >= 0 && muK <= muS)) {
    throw new RangeError('Parámetros fuera del dominio del modelo');
  }

  const normal = masaA * g;
  const necesario = masaB * g;
  const maximoEstatico = muS * normal;
  if (necesario <= maximoEstatico) {
    return { fase: 'estatico', aceleracion: 0, tension: necesario, rozamiento: necesario };
  }

  const rozamiento = muK * normal;
  const aceleracion = (masaB * g - rozamiento) / (masaA + masaB);
  const tension = masaB * (g - aceleracion);
  return { fase: 'deslizamiento', aceleracion, tension, rozamiento };
}

console.log(evaluarSistema({ masaA: 5, masaB: 3, muS: 0.4, muK: 0.25 }));

Un paso semimplícito modifica únicamente el estado cinemático y respeta el límite del escenario:

function avanzarEstado(estado, aceleracion, dt, recorridoMaximo) {
  if (estado.fase !== 'deslizamiento') return { ...estado };

  const velocidad = estado.velocidad + aceleracion * dt;
  const desplazamientoCalculado = estado.desplazamiento + velocidad * dt;
  const finalizado = desplazamientoCalculado >= recorridoMaximo;

  return {
    ...estado,
    velocidad,
    desplazamiento: Math.min(desplazamientoCalculado, recorridoMaximo),
    tiempo: estado.tiempo + dt,
    fase: finalizado ? 'finalizado' : 'deslizamiento'
  };
}

const inicial = { fase: 'deslizamiento', desplazamiento: 0, velocidad: 0, tiempo: 0 };
console.log(avanzarEstado(inicial, 2, 0.1, 3));

30.16 Pruebas mínimas del proyecto

• Rechazar masas no positivas y coeficientes fuera de rango.
• Ajustar o rechazar configuraciones con μk > μs.
• Comprobar correctamente los dos lados del umbral estático.
• Verificar la tensión desde la ecuación de A y desde la de B.
• Confirmar que el reinicio crea exactamente el estado inicial.
• Ejecutar una cantidad conocida de pasos y comparar con un cálculo independiente.
• Comprobar que nunca se supera el recorrido máximo almacenado.
• Repetir con Δt/2 y estudiar convergencia.

Cada error corregido debe conservarse como prueba de regresión.

30.17 Desafíos de ampliación y criterios de evaluación

Ampliaciones propuestas

1. Mostrar diagramas de cuerpo libre separados para A y B.
2. Agregar un registro descargable de t, s, v, a, T y rozamiento.
3. Comparar Euler explícito y semimplícito.
4. Permitir una fuerza externa adicional sobre A y volver a derivar el umbral estático.
5. Detectar con mayor precisión el instante en que B alcanza el límite.
6. Construir pruebas automáticas para valores aleatorios dentro del dominio.

Criterios de evaluación

30.18 Cierre del curso

El proyecto reúne el recorrido completo: identificar interacciones, dibujar fuerzas, elegir ejes, aplicar las leyes de Newton, imponer restricciones, seleccionar el modelo de rozamiento, representar datos, acumular fuerzas, integrar y verificar.

• Una simulación comienza con un modelo físico explícito.
• Las fuerzas se evalúan según el estado y se suman vectorialmente.
• Las restricciones conectan la dinámica de varios cuerpos.
• Los cambios de contacto exigen cambiar de ecuación.
• El paso temporal y el método numérico forman parte del resultado.
• La verificación debe acompañar cada etapa del desarrollo.

Con esta base, el alumno está preparado para abordar trabajo y energía, cantidad de movimiento, rotaciones y simulaciones físicas de mayor complejidad.