7. Descomposición de fuerzas y elección de ejes convenientes

7.1 Del diagrama a las componentes

Un diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas externas completas que actúan sobre el sistema. Para sumarlas y escribir ecuaciones, normalmente expresamos cada vector sobre un par de ejes perpendiculares.

Descomponer una fuerza significa reemplazar su representación por dos componentes cuya suma reproduce el vector original. No estamos creando nuevas interacciones: estamos describiendo la misma fuerza en una base conveniente.

7.2 Elegir los ejes antes de calcular

Los ejes son parte del modelo matemático. Su origen puede situarse sobre el objeto y su orientación se elige para simplificar las fuerzas y el movimiento. Una vez elegidos, deben mantenerse durante todo el cálculo.

En dos dimensiones usamos dos ejes perpendiculares. No es obligatorio que sean horizontal y vertical. Podemos girarlos para alinearlos con una superficie, una cuerda, una aceleración conocida u otra dirección relevante.

7.3 Criterios para una elección conveniente

No siempre existe una única elección óptima. Dos sistemas de ejes bien usados deben conducir al mismo resultado físico, aunque produzcan ecuaciones con signos y componentes diferentes.

7.4 Proyección sobre ejes horizontales y verticales

Si una fuerza de módulo F forma un ángulo α con el eje +x, medido en sentido antihorario, sus componentes son:

Para F = 20 N y α = 30°:

Ambas componentes son positivas porque el vector se encuentra en el primer cuadrante.

7.5 Proyección sobre ejes rotados

Supongamos que el vector fuerza conserva el ángulo global α, pero el nuevo eje +x′ está girado un ángulo β respecto de +x. El ángulo de la fuerza medido desde el nuevo eje es α − β.

Si giramos los ejes hasta que β = α, la fuerza queda completamente alineada con +x′: Fx′ = F y Fy′ = 0. El vector no giró; giró la base usada para describirlo.

7.6 Los signos surgen de la proyección

No debemos asignar signos por memoria antes de observar los ejes. Cada componente es positiva si apunta en el sentido positivo del eje correspondiente y negativa si apunta en el sentido contrario.

Con ejes rotados se aplica exactamente el mismo razonamiento usando x′ e y′.

7.7 Reconstruir la fuerza

Las componentes deben contener toda la información del vector original. Podemos comprobar la descomposición reconstruyendo módulo y dirección relativa:

En ejes rotados, atan2(Fy′, Fx′) devuelve el ángulo relativo α − β. Para recuperar la orientación global debemos sumar nuevamente β.

Esta verificación detecta errores trigonométricos, signos invertidos y grados usados como si fueran radianes.

7.8 Ejemplo: una fuerza oblicua sobre una caja

Una cuerda tira de una caja con 50 N a 25° sobre la horizontal. Si elegimos x horizontal hacia la derecha e y vertical hacia arriba:

La componente horizontal contribuye a la suma sobre x y la vertical a la suma sobre y. No debemos sumar además los 50 N originales. En las ecuaciones usamos la fuerza completa o sus componentes, nunca ambas representaciones simultáneamente.

7.9 Ejemplo: ejes paralelos a una superficie

Para un objeto sobre una superficie inclinada un ángulo θ, resulta conveniente elegir x′ paralelo a la superficie e y′ perpendicular. La fuerza normal queda alineada con y′ y el rozamiento, si existe, con x′.

El peso permanece vertical, por lo que debe proyectarse sobre los ejes inclinados. Con una orientación habitual:

Los signos dependen de cómo orientemos x′ e y′. Estas relaciones geométricas se aplicarán de forma completa en el tema de dinámica sobre planos inclinados.

7.10 Una ecuación independiente por eje

Después de descomponer, la superposición se realiza por ejes:

Las componentes x nunca se suman con las y. Cada ecuación contiene magnitudes escalares con signo, pero juntas representan la suma vectorial.

Si sabemos que no hay aceleración en una dirección restringida, esa información se aplicará a la ecuación de ese eje. La relación formal entre fuerza y aceleración llegará con la segunda ley de Newton.

7.11 Actividad interactiva: rotar los ejes

Configurá una fuerza y luego girá los ejes sin modificarla. Observá cómo cambian las componentes x′ e y′ mientras el módulo y la orientación global permanecen constantes.

Colocá β = 40°: x′ se alinea con la fuerza y la componente y′ se hace cero. Luego probá β = −50°: la fuerza queda perpendicular a x′ y toda su magnitud aparece sobre y′.

7.12 Descomponer fuerzas con JavaScript

Una implementación reutilizable recibe el vector global y el ángulo de la nueva base. Las componentes pueden calcularse mediante productos escalares con los vectores unitarios de los ejes rotados.

function proyectarEnEjesRotados(fuerza, anguloEjesGrados) {
  const beta = anguloEjesGrados * Math.PI / 180;
  const ejeX = { x: Math.cos(beta), y: Math.sin(beta) };
  const ejeY = { x: -Math.sin(beta), y: Math.cos(beta) };

  return {
    xN: fuerza.xN * ejeX.x + fuerza.yN * ejeX.y,
    yN: fuerza.xN * ejeY.x + fuerza.yN * ejeY.y
  };
}

const fuerza = { xN: 12 * Math.cos(40 * Math.PI / 180),
                  yN: 12 * Math.sin(40 * Math.PI / 180) };

const componentes = proyectarEnEjesRotados(fuerza, 25);
console.log(componentes);

Esta forma evita depender de un ángulo almacenado en la fuerza. Cualquier vector expresado mediante xN e yN puede proyectarse sobre la nueva base.

7.13 Mantener separadas física y representación

En un programa conviene conservar la fuerza física en coordenadas de referencia y calcular otras componentes cuando se necesiten. Si sobrescribimos repetidamente el vector al rotar ejes, los errores numéricos pueden acumularse.

const fuerzaGlobalN = Object.freeze({ x: 8, y: 6 });

function modulo(vector) {
  return Math.hypot(vector.x, vector.y);
}

const fuerzaEnEjesN = proyectarEnEjesRotados(
  { xN: fuerzaGlobalN.x, yN: fuerzaGlobalN.y },
  30
);

console.log("Módulo global:", modulo(fuerzaGlobalN));
console.log("Componentes rotadas:", fuerzaEnEjesN);

Las diferencias cercanas a cero deben tratarse con tolerancia. Por ejemplo, una componente calculada como 2 × 10⁻¹⁵ N puede mostrarse como 0 N si la precisión del modelo no distingue ese valor.

7.14 Errores frecuentes

• Descomponer antes de dibujar la fuerza: primero debe identificarse el vector físico completo.
• Sumar la fuerza y sus componentes: son dos representaciones del mismo vector.
• Usar el ángulo equivocado: seno y coseno dependen del eje desde el cual se mide.
• Asignar signos solo por la fórmula: conviene anticiparlos observando los sentidos de los ejes.
• Suponer siempre x horizontal e y vertical: los ejes pueden rotarse si simplifican el problema.
• Usar ejes no perpendiculares con fórmulas cartesianas: estas expresiones suponen una base ortonormal.
• Cambiar la orientación de los ejes a mitad del cálculo: obliga a transformar todas las componentes.
• Pasar grados directamente a funciones trigonométricas de JavaScript: requieren radianes.

7.15 Ejercicios propuestos

1. Descomponé una fuerza de 30 N a 0°, 90°, 180° y −90° en ejes cartesianos habituales.
2. Calculá las componentes de una fuerza de 40 N a 150°.
3. Una fuerza global está orientada a 70° y los ejes giran 20°. ¿Qué ángulo relativo se usa para proyectarla?
4. Proyectá una fuerza de 25 N a 70° sobre los ejes rotados 20°.
5. Explicá por qué girar los ejes no cambia el módulo de la fuerza.
6. Para una superficie inclinada 35°, indicá una elección conveniente de ejes y qué fuerzas habituales quedarían alineadas con ellos.
7. Modificá proyectarEnEjesRotados para limpiar como cero las componentes cuyo módulo sea menor que 1e-10.

function limpiar(valor, tolerancia = 1e-10) {
  return Math.abs(valor) < tolerancia ? 0 : valor;
}

function proyectar(fuerza, anguloEjesGrados) {
  const beta = anguloEjesGrados * Math.PI / 180;
  return {
    xN: limpiar(fuerza.xN * Math.cos(beta) + fuerza.yN * Math.sin(beta)),
    yN: limpiar(-fuerza.xN * Math.sin(beta) + fuerza.yN * Math.cos(beta))
  };
}

console.log(proyectar({ xN: 0, yN: 10 }, 90));

7.16 Ideas para recordar

• Descomponer es representar una fuerza mediante componentes, no crear fuerzas nuevas.
• Los ejes se eligen para simplificar la geometría, las restricciones y las ecuaciones.
• Las componentes dependen de los ejes; el vector físico y su módulo no.
• En ejes rotados se usa el ángulo relativo α − β.
• Los signos indican el sentido de cada proyección respecto del eje.
• La fuerza original o sus componentes se usan de forma alternativa, nunca se suman entre sí.
• Reconstruir el módulo es una comprobación útil de la descomposición.

En el próximo tema estudiaremos la primera ley de Newton: inercia y equilibrio dinámico.