1. De la gravedad uniforme a la gravitación universal

1.1 Una misma interacción en dos escalas

Al soltar una pelota cerca de la superficie terrestre observamos que acelera hacia el suelo. En los cursos anteriores describimos ese movimiento usando una aceleración aproximadamente constante, de módulo 9,8 m/s². El modelo permite calcular posiciones, velocidades y energías durante una caída de poca altura.

Ahora queremos responder preguntas de otra escala: ¿por qué la Luna no cae sobre la Tierra?, ¿qué mantiene a un satélite en órbita?, ¿cuánto cambia la gravedad al alejarnos?, ¿por qué los planetas recorren trayectorias alrededor del Sol?

No se trata de fenómenos desconectados. La caída de la pelota y el movimiento de la Luna son manifestaciones de la interacción gravitatoria. Lo que cambia es el alcance del modelo necesario para describirlas.

1.2 El modelo conocido: gravedad uniforme

Cerca de la superficie de la Tierra solemos representar la aceleración gravitatoria mediante un vector constante:

Esta expresión reúne tres decisiones:

• el módulo de la aceleración se considera constante;
• su dirección se representa vertical;
• su sentido apunta hacia el suelo.

Con esos supuestos, un cuerpo que parte del reposo aumenta su rapidez aproximadamente 9,8 m/s por cada segundo, mientras podamos despreciar la resistencia del aire y el cambio de la gravedad con la altura.

La palabra uniforme no significa que toda la gravedad del universo sea igual. Significa que, dentro de la región estudiada, usamos el mismo vector gravitatorio en todos sus puntos.

1.3 Por qué funciona cerca de la superficie

El radio medio terrestre es de aproximadamente 6371 km. Subir 10 m cambia muy poco la distancia al centro: pasa de unos 6 371 000 m a 6 371 010 m. Para muchos problemas cotidianos, esa diferencia es despreciable.

También tratamos como paralelas las direcciones «hacia abajo» en una región pequeña. En realidad, cada vertical local apunta aproximadamente al centro terrestre. Dos verticales situadas en ciudades lejanas no son paralelas, pero dentro de una habitación la diferencia resulta imperceptible.

Un modelo no es incorrecto por ser simple. Es adecuado cuando sus aproximaciones son coherentes con la escala y la precisión del problema.

1.4 Dónde deja de alcanzar

Si extendiéramos el vector constante a cualquier altura, predeciríamos la misma aceleración a 10 m, a 400 km y a la distancia de la Luna. Además, «hacia abajo» conservaría una única dirección en todo el espacio. Ninguna de estas predicciones describe correctamente el entorno terrestre completo.

Al alejarnos de la Tierra, la aceleración gravitatoria disminuye. Su dirección tampoco apunta hacia la parte inferior de un dibujo: apunta aproximadamente hacia el centro de la Tierra. En una trayectoria orbital esa dirección cambia continuamente mientras el objeto rodea el planeta.

Necesitamos una regla que, para cada posición, determine qué cuerpo produce la interacción, qué distancia separa los cuerpos, en qué dirección se encuentra el cuerpo que atrae y cómo cambia la intensidad.

1.5 Altura y distancia al centro no son lo mismo

En problemas cercanos al suelo usamos la altura h, medida desde la superficie. La interacción gravitatoria de un cuerpo aproximadamente esférico depende, en cambio, de la distancia r desde su centro.

Si usamos R = 6371 km y un satélite se encuentra a 400 km de altura:

Confundir altura con distancia al centro produce errores grandes. En la superficie, la altura es cero, pero la distancia al centro es un radio terrestre, no cero.

Las cantidades que se suman deben expresarse en la misma unidad. Podemos trabajar en kilómetros para esta suma, aunque al usar una constante expresada en unidades SI deberemos convertir las distancias a metros.

1.6 La ampliación de Newton

El modelo newtoniano propone que todos los cuerpos con masa se atraen. La Tierra atrae a una pelota, pero la pelota también atrae a la Tierra. Ambas fuerzas tienen igual módulo y sentidos opuestos.

La intensidad depende de las dos masas y de la separación. Para cuerpos pequeños comparados con la distancia, podemos representarlos mediante puntos ubicados en sus centros de masa. Un cuerpo esférico con distribución simétrica puede tratarse, desde su exterior, como si su masa estuviera concentrada en el centro.

En el tema siguiente estudiaremos y aplicaremos la expresión completa:

Por ahora interesa el cambio conceptual: la gravedad deja de ser un valor fijo añadido al programa y pasa a ser una interacción entre cuerpos, calculada a partir de su estado.

1.7 La dependencia con el inverso del cuadrado

La expresión 1/r² indica que la interacción se debilita con el cuadrado de la distancia. Si la distancia al centro se duplica, la intensidad se reduce a la cuarta parte; si se triplica, se reduce a la novena parte.

La tabla usa múltiplos del radio R medidos desde el centro. Estar a una distancia 2R equivale a encontrarse a una altura R sobre la superficie.

La gravedad se hace cada vez menor, pero el modelo no establece una frontera en la que desaparezca repentinamente. Su valor se aproxima a cero cuando la distancia crece.

1.8 Comparar los dos modelos con JavaScript

Podemos relacionar la gravedad a una distancia r con el valor g₀ en la superficie. Para un astro esférico ideal de radio R:

Esta forma relativa permite explorar el cambio sin utilizar todavía G ni la masa terrestre. Es el resultado de comparar la dependencia inversa al cuadrado en dos distancias.

const radioTierraKm = 6371;
const gravedadSuperficieMps2 = 9.81;

function gravedadAUnaAltura(alturaKm) {
  const distanciaCentroKm = radioTierraKm + alturaKm;
  const proporcion = radioTierraKm / distanciaCentroKm;
  return gravedadSuperficieMps2 * proporcion ** 2;
}

for (const alturaKm of [0, 400, 6371, 12742]) {
  const gravedadMps2 = gravedadAUnaAltura(alturaKm);
  console.log(alturaKm, "km:", gravedadMps2.toFixed(3), "m/s²");
}

Los resultados aproximados son 9,810; 8,685; 2,453 y 1,090 m/s². A 400 km la gravedad sigue siendo casi el 89 % de la superficial. Por eso la ingravidez orbital no se explica diciendo que «allí no hay gravedad».

El operador ** 2 eleva al cuadrado. La función espera una altura en kilómetros y devuelve una aceleración en metros por segundo al cuadrado.

1.9 Ejemplo resuelto: un satélite a 400 km

Comparemos los modelos para un objeto situado a 400 km sobre la superficie. Adoptamos R = 6371 km y g₀ = 9,81 m/s².

1. Distancia al centro: r = 6371 km + 400 km = 6771 km.
2. Razón de distancias: R/r = 6371/6771 ≈ 0,9409.
3. Razón al cuadrado: (R/r)² ≈ 0,8853.
4. Gravedad: g(r) ≈ 9,81 × 0,8853 ≈ 8,69 m/s².

El modelo uniforme asignaría 9,81 m/s². La diferencia es aproximadamente 1,12 m/s², cerca del 11,5 % del valor superficial. Para una caída de pocos metros esa corrección sería innecesaria; para calcular una órbita no conviene ignorarla.

Este resultado solo informa el módulo. Para simular el satélite también necesitamos un vector dirigido desde su posición hacia el centro terrestre.

1.10 Laboratorio interactivo: ¿cuándo se separan los modelos?

Mové el control para comparar la gravedad uniforme con el modelo que disminuye según el inverso del cuadrado. La altura se expresa como múltiplo del radio terrestre.

La curva celeste representa el modelo variable y la línea amarilla, el uniforme. La marca vertical indica la altura seleccionada. El gráfico muestra la aceleración como porcentaje del valor superficial; no representa una trayectoria.

• Elegí «400 km»: la gravedad conserva aproximadamente el 88,5 % de su valor superficial.
• Elegí «Altura R»: la distancia al centro es 2R y el modelo variable da el 25 %.
• Elegí «Altura 10R»: la distancia es 11R y queda cerca del 0,83 %.
• Compará las líneas: el modelo uniforme no cambia; la diferencia aumenta con la altura.

1.11 De una constante a una función del estado

En una caída cercana al suelo puede bastar una constante. En una simulación orbital, la aceleración debe recalcularse a partir de la posición:

const radioTierraM = 6_371_000;
const gravedadSuperficieMps2 = 9.81;

function moduloGravedad(distanciaCentroM) {
  if (distanciaCentroM < radioTierraM) {
    throw new RangeError("Este modelo solo representa el exterior");
  }

  const proporcion = radioTierraM / distanciaCentroM;
  return gravedadSuperficieMps2 * proporcion ** 2;
}

console.log(moduloGravedad(6_771_000).toFixed(3), "m/s²");

El guion bajo es un separador visual permitido en números de JavaScript. La validación declara un límite: la función no describe el interior terrestre.

Una implementación orbital completa calculará también la dirección y devolverá componentes vectoriales. La construiremos después de estudiar la ley con detalle.

1.12 Qué conserva y qué omite cada aproximación

Incluso el modelo newtoniano contiene idealizaciones: puede tratar cuerpos como puntos, ignorar deformaciones y omitir efectos relativistas. En este curso trabajaremos dentro de su ámbito de validez.

1.13 Errores frecuentes

• Usar la altura como distancia al centro: debemos usar r = R + h.
• Creer que la gravedad es cero en órbita: a 400 km conserva cerca del 89 % del valor superficial.
• Interpretar «hacia abajo» como dirección universal: la dirección depende de la posición alrededor del astro.
• Duplicar la altura y esperar un cuarto: la relación inversa al cuadrado se aplica a la distancia al centro.
• Mezclar kilómetros y metros: las fórmulas con constantes dimensionales exigen unidades compatibles.
• Usar una aproximación en cualquier escala: hay que declarar la región y la precisión buscada.

1.14 Ejercicio propuesto

Una sonda está a una altura igual a dos radios terrestres sobre la superficie. Usá g₀ = 9,81 m/s².

1. Expresá su distancia al centro en múltiplos de R.
2. Calculá qué fracción de la gravedad superficial actúa allí.
3. Calculá el módulo aproximado de la aceleración.
4. Explicá por qué no corresponde reemplazar directamente r por 2R.
5. Escribí una función que reciba la altura en múltiplos de R.

function gravedadDesdeAlturaEnRadios(alturaEnR) {
  if (alturaEnR < 0) {
    throw new RangeError("La altura debe ser no negativa");
  }

  const gravedadSuperficieMps2 = 9.81;
  const distanciaEnR = 1 + alturaEnR;
  return gravedadSuperficieMps2 / distanciaEnR ** 2;
}

console.log(gravedadDesdeAlturaEnRadios(2).toFixed(2), "m/s²");

1.15 Ideas para recordar

• La gravedad uniforme es una aproximación local útil, no una propiedad idéntica en todo el espacio.
• La caída cerca del suelo y el movimiento orbital provienen de la misma interacción.
• La gravedad newtoniana depende de masas, distancia y dirección entre los cuerpos.
• La dependencia inversa al cuadrado usa la distancia al centro: r = R + h.
• Al duplicar la distancia al centro, la intensidad se reduce a la cuarta parte.
• En código, pasamos de una constante a una función evaluada a partir del estado.
• Elegir un modelo exige declarar su escala, sus supuestos y sus límites.

En el próximo tema estudiaremos la ley de gravitación universal de Newton: interpretaremos cada magnitud, comprobaremos sus unidades y calcularemos la fuerza entre dos cuerpos.