11. Trabajo gravitatorio y energía potencial U = −GMm/r

11.1 Del campo uniforme al campo variable

Cerca de la superficie terrestre usamos ΔU = mgΔh cuando g puede considerarse constante. A escala orbital, la gravedad disminuye con la distancia y ya no podemos multiplicar un único valor de g por una gran altura.

Necesitamos una expresión compatible con la fuerza:

La fuerza cambia continuamente durante un desplazamiento radial. El trabajo debe tener en cuenta todos esos valores, no solamente el inicial o el final.

11.2 Trabajo de una fuerza variable

El trabajo de una fuerza constante se obtiene con el producto escalar entre fuerza y desplazamiento. Para una fuerza variable podemos dividir el recorrido en desplazamientos pequeños, aproximar la fuerza en cada tramo y sumar:

Al hacer los tramos cada vez más pequeños se obtiene el trabajo de la fuerza variable. En una fuerza gravitatoria central, el resultado entre dos posiciones depende solamente de las distancias inicial y final al centro, no del camino seguido.

Esta independencia de la trayectoria permite asociar una energía potencial a la interacción gravitatoria.

11.3 Elegir el cero de energía en el infinito

La energía potencial siempre necesita un nivel de referencia. Para la gravitación universal se elige habitualmente:

Con esa elección, la energía potencial de dos masas M y m separadas por una distancia r es:

La distancia se mide entre los centros. Para una masa esféricamente simétrica y un cuerpo exterior, podemos usar la misma expresión que para masas puntuales.

11.4 Por qué la energía es negativa

Con el cero en el infinito, cualquier separación finita produce U < 0. El signo negativo expresa que el sistema gravitatoriamente ligado posee menos energía potencial que las masas infinitamente separadas.

Para llevar lentamente el cuerpo desde una distancia finita hasta el infinito, un agente externo debe aportar energía positiva. A medida que r aumenta, U sube desde un valor negativo y se aproxima a cero.

«Mayor energía potencial» no significa necesariamente un número positivo. Por ejemplo, −2 J es mayor que −10 J.

11.5 Cambio de energía potencial

Entre una distancia inicial r_i y una final r_f:

Sustituimos la expresión gravitatoria:

• si r_f > r_i, el cuerpo se aleja y ΔU > 0;
• si r_f < r_i, se acerca y ΔU < 0;
• si las distancias son iguales, ΔU = 0 aunque el camino sea curvo.

11.6 Trabajo realizado por la gravedad

Para una fuerza conservativa, el trabajo gravitatorio es el opuesto del cambio de energía potencial:

11.7 Recuperar mgh cerca de la superficie

Elevamos un cuerpo desde R hasta R + h:

Combinando las fracciones:

Si h es muy pequeño frente a R, entonces R + h ≈ R:

Así, mgh no compite con −GMm/r: es su aproximación local cuando el campo cambia poco.

11.8 Error de usar mgh a gran altura

Para elevar 1000 kg desde la superficie terrestre hasta 400 km, usando R = 6,371 × 10⁶ m y GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s²:

Con gravedad superficial constante:

mgh sobreestima el incremento porque supone que la gravedad mantiene su valor superficial durante todo el ascenso. La diferencia es cercana al 6 % respecto del valor exacto.

11.9 Ejemplo resuelto entre dos radios

Una sonda de 500 kg se desplaza desde r_i = 2R hasta r_f = 3R alrededor de un astro cuyo producto GM/R vale 6 × 10⁷ J/kg.

Las energías potenciales son:

Por lo tanto:

La energía potencial aumenta porque la sonda termina más lejos, aunque ambos valores de U sean negativos.

11.10 Trabajo y energía cinética

El teorema trabajo–energía establece que el trabajo de la fuerza resultante produce el cambio de energía cinética. Si solo realiza trabajo la gravedad:

Entonces:

Al caer hacia el astro, U disminuye y K aumenta. Al alejarse sin propulsión, U aumenta y K disminuye.

Esta relación no determina por sí sola la dirección de la velocidad. Su aplicación completa a trayectorias orbitales se profundizará en los temas de energía orbital.

11.11 Aproximar el trabajo mediante sumas

Podemos comprobar numéricamente el resultado analítico dividiendo un desplazamiento radial en tramos. En cada tramo evaluamos la fuerza en el punto medio:

const mu = 3.986e14; // G·M, en m³/s²
const masaKg = 1000;
const radioInicialM = 6.371e6;
const radioFinalM = radioInicialM + 400e3;
const tramos = 10000;
const drM = (radioFinalM - radioInicialM) / tramos;
let trabajoJ = 0;

for (let i = 0; i < tramos; i++) {
  const rMedioM = radioInicialM + (i + 0.5) * drM;
  const fuerzaRadialN = -mu * masaKg / rMedioM ** 2;
  trabajoJ += fuerzaRadialN * drM;
}

const trabajoExactoJ = mu * masaKg
  * (1 / radioFinalM - 1 / radioInicialM);
console.log("Suma:", trabajoJ.toExponential(6), "J");
console.log("Exacto:", trabajoExactoJ.toExponential(6), "J");
console.log("Diferencia:", (trabajoJ - trabajoExactoJ).toFixed(2), "J");

El trabajo es negativo porque el desplazamiento es hacia afuera y la fuerza apunta hacia adentro. Al aumentar la cantidad de tramos, la suma converge al valor exacto.

11.12 Usar el parámetro gravitacional

En cálculos orbitales suele aparecer el parámetro μ = GM. Sus unidades son m³/s². Entonces:

Usar μ reduce multiplicaciones repetidas y agrupa las propiedades de la masa central. Debemos documentar claramente sus unidades y no confundirlo con la masa ni con G.

11.13 Implementación analítica en JavaScript

function energiaPotencialJ(muM3ps2, masaKg, radioM) {
  if (radioM <= 0) throw new RangeError("El radio debe ser positivo");
  return -muM3ps2 * masaKg / radioM;
}

function cambioYTrabajo(mu, masa, radioInicial, radioFinal) {
  const inicial = energiaPotencialJ(mu, masa, radioInicial);
  const final = energiaPotencialJ(mu, masa, radioFinal);
  const cambio = final - inicial;
  return { inicial, final, cambio, trabajoGravedad: -cambio };
}

const resultado = cambioYTrabajo(
  3.986e14,
  1000,
  6.371e6,
  6.371e6 + 400e3
);

console.log("Ui:", resultado.inicial.toExponential(4), "J");
console.log("Uf:", resultado.final.toExponential(4), "J");
console.log("ΔU:", resultado.cambio.toExponential(4), "J");
console.log("Wg:", resultado.trabajoGravedad.toExponential(4), "J");

Las energías absolutas dependen del cero elegido, pero el cambio y el trabajo entre los mismos extremos no cambian si sumamos una constante común a U.

11.14 Laboratorio interactivo: energía exacta y mgh

Elegí dos alturas y una masa. El gráfico muestra la energía potencial normalizada U/(mg₀R) con cero en el infinito. La comparación mgh usa el valor de g en el punto inicial.

La curva celeste representa U/(mg₀R) y se aproxima a cero desde valores negativos. Los puntos amarillo y blanco indican las posiciones inicial y final. La línea discontinua marca U = 0.

• Elegí Ascenso pequeño: la aproximación local debe acercarse al valor exacto.
• Elegí De R a 2R: observá que mgh sobreestima notablemente.
• Elegí Descenso: ΔU se vuelve negativo y el trabajo gravitatorio, positivo.
• Cambiá la masa: todas las energías escalan, pero el error porcentual no.
• Cambiá de astro: cambian las energías absolutas y las alturas físicas.

11.15 Referencia, energía absoluta y diferencias

Podríamos elegir otro cero y sumar una constante C a todas las energías potenciales:

El cambio no se altera porque C se cancela entre estado final e inicial. Tampoco cambia el trabajo gravitatorio.

La referencia en el infinito es especialmente útil para clasificar trayectorias ligadas y no ligadas. Esa aplicación se desarrollará después de introducir velocidad de escape y energía orbital.

11.16 Errores frecuentes

• Omitir el signo negativo de U: con cero en el infinito, una separación finita tiene energía negativa.
• Usar altura en lugar de distancia al centro: la expresión contiene r = R + h.
• Confundir ΔU con W_g: poseen signos opuestos.
• Aplicar mgh a cualquier altitud: presupone gravedad aproximadamente constante.
• Creer que una energía negativa está disminuyendo: hay que comparar valores inicial y final.
• Mezclar kilómetros con μ en m³/s²: los radios deben convertirse a metros.
• Redondear energías grandes antes de restarlas: conviene calcular ΔU directamente o conservar precisión.

11.17 Ejercicio propuesto

Una sonda de 500 kg se eleva desde la superficie de una Tierra ideal hasta una altitud igual a un radio terrestre. Usá R = 6,371 × 10⁶ m y g₀ = 9,81 m/s².

1. Expresá los radios inicial y final.
2. Calculá ΔU exacta usando GM = g₀R².
3. Calculá el trabajo gravitatorio.
4. Calculá la aproximación mgh.
5. Explicá por qué ambas no coinciden.

const masaKg = 500;
const radioM = 6.371e6;
const g0Mps2 = 9.81;
const mu = g0Mps2 * radioM ** 2;
const radioInicialM = radioM;
const radioFinalM = 2 * radioM;

const cambioExactoJ = mu * masaKg
  * (1 / radioInicialM - 1 / radioFinalM);
const trabajoGravedadJ = -cambioExactoJ;
const aproximacionMghJ = masaKg * g0Mps2 * radioM;

console.log("ΔU:", cambioExactoJ.toExponential(4), "J");
console.log("Wg:", trabajoGravedadJ.toExponential(4), "J");
console.log("mgh:", aproximacionMghJ.toExponential(4), "J");

11.18 Ideas para recordar

• Con cero en el infinito, U(r) = −GMm/r.
• La energía es más negativa cuanto menor es la separación.
• ΔU = GMm(1/r_i − 1/r_f).
• El trabajo gravitatorio es W_g = −ΔU.
• mgh es una aproximación local válida cuando la altura es pequeña frente al radio.
• Si solo actúa la gravedad, K + U se conserva.
• Usar μ = GM simplifica los cálculos orbitales.

En el próximo tema definiremos el potencial gravitatorio, que expresa la energía potencial por unidad de masa y pertenece al espacio creado por las fuentes.