12. Potencial gravitatorio y superficies equipotenciales

El potencial asigna un número a cada posición: la energía gravitatoria por unidad de masa. Sus niveles permiten visualizar regiones sin depender de un cuerpo de prueba concreto.

12.1 De la energía del sistema a una propiedad de la posición

En el tema anterior usamos la energía potencial de dos masas:

U(r) = −GMm/r

Ese valor depende de la masa m del cuerpo que colocamos en el campo. Si queremos describir primero el entorno creado por la masa fuente M, dividimos la energía potencial por la masa de prueba.

Obtenemos así el potencial gravitatorio, una función escalar que asigna un valor a cada posición del espacio.

12.2 Definición del potencial gravitatorio

Representaremos el potencial mediante la letra griega Φ:

Φ = U/m

Conocido Φ en una posición, la energía potencial de un cuerpo de masa m es:

U = mΦ

Φ no depende de la masa de prueba. Dos cuerpos diferentes ubicados en el mismo punto tienen el mismo potencial, aunque sus energías potenciales sean proporcionales a sus masas.

El potencial es escalar: no tiene dirección ni componentes. Esto simplifica la superposición de varias fuentes.

12.3 Potencial de una masa puntual

Con el cero elegido en el infinito, una masa puntual M produce:

Φ(r) = −GM/r = −μ/r

r es la distancia entre el punto estudiado y la masa fuente, y μ = GM es su parámetro gravitacional.

  • Φ es negativo a toda distancia finita;
  • se vuelve más negativo al acercarse;
  • aumenta hacia cero al alejarse;
  • en el modelo puntual no está definido en r = 0.

12.4 Unidades del potencial

Como Φ = U/m, su unidad SI es el joule por kilogramo:

[Φ] = J/kg

Usando 1 J = 1 kg·m²/s²:

1 J/kg = 1 m²/s²

Estas unidades no convierten el potencial en una velocidad. Aunque m²/s² coincide dimensionalmente con velocidad al cuadrado, Φ representa energía por unidad de masa.

También se obtiene la misma unidad desde μ/r: (m³/s²)/m = m²/s².

12.5 El signo y la referencia

El potencial negativo surge de elegir Φ = 0 en el infinito. No indica un error ni una dirección negativa.

r pequeña → Φ muy negativo
r grande → Φ menos negativo
r → ∞ → Φ → 0

Podríamos sumar la misma constante a todos los valores y elegir otro cero. Las diferencias de potencial no cambiarían. La referencia en el infinito es especialmente conveniente para estudiar escape y trayectorias ligadas.

12.6 Diferencia de potencial y trabajo

Entre los puntos inicial y final:

ΔΦ = Φf − Φi

Como U = mΦ:

ΔU = mΔΦ
Wg = −mΔΦ

La diferencia de potencial indica el cambio de energía por cada kilogramo. Si ΔΦ = 2 × 106 J/kg, trasladar 5 kg entre esos puntos cambia la energía potencial en 1 × 107 J.

12.7 Qué es una superficie equipotencial

Una superficie equipotencial reúne puntos con el mismo valor de Φ. Para una masa puntual aislada, el potencial depende únicamente de r, por lo que las superficies equipotenciales son esferas concéntricas.

En un dibujo bidimensional aparecen como circunferencias. No son órbitas ni paredes físicas: representan niveles de una función escalar.

Φ constante ⟺ r constante, para una única masa puntual

Con varias fuentes, las superficies pueden adoptar formas más complejas y dejan de ser esferas centradas en una sola masa.

12.8 Desplazarse sobre una equipotencial

Si los puntos inicial y final están en la misma superficie equipotencial, ΔΦ = 0. Entonces:

ΔU = 0
Wg = 0

Esto no significa que la fuerza sea cero durante el recorrido. En torno a una masa central, la fuerza apunta radialmente mientras un desplazamiento tangente a una esfera es perpendicular a ella. El producto escalar instantáneo es cero.

Una trayectoria cerrada regresa al potencial inicial, por lo que el trabajo gravitatorio total es cero, aunque en distintos tramos pueda ser positivo o negativo.

12.9 Relación entre campo y potencial

El campo gravitatorio apunta hacia donde el potencial disminuye más rápidamente. Se expresa de forma compacta como:

g⃗ = −∇Φ

El símbolo ∇Φ representa cómo cambia Φ en las distintas direcciones. No necesitaremos cálculo multivariable para usar la idea:

  • g⃗ es perpendicular a las superficies equipotenciales;
  • apunta desde potenciales mayores hacia potenciales menores;
  • un espaciado pequeño entre niveles indica un cambio rápido y un campo intenso.

Alrededor de una masa, Φ disminuye al ir hacia el centro; por eso el campo apunta hacia adentro.

12.10 Campo y potencial describen aspectos distintos

Comparación entre campo y potencial gravitatorios.
CaracterísticaCampo g⃗Potencial Φ
TipoVector.Escalar.
UnidadN/kg o m/s².J/kg o m²/s².
Fuente puntualGMΔr⃗/r³.−GM/r.
Dependencia radialMódulo proporcional a 1/r².Proporcional a −1/r.
Sobre masa mF⃗ = mg⃗.U = mΦ.
SuperposiciónSuma vectorial.Suma algebraica.

12.11 Superposición de potenciales

Para varias masas puntuales, sumamos sus potenciales como números:

Φ(r⃗) = −G Σ Mi/ri

ri es la distancia desde el punto hasta la fuente i. No asignamos signos según izquierda o derecha: cada masa positiva aporta un potencial negativo.

Dos campos opuestos pueden cancelarse en un punto mientras sus potenciales se suman. Por eso «campo cero» no implica «potencial cero».

12.12 Ejemplo terrestre

Usamos μ = 3,986 × 1014 m³/s² y R = 6,371 × 106 m.

Φsuperficie = −μ/R ≈ −6,256 × 107 J/kg

A 400 km de altitud, r = 6,771 × 106 m:

Φ400 km ≈ −5,887 × 107 J/kg
ΔΦ ≈ +3,696 × 106 J/kg

Elevar 1000 kg entre esos puntos cambia la energía potencial en aproximadamente 3,696 × 109 J. El trabajo de la gravedad es el opuesto.

12.13 Calcular potencial y energía con JavaScript

function potencialGravitatorio(muM3ps2, distanciaM) {
  if (distanciaM <= 0) {
    throw new RangeError("La distancia debe ser positiva");
  }
  return -muM3ps2 / distanciaM;
}

const muTierra = 3.986e14;
const radioTierraM = 6.371e6;
const radioOrbitalM = radioTierraM + 400e3;
const phiInicial = potencialGravitatorio(muTierra, radioTierraM);
const phiFinal = potencialGravitatorio(muTierra, radioOrbitalM);
const diferencia = phiFinal - phiInicial;

console.log("Φ inicial:", phiInicial.toExponential(4), "J/kg");
console.log("Φ final:", phiFinal.toExponential(4), "J/kg");
console.log("ΔΦ:", diferencia.toExponential(4), "J/kg");
console.log("ΔU para 1000 kg:", (1000 * diferencia).toExponential(4), "J");

La función recibe μ, no G y M por separado. Esto evita repetir su producto y hace explícita la unidad esperada.

12.14 Potencial de varias fuentes en JavaScript

const G = 6.67430e-11;

function potencialTotal(punto, fuentes) {
  let phiJPorKg = 0;
  for (const fuente of fuentes) {
    const distanciaM = Math.hypot(
      punto.xM - fuente.xM,
      punto.yM - fuente.yM
    );
    if (distanciaM === 0) throw new RangeError("Punto singular");
    phiJPorKg += -G * fuente.masaKg / distanciaM;
  }
  return phiJPorKg;
}

const fuentes = [
  { masaKg: 2e12, xM: -100, yM: 0 },
  { masaKg: 2e12, xM: 100, yM: 0 }
];

console.log("Φ en el centro:", potencialTotal({ xM: 0, yM: 0 }, fuentes), "J/kg");

En el centro, los campos de las dos masas iguales se cancelan, pero cada potencial vale −G(2 × 10¹²)/100. El potencial total es negativo y distinto de cero.

12.15 Laboratorio interactivo: mapa equipotencial

Explorá una fuente central o dos fuentes iguales. El color representa el potencial y las curvas marcan niveles aproximados. La flecha amarilla muestra el campo en la sonda.

Los resultados numéricos se muestran debajo.
Potencial Φ−1,979 × 10⁷ J/kg
Campo gx−0,932 m/s²
Campo gy−0,311 m/s²
Módulo |g⃗|0,982 m/s²
U para 1000 kg−1,979 × 10¹⁰ J

Φ = −GΣMi/ri  |  g⃗ = ΣGMiΔr⃗i/ri³

El potencial se suma como escalar; el campo, como vector.

Una masa central idealizada.

Los tonos más cálidos indican potencial más negativo. Las líneas claras son niveles aproximados, no fronteras físicas. La flecha amarilla apunta en la dirección del campo; las distancias se expresan en radios terrestres.

  • Compará (2R, 0) y (0, 2R): con una fuente, Φ y |g⃗| coinciden.
  • Elegí el centro entre dos masas: el campo se cancela, pero Φ permanece negativo.
  • Aumentá la masa: potencial y campo escalan por el mismo factor.
  • Observá las curvas: el campo cruza los niveles en dirección aproximadamente perpendicular.

12.16 Aproximar el campo desde diferencias de potencial

En una dimensión, podemos estimar una componente del campo evaluando Φ a ambos lados de un punto:

gx ≈ −[Φ(x + Δx) − Φ(x − Δx)]/(2Δx)

Un Δx demasiado grande suaviza variaciones importantes; uno extremadamente pequeño puede amplificar errores de redondeo. Esta aproximación sirve para verificar una implementación, aunque si conocemos la fórmula vectorial directa suele ser más precisa y eficiente.

12.17 Errores frecuentes

  • Confundir U y Φ: U depende de la masa de prueba; Φ no.
  • Asignar dirección al potencial: es un escalar.
  • Sumar potenciales como vectores: se suman algebraicamente.
  • Creer que campo cero implica potencial cero: fuentes simétricas pueden cancelar el campo y sumar potencial.
  • Interpretar equipotenciales como trayectorias: solo indican igual Φ.
  • Omitir la referencia: el signo negativo supone cero en el infinito.
  • Usar distancia a la superficie: para una esfera exterior se mide al centro.

12.18 Ejercicio propuesto

Dos masas puntuales iguales poseen cada una GM = 4 × 108 m³/s². Están en (−20 000, 0) m y (20 000, 0) m.

  1. Calculá el potencial en el origen.
  2. Determiná el campo gravitatorio en el origen por simetría.
  3. Calculá la energía potencial de 100 kg colocados allí.
  4. Calculá el trabajo de la gravedad al traer lentamente esa masa desde el infinito hasta el origen.
  5. Explicá por qué Φ y g⃗ tienen resultados conceptualmente diferentes.
Ver solución y explicación

Cada fuente aporta −(4 × 108)/(2 × 104) = −2 × 104 J/kg. Por superposición:

Φ = −4 × 104 J/kg
g⃗ = (0, 0) m/s²

Para 100 kg, U = −4 × 106 J. Desde el infinito, ΔU = −4 × 106 J y el trabajo gravitatorio es +4 × 106 J.

const muFuente = 4e8;
const distanciaM = 2e4;
const masaPruebaKg = 100;

const phiCadaFuente = -muFuente / distanciaM;
const phiTotal = 2 * phiCadaFuente;
const campo = { xMps2: 0, yMps2: 0 }; // simetría
const energiaJ = masaPruebaKg * phiTotal;
const trabajoGravedadJ = -energiaJ;

console.log("Φ:", phiTotal, "J/kg");
console.log("g:", campo);
console.log("U:", energiaJ, "J");
console.log("Trabajo desde infinito:", trabajoGravedadJ, "J");

El potencial suma dos contribuciones negativas escalares. El campo suma vectores opuestos y se cancela.

12.19 Ideas para recordar

  • El potencial gravitatorio es energía potencial por unidad de masa: Φ = U/m.
  • Con cero en el infinito, una masa puntual produce Φ = −GM/r.
  • Sus unidades son J/kg, equivalentes a m²/s².
  • ΔU = mΔΦ y Wg = −mΔΦ.
  • Una equipotencial reúne puntos con el mismo Φ.
  • El campo es perpendicular a las equipotenciales y apunta hacia potencial menor.
  • Los potenciales se suman como escalares; los campos, como vectores.

En el próximo tema usaremos energía y potencial para obtener la velocidad de escape de un astro.

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