13. Velocidad de escape y condición para abandonar un astro

13.1 Qué significa escapar

Imaginemos un cuerpo lanzado desde las cercanías de un astro. Mientras asciende, su rapidez disminuye porque la atracción gravitatoria realiza trabajo negativo. Con poca velocidad inicial alcanzará una distancia máxima y regresará.

La velocidad de escape es la menor rapidez inicial que permite al cuerpo alejarse sin límite, suponiendo que después del lanzamiento actúa solamente la gravedad del astro.

En el caso límite, el cuerpo se aproxima a una rapidez nula cuando la distancia tiende a infinito. No se detiene en un punto finito: continúa alejándose cada vez más lentamente.

13.2 Supuestos del modelo

Para aislar la idea fundamental adoptaremos un modelo ideal:

• el astro es esférico y su masa puede representarse en el centro;
• el cuerpo lanzado tiene una masa despreciable frente a la del astro;
• no hay atmósfera, rozamiento ni propulsión después del instante inicial;
• no intervienen otros astros;
• el astro no rota y usamos un sistema de referencia centrado en él.

Estas hipótesis no describen por completo un lanzamiento real, pero permiten obtener una referencia física muy útil.

13.3 Planteo mediante conservación de la energía

A una distancia inicial r del centro, un cuerpo de masa m y rapidez v tiene energía mecánica:

En el escape mínimo, el estado final ideal se encuentra infinitamente lejos y con rapidez tendiendo a cero. Con la energía potencial nula en el infinito:

Como solo actúa la fuerza gravitatoria, que es conservativa, la energía inicial también debe valer cero.

13.4 Deducción de la velocidad de escape

Igualamos a cero la energía en la posición de lanzamiento:

La masa m se cancela. Despejando la rapidez:

Aquí M es la masa del astro, r la distancia inicial a su centro y μ = GM su parámetro gravitacional estándar.

13.5 Por qué no depende de la masa del cuerpo

Tanto la energía cinética como la energía potencial gravitatoria son proporcionales a la masa m del cuerpo. Al comparar ambas contribuciones, ese factor aparece en todos los términos y se simplifica.

En el modelo ideal, una piedra y una nave lanzadas desde el mismo punto requieren la misma rapidez de escape. Sin embargo, no requieren la misma energía: la energía cinética necesaria, ½mv², sí crece con la masa.

13.6 La distancia se mide desde el centro

En la fórmula, r nunca representa simplemente la altura sobre la superficie. Si el astro tiene radio R y el lanzamiento se realiza a una altitud h:

La velocidad de escape disminuye al aumentar la altitud, porque el cuerpo ya se encuentra menos ligado gravitatoriamente al astro.

13.7 Escape desde la superficie

Para un lanzamiento ideal desde la superficie se reemplaza r por el radio R:

Un astro más masivo tiende a exigir mayor velocidad de escape. Un radio mayor, manteniendo la misma masa, sitúa la superficie más lejos del centro y reduce esa velocidad. Por eso no basta comparar masas: importan conjuntamente M y R.

13.8 Relación con la gravedad superficial

En la superficie de un astro esférico, la aceleración gravitatoria vale g = GM/R². Entonces GM = gR² y:

Esta expresión es válida cuando g corresponde a la superficie y R es el radio del astro. No debe interpretarse suponiendo que g permanece constante durante todo el ascenso; la deducción correcta ya incorpora su disminución con la distancia.

13.9 Ejemplo: escape desde la Tierra

Usamos el parámetro terrestre μ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s² y el radio medio R = 6,371 × 10⁶ m:

Es una rapidez ideal medida respecto del centro terrestre y sin atmósfera ni rotación. No afirma que un cohete deba alcanzar instantáneamente ese valor en la superficie.

13.10 Comparación entre distintos astros

Los valores son aproximados y dependen del radio de referencia elegido. La comparación muestra cómo el cociente μ/R, no cada propiedad por separado, determina el resultado.

13.11 Condición energética de escape

Conviene dividir la energía mecánica por la masa del cuerpo. Obtenemos la energía mecánica específica:

Para decidir si hay energía suficiente:

• si ε < 0, el cuerpo no puede alcanzar el infinito;
• si ε = 0, se encuentra exactamente en la condición mínima de escape;
• si ε > 0, llega al infinito con rapidez distinta de cero.

Más adelante esta cantidad permitirá clasificar trayectorias orbitales con mayor detalle. Aquí solo la usamos como criterio de escape.

13.12 Qué ocurre si la rapidez supera el mínimo

Si v > v_esc, la energía específica positiva se conserva. Muy lejos, el potencial tiende a cero y queda únicamente energía cinética:

v_∞ se llama rapidez de exceso en el infinito. No se obtiene restando velocidades: la conservación involucra los cuadrados de las rapidez.

13.13 Lanzamiento radial por debajo del escape

Si el lanzamiento es radial, no hay propulsión posterior y v < v_esc, el cuerpo alcanza una distancia máxima r_máx donde su rapidez instantánea es cero. Conservando energía:

También puede escribirse usando q = v/v_esc:

Esta expresión corresponde al caso radial ideal. Una velocidad con componente lateral puede producir otro tipo de trayectoria, que estudiaremos en los temas orbitales siguientes.

13.14 La dirección y la rapidez de escape

En el modelo de una masa esférica aislada, la condición energética depende del módulo de la velocidad, no de su dirección. Dos lanzamientos desde el mismo punto y con igual rapidez tienen la misma energía.

Eso no significa que sigan el mismo camino. La dirección determina la geometría de la trayectoria y cuánto se acerca el cuerpo al astro. Si una trayectoria intersecta la superficie, el cuerpo colisiona aunque su energía matemática sea suficiente para escapar.

Por eso la fórmula responde una pregunta energética; no garantiza por sí sola una trayectoria físicamente libre de obstáculos.

13.15 Velocidad de escape no es velocidad orbital

La velocidad de escape no es la rapidez necesaria para “salir de la atmósfera” ni la rapidez de una órbita circular. Desde una misma distancia, la rapidez circular resulta menor que la de escape:

La primera mantiene al cuerpo en una caída alrededor del astro; la segunda marca el umbral energético para no permanecer ligado. La deducción completa de la órbita circular se realizará en el tema 15.

13.16 Calcular la velocidad de escape con JavaScript

Una función puede recibir μ, el radio del astro y la altitud. Es importante expresar todas las distancias en metros antes de operar.

function velocidadEscape(mu, radio, altitud = 0) {
  const distancia = radio + altitud;

  if (mu <= 0 || radio <= 0 || altitud < 0) {
    throw new RangeError("Los datos físicos no son válidos");
  }

  return Math.sqrt((2 * mu) / distancia);
}

const tierra = {
  mu: 3.986e14,       // m³/s²
  radio: 6.371e6      // m
};

const superficie = velocidadEscape(tierra.mu, tierra.radio);
const a400km = velocidadEscape(tierra.mu, tierra.radio, 400e3);

console.log("Superficie:", (superficie / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("A 400 km:", (a400km / 1000).toFixed(3), "km/s");

El segundo resultado es menor porque el punto inicial se encuentra más lejos del centro. La función valida explícitamente los valores para evitar raíces o divisiones sin significado físico.

13.17 Evaluar el resultado de un lanzamiento

El siguiente programa distingue los tres regímenes energéticos y calcula una magnitud útil para cada caso.

function evaluarEscape(mu, distancia, velocidad) {
  const velocidadEscape = Math.sqrt(2 * mu / distancia);
  const energiaEspecifica = velocidad ** 2 / 2 - mu / distancia;
  const tolerancia = (mu / distancia) * 1e-10;

  if (energiaEspecifica > tolerancia) {
    return {
      estado: "escapa con velocidad residual",
      velocidadEscape,
      velocidadInfinito: Math.sqrt(2 * energiaEspecifica)
    };
  }

  if (energiaEspecifica < -tolerancia) {
    return {
      estado: "no escapa en un lanzamiento radial",
      velocidadEscape,
      distanciaMaxima: -mu / energiaEspecifica
    };
  }

  return { estado: "escape mínimo", velocidadEscape };
}

const resultado = evaluarEscape(3.986e14, 6.371e6, 12000);
console.log("Estado:", resultado.estado);
console.log("Velocidad de escape:", (resultado.velocidadEscape / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("Velocidad en el infinito:", (resultado.velocidadInfinito / 1000).toFixed(3), "km/s");

13.18 Laboratorio interactivo: balance energético del escape

Elegí un astro, modificá la altitud y compará la rapidez inicial con la velocidad de escape local. El gráfico representa el potencial específico Φ = −μ/r y la energía específica constante.

• Aumentá la rapidez: la línea de energía sube hasta alcanzar ε = 0.
• Aumentá la altitud: disminuyen el módulo del potencial y la velocidad de escape local.
• Cambiá de astro: compará el efecto conjunto de μ y el radio.

13.19 El lanzamiento real de una nave

Una nave no suele recibir toda su velocidad en un único impulso desde la superficie. Sus motores producen empuje durante un intervalo, la atmósfera ejerce resistencia y parte de la energía se pierde al sostener el peso mientras asciende.

Además, la rotación del astro puede aportar velocidad inicial si el lanzamiento se realiza en el sentido adecuado. En una misión con varios cuerpos celestes también cambian el potencial relevante y el objetivo: escapar de la Tierra no equivale automáticamente a escapar del Sistema Solar.

Por estas razones, 11,19 km/s es un umbral del modelo ideal y no una receta directa para diseñar un cohete.

13.20 Errores frecuentes

• usar la altitud h donde la fórmula requiere r = R + h;
• mezclar kilómetros con un μ expresado en m³/s²;
• suponer una gravedad constante hasta el infinito;
• creer que la velocidad de escape depende de la masa del proyectil;
• restar v − v_esc para calcular la velocidad residual;
• confundir alcanzar cierta altura, entrar en órbita y escapar;
• aplicar el resultado de un astro aislado sin considerar atmósfera, rotación u otros cuerpos.

13.21 Ejercicio propuesto

Un astro esférico sin atmósfera tiene μ = 8,0 × 10¹³ m³/s² y radio R = 4,0 × 10⁶ m. Una sonda parte radialmente desde una altitud de 1,0 × 10⁶ m.

1. Calculá la velocidad de escape en ese punto.
2. Decidí si una rapidez inicial de 6,0 km/s permite escapar.
3. Si escapa, calculá su rapidez en el infinito.

const mu = 8e13;
const radio = 4e6;
const altitud = 1e6;
const velocidad = 6000;
const distancia = radio + altitud;

const velocidadEscape = Math.sqrt(2 * mu / distancia);
const escapa = velocidad >= velocidadEscape;
const velocidadInfinito = escapa
  ? Math.sqrt(velocidad ** 2 - velocidadEscape ** 2)
  : 0;

console.log("v_escape:", (velocidadEscape / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("¿Escapa?", escapa);
console.log("v_infinito:", (velocidadInfinito / 1000).toFixed(3), "km/s");

13.22 Ideas para recordar

• Escapar significa poder alejarse indefinidamente, no dejar de sentir gravedad.
• La rapidez mínima desde una distancia r es v_esc = √(2μ/r).
• La distancia se mide desde el centro del astro.
• La rapidez de escape no depende de la masa del cuerpo lanzado.
• ε = v²/2 − μ/r permite comprobar si existe energía suficiente.
• Si ε > 0, v_∞ = √(v² − v_esc²).
• La fórmula ideal no incluye atmósfera, rotación, propulsión ni otros astros.

En el próximo tema veremos cómo una velocidad lateral adecuada permite que un cuerpo permanezca en caída libre alrededor del astro en vez de alejarse o chocar con la superficie.