14. Una órbita como caída libre permanente

14.1 Caer sin llegar al suelo

Cuando soltamos un objeto cerca de la superficie terrestre, la gravedad curva su trayectoria hacia el suelo. Normalmente el recorrido termina pronto porque el piso intercepta la caída.

Ahora imaginemos que el objeto comienza con una gran velocidad horizontal y que no existe atmósfera. Mientras cae, también avanza lateralmente. Como la superficie del planeta es curva, puede ocurrir que el suelo se aleje bajo el objeto al mismo ritmo con que este cae.

El resultado es una caída libre alrededor del astro: una órbita.

14.2 El experimento mental del cañón de Newton

Isaac Newton propuso imaginar un cañón situado en una montaña muy alta, por encima de la atmósfera. Con una velocidad pequeña, el proyectil cae cerca del punto de lanzamiento. Si la velocidad aumenta, recorre una distancia horizontal mayor antes de tocar el suelo.

Con una velocidad lateral adecuada, la curvatura de la trayectoria acompaña la curvatura terrestre y el proyectil rodea el planeta. Si la velocidad crece todavía más, pueden aparecer recorridos más amplios o incluso cumplirse la condición de escape estudiada en el tema anterior.

El experimento conecta un lanzamiento común con el movimiento de la Luna y los satélites: todos responden a las mismas leyes mecánicas.

14.3 Inercia y gravedad actúan simultáneamente

Sin fuerzas, un cuerpo mantendría una velocidad constante en línea recta. La gravedad modifica continuamente esa velocidad mediante una aceleración dirigida hacia el centro del astro.

No se trata de dos etapas —avanzar y después caer— sino de un único movimiento donde posición y velocidad cambian de forma continua.

14.4 La importancia de la velocidad tangencial

En un punto de la trayectoria podemos separar la velocidad en una componente radial y otra tangencial:

• la componente radial apunta hacia el centro o en sentido contrario;
• la componente tangencial es perpendicular al radio local.

Una caída puramente radial conduce hacia la superficie. Una componente tangencial desplaza el cuerpo alrededor del astro y permite que la caída se transforme en una trayectoria orbital.

La cantidad exacta necesaria para una órbita circular será deducida en el tema siguiente.

14.5 La dirección de la gravedad cambia

En una caída vertical de corta duración podemos considerar que “abajo” conserva casi la misma dirección. Al rodear un astro, esa aproximación deja de servir.

La aceleración gravitatoria apunta siempre desde la posición instantánea del cuerpo hacia el centro:

Después de cada pequeño avance cambia el vector posición y, con él, cambia también la dirección de la aceleración. Esta rotación continua de la velocidad curva el recorrido.

14.6 Un sistema de referencia centrado en el astro

Para describir el movimiento elegimos el centro del astro como origen. En dos dimensiones:

La superficie corresponde a todos los puntos donde r = R. Si r < R, la trayectoria matemática ha entrado en el astro y, para un satélite real, debemos registrar una colisión.

La altitud se obtiene restando el radio: h = r − R.

14.7 Posición, velocidad y estado orbital

Para predecir el movimiento no alcanza con conocer la posición. En un instante inicial necesitamos:

Dos cuerpos ubicados en el mismo punto pueden evolucionar de maneras completamente distintas si sus velocidades tienen módulos o direcciones diferentes. La masa del cuerpo no aparece en la aceleración ideal porque se cancela al aplicar la segunda ley de Newton.

14.8 Qué es realmente la ingravidez orbital

Un satélite y todo lo que contiene reciben casi la misma aceleración gravitatoria. Como no hay una superficie que sostenga a los ocupantes, estos no experimentan la fuerza normal asociada al peso aparente.

Por eso flotan: están en caída libre conjunta, no en una región sin gravedad. A unos pocos cientos de kilómetros de altitud, la aceleración gravitatoria sigue siendo una fracción grande de la existente en la superficie.

Este fenómeno fue introducido al estudiar peso aparente; ahora vemos que puede mantenerse mientras el conjunto cae alrededor del planeta.

14.9 La gravedad no se equilibra con otra fuerza

En un satélite ideal no hay una “fuerza centrífuga real” que anule la gravedad dentro de un sistema inercial centrado en el astro. La fuerza neta es gravitatoria y produce la aceleración que curva la trayectoria.

Si la fuerza neta fuese cero, la primera ley de Newton indicaría un movimiento rectilíneo uniforme, no una vuelta alrededor del planeta.

14.10 La órbita no necesita empuje continuo

Una vez establecido el estado inicial adecuado, un cuerpo puede seguir una órbita ideal bajo la acción exclusiva de la gravedad. Los motores no sostienen continuamente al satélite contra una caída.

En situaciones reales se emplean propulsores para alcanzar el estado inicial, corregir perturbaciones, modificar la trayectoria o compensar lentamente el rozamiento atmosférico en órbitas bajas.

Apagar los motores no hace que el satélite “se quede sin movimiento”: conserva su velocidad y continúa acelerándose hacia el centro debido a la gravedad.

14.11 Distintos resultados a partir del mismo punto

Desde una misma posición, modificar la velocidad inicial puede producir:

• una caída que intersecta la superficie;
• un recorrido que rodea el astro y permanece ligado;
• una trayectoria que se aleja indefinidamente si posee energía suficiente.

La velocidad de escape separa energéticamente los movimientos ligados de los no ligados. Sin embargo, dentro de cada grupo la dirección y la superficie del astro siguen siendo decisivas.

14.12 Tener energía suficiente no evita una colisión

Supongamos que un cuerpo tiene una rapidez superior a la de escape, pero su velocidad apunta directamente hacia el planeta. La condición energética permitiría que se alejara si la trayectoria estuviera libre, pero en este caso primero encuentra la superficie.

Del mismo modo, una trayectoria matemáticamente ligada puede cruzar el interior del astro. Un modelo de satélite debe comprobar simultáneamente la energía, la geometría del recorrido y la condición r ≥ R.

14.13 La trayectoria depende de cada actualización

Una simulación numérica divide el tiempo en pasos pequeños. En cada paso realiza este ciclo:

1. calcula la distancia y la aceleración desde la posición actual;
2. actualiza la velocidad;
3. actualiza la posición;
4. comprueba colisiones y criterios de finalización;
5. repite el proceso.

El algoritmo aproxima una interacción continua mediante estados discretos. La elección del paso temporal afecta la precisión del recorrido.

14.14 Calcular la aceleración central con JavaScript

La función siguiente transforma una posición cartesiana en la aceleración gravitatoria correspondiente.

function aceleracionGravitatoria(posicion, mu) {
  const r2 = posicion.x ** 2 + posicion.y ** 2;
  const r = Math.sqrt(r2);

  if (r === 0) {
    throw new RangeError("La masa puntual es singular en el origen");
  }

  const factor = -mu / (r2 * r);
  return {
    x: factor * posicion.x,
    y: factor * posicion.y
  };
}

const posicion = { x: 6.771e6, y: 0 }; // 400 km de altitud
const aceleracion = aceleracionGravitatoria(posicion, 3.986e14);

console.log("ax:", aceleracion.x.toFixed(3), "m/s²");
console.log("ay:", aceleracion.y.toFixed(3), "m/s²");
console.log("El vector apunta hacia el centro terrestre.");

14.15 Actualizar un estado en pequeños pasos

Podemos aplicar Euler semimplícito, ya estudiado en cinemática, a una aceleración que cambia con la posición. Cada bloque es ejecutable de forma independiente.

const mu = 3.986e14;
const radioTierra = 6.371e6;
const dt = 2; // segundos
const pasos = 2700;
const estado = {
  x: radioTierra + 400e3,
  y: 0,
  vx: 0,
  vy: 7670
};

let distanciaMinima = Infinity;
let distanciaMaxima = 0;

for (let i = 0; i < pasos; i++) {
  const r = Math.hypot(estado.x, estado.y);
  const factor = -mu / r ** 3;

  estado.vx += factor * estado.x * dt;
  estado.vy += factor * estado.y * dt;
  estado.x += estado.vx * dt;
  estado.y += estado.vy * dt;

  const nuevaDistancia = Math.hypot(estado.x, estado.y);
  distanciaMinima = Math.min(distanciaMinima, nuevaDistancia);
  distanciaMaxima = Math.max(distanciaMaxima, nuevaDistancia);
}

console.log("Altitud mínima:", ((distanciaMinima - radioTierra) / 1000).toFixed(1), "km");
console.log("Altitud máxima:", ((distanciaMaxima - radioTierra) / 1000).toFixed(1), "km");
console.log("Posición final:", estado.x.toFixed(0), estado.y.toFixed(0), "m");

El valor usado produce un recorrido cercano a circular, pero el objetivo aquí es observar el mecanismo. En el próximo tema calcularemos exactamente qué rapidez corresponde a una órbita circular.

14.16 Laboratorio interactivo: de la caída al recorrido orbital

Modificá la altitud, la rapidez y la dirección inicial. La simulación aplica la gravedad terrestre en pasos de cuatro segundos durante un máximo de 12 000 segundos.

• Caída radial: sin velocidad lateral, el cuerpo se dirige a la superficie.
• Velocidad lateral baja: el recorrido se curva, pero todavía intersecta el planeta.
• Recorrido casi circular: la gravedad cambia principalmente la dirección de la velocidad.
• Dirección inclinada: aparece una variación radial desde el primer instante.

14.17 El paso temporal y la trayectoria calculada

Si el paso es demasiado grande, la aceleración se mantiene artificialmente constante durante intervalos largos. La trayectoria puede deformarse, atravesar la superficie entre dos comprobaciones o ganar y perder energía numérica.

Reducir el paso suele mejorar la aproximación, pero incrementa el número de cálculos. Métodos como Verlet o integradores de orden superior pueden conservar mejor ciertas propiedades; su evaluación sistemática se realizará al construir el simulador orbital completo.

Una imagen convincente no garantiza un cálculo correcto: también deben verificarse magnitudes físicas.

14.18 Órbita ideal y movimiento real

El modelo de dos cuerpos con un astro fijo es una primera aproximación. Un satélite real puede experimentar:

• atracción de la Luna, el Sol y otros cuerpos;
• variaciones del campo debidas a que el planeta no es una esfera perfecta;
• resistencia de la atmósfera residual;
• presión de la radiación solar;
• maniobras y control de orientación.

Estas perturbaciones no invalidan el modelo central: indican su alcance y qué efectos deben agregarse cuando la precisión requerida lo justifica.

14.19 Cómo representar el estado en un programa

Una estructura sencilla separa las propiedades del astro y el estado del cuerpo:

const tierra = {
  mu: 3.986e14,
  radio: 6.371e6
};

const satelite = {
  posicion: { x: tierra.radio + 800e3, y: 0 },
  velocidad: { x: 0, y: 7400 }
};

const distancia = Math.hypot(
  satelite.posicion.x,
  satelite.posicion.y
);
const altitud = distancia - tierra.radio;
const rapidez = Math.hypot(
  satelite.velocidad.x,
  satelite.velocidad.y
);

console.log("Distancia al centro:", (distancia / 1000).toFixed(0), "km");
console.log("Altitud:", (altitud / 1000).toFixed(0), "km");
console.log("Rapidez:", (rapidez / 1000).toFixed(2), "km/s");

Esta representación permite cambiar el integrador sin modificar el significado físico de los datos.

14.20 Errores frecuentes

• pensar que un satélite no está cayendo;
• afirmar que en una órbita cercana no existe gravedad;
• suponer que alguna fuerza real debe cancelar exactamente la gravedad;
• confundir rapidez constante con velocidad vectorial constante;
• usar la altitud donde las fórmulas requieren distancia al centro;
• ignorar que una trayectoria puede intersectar la superficie;
• dibujar una elipse y asumir que la simulación es correcta sin verificar sus datos.

14.21 Ejercicio propuesto

Un satélite se encuentra sobre el eje x positivo a 7,0 × 10⁶ m del centro terrestre. Su velocidad instantánea es v⃗ = (0, 7,5 × 10³) m/s. Usá μ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².

1. Calculá el vector aceleración gravitatoria.
2. Explicá por qué velocidad y aceleración son perpendiculares en ese instante.
3. Estimá v⃗ después de 10 s suponiendo constante la aceleración durante ese intervalo.

const mu = 3.986e14;
const posicion = { x: 7e6, y: 0 };
const velocidad = { x: 0, y: 7.5e3 };
const dt = 10;
const r = Math.hypot(posicion.x, posicion.y);
const factor = -mu / r ** 3;
const aceleracion = {
  x: factor * posicion.x,
  y: factor * posicion.y
};
const velocidadNueva = {
  x: velocidad.x + aceleracion.x * dt,
  y: velocidad.y + aceleracion.y * dt
};

console.log("Aceleración:", aceleracion);
console.log("Velocidad estimada:", velocidadNueva);
console.log("Módulo de a:", Math.hypot(aceleracion.x, aceleracion.y).toFixed(3), "m/s²");

14.22 Ideas para recordar

• Una órbita es una caída libre que continúa alrededor del astro.
• La velocidad tangencial hace que el cuerpo avance mientras cae.
• La aceleración gravitatoria apunta en cada instante hacia el centro.
• Posición y velocidad forman el estado mínimo necesario para predecir el movimiento.
• La ingravidez orbital es ausencia de apoyo, no ausencia de gravedad.
• Un satélite ideal no necesita empuje continuo para conservar su movimiento.
• La trayectoria debe comprobarse tanto energética como geométricamente.

En el próximo tema deduciremos la rapidez de una órbita circular a partir de la aceleración centrípeta y la gravedad.