15. Órbitas circulares: velocidad, aceleración y fuerza centrípeta

15.1 El caso circular

Una órbita puede adoptar diferentes formas. Comenzaremos por el caso más simétrico: un cuerpo que mantiene constante su distancia r al centro del astro.

Para que el recorrido sea circular, la velocidad debe ser tangente a la circunferencia y su módulo debe tener un valor preciso. La gravedad no desaparece ni se equilibra: actúa como fuerza neta y curva el movimiento.

El modelo circular permitirá relacionar directamente gravedad, rapidez y radio antes de estudiar trayectorias más generales.

15.2 Condiciones instantáneas de una órbita circular

En cada punto deben cumplirse simultáneamente tres condiciones:

• la distancia al centro permanece igual a r;
• la velocidad es perpendicular al radio;
• la aceleración apunta hacia el centro y tiene el módulo apropiado.

En notación vectorial, la perpendicularidad se expresa como r⃗ · v⃗ = 0. Esta condición por sí sola no basta: una rapidez demasiado pequeña o demasiado grande no conservará el mismo radio.

15.3 Aceleración en un movimiento circular uniforme

Aunque el módulo de la velocidad sea constante, su dirección cambia. Como la velocidad es un vector, ese cambio implica aceleración.

Para un movimiento circular uniforme de radio r y rapidez v, la aceleración centrípeta tiene módulo:

Su dirección es radial y su sentido apunta hacia el centro. “Centrípeta” describe precisamente ese sentido: hacia el centro.

15.4 La gravedad proporciona la aceleración centrípeta

Fuera de un astro esférico, el módulo de la aceleración gravitatoria es:

Si la única interacción relevante es gravitatoria, esa aceleración debe ser la misma que requiere el movimiento circular:

No estamos sumando dos aceleraciones. Son dos maneras de describir la misma aceleración: una indica su causa física y la otra, su función geométrica en el movimiento.

15.5 Deducción de la velocidad circular

Partimos de μ/r² = v²/r. Multiplicamos ambos miembros por r:

Como la rapidez es un módulo no negativo:

Esta es la rapidez que permite una órbita circular ideal a la distancia r. El vector velocidad puede recorrer la circunferencia en cualquiera de los dos sentidos, siempre tangente al círculo.

15.6 Comprobación de unidades

El parámetro gravitacional μ se expresa en m³/s². Al dividirlo por una distancia:

La raíz cuadrada produce m/s, que es la unidad de velocidad. El análisis dimensional no demuestra la fórmula, pero permite detectar errores como olvidar la raíz o utilizar la altitud en lugar de la distancia al centro.

15.7 La masa del satélite se cancela

También podemos deducir el resultado igualando fuerzas:

La masa m del satélite aparece en ambos miembros y se cancela. Dos satélites de masas diferentes, situados a la misma distancia y con la misma velocidad tangencial, pueden recorrer la misma órbita ideal.

La fuerza gravitatoria sí es mayor sobre el satélite más masivo, pero también lo es su inercia en la misma proporción. Por eso ambos adquieren la misma aceleración.

15.8 Radio orbital y altitud

El radio orbital se mide desde el centro del astro. Si el astro tiene radio R y el satélite está a una altitud h:

Usar directamente h en el denominador es uno de los errores más frecuentes y puede producir valores completamente equivocados, en especial a baja altitud.

15.9 La velocidad circular disminuye con la distancia

Como v_c es proporcional a 1/√r, las órbitas circulares más lejanas requieren menor rapidez. Por ejemplo, multiplicar el radio orbital por cuatro divide la rapidez por dos.

Esto puede parecer extraño porque una órbita más grande recorre una circunferencia mayor. Sin embargo, la gravedad también es más débil y la velocidad necesaria para curvar el recorrido disminuye. El tiempo requerido para completar una vuelta será estudiado en el tema siguiente.

15.10 Ejemplo: un satélite a 400 km

Para la Tierra usamos μ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6,371 × 10⁶ m y h = 4,00 × 10⁵ m:

La aceleración centrípeta correspondiente es v²/r ≈ 8,69 m/s², igual al campo gravitatorio terrestre a esa distancia.

15.11 Fuerza centrípeta no significa una fuerza adicional

La expresión F_c = mv²/r no introduce una nueva interacción. “Fuerza centrípeta” es el nombre que recibe la resultante radial hacia el centro cuando un cuerpo describe un movimiento circular.

En el modelo orbital ideal:

No debemos dibujar en un diagrama de cuerpo libre una fuerza gravitatoria hacia el centro y otra centrípeta idéntica. Eso contaría dos veces la misma contribución.

15.12 Vectores en un punto de la órbita

Si el satélite se encuentra en r⃗ = (x, y), un vector unitario radial es r̂ = r⃗/r. La aceleración circular es:

Una dirección tangencial posible se obtiene rotando el vector radial 90°:

Cambiar ambos signos produce el sentido de giro opuesto. En los dos casos r⃗ · v⃗ = 0.

15.13 Rapidez constante, velocidad variable

En una órbita circular ideal, el módulo |v⃗| permanece constante porque la aceleración es perpendicular a la velocidad. La gravedad cambia la dirección, no el módulo instantáneo.

El producto escalar entre fuerza y velocidad es cero, de modo que la potencia gravitatoria instantánea también es cero. No cambia la energía cinética durante el recorrido circular.

Sin embargo, v⃗ no es constante: después de media vuelta apunta en el sentido opuesto al inicial.

15.14 Fuerza y masa del satélite

Aunque la rapidez circular no depende de la masa del satélite, la fuerza necesaria sí:

Un satélite de 2000 kg experimenta el doble de fuerza que uno de 1000 kg en la misma órbita, pero ambos poseen la misma aceleración y rapidez circular.

Esta distinción evita interpretar incorrectamente la cancelación de m como ausencia de fuerza gravitatoria.

15.15 Comparación con la velocidad de escape

Desde la misma distancia:

La velocidad de escape es aproximadamente 1,414 veces la velocidad circular local. Una velocidad entre ambos valores no mantiene una circunferencia, pero tampoco posee energía suficiente para escapar. Esas trayectorias se estudiarán más adelante.

15.16 Problemas inversos

La relación v_c² = μ/r permite despejar otras cantidades:

Si conocemos la rapidez de una órbita circular y el parámetro del astro, podemos hallar el radio orbital. Si observamos el radio y la rapidez, podemos estimar μ y, conociendo G, inferir la masa central.

Estas relaciones suponen que la órbita es realmente circular y que domina una única masa central.

15.17 Calcular una órbita circular con JavaScript

Una función puede reunir las magnitudes relacionadas y validar las unidades de entrada.

function datosOrbitaCircular(mu, radioAstro, altitud, masaSatelite) {
  if (mu <= 0 || radioAstro <= 0 || altitud < 0 || masaSatelite <= 0) {
    throw new RangeError("Los datos deben representar magnitudes físicas válidas");
  }

  const radioOrbital = radioAstro + altitud;
  const velocidad = Math.sqrt(mu / radioOrbital);
  const aceleracion = mu / radioOrbital ** 2;
  const fuerza = masaSatelite * aceleracion;

  return { radioOrbital, velocidad, aceleracion, fuerza };
}

const datos = datosOrbitaCircular(3.986e14, 6.371e6, 400e3, 1200);

console.log("Radio orbital:", (datos.radioOrbital / 1000).toFixed(0), "km");
console.log("Velocidad:", (datos.velocidad / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("Aceleración:", datos.aceleracion.toFixed(3), "m/s²");
console.log("Fuerza sobre 1200 kg:", datos.fuerza.toFixed(0), "N");

15.18 Construir los vectores del estado circular

El ángulo polar permite situar el satélite en cualquier punto de la circunferencia y construir una velocidad tangente.

function estadoCircular(mu, radio, angulo) {
  const velocidad = Math.sqrt(mu / radio);
  const coseno = Math.cos(angulo);
  const seno = Math.sin(angulo);

  return {
    posicion: { x: radio * coseno, y: radio * seno },
    velocidad: { x: -velocidad * seno, y: velocidad * coseno },
    aceleracion: {
      x: -(mu / radio ** 2) * coseno,
      y: -(mu / radio ** 2) * seno
    }
  };
}

const estado = estadoCircular(3.986e14, 7e6, Math.PI / 3);
const productoRV = estado.posicion.x * estado.velocidad.x
  + estado.posicion.y * estado.velocidad.y;

console.log("Posición:", estado.posicion);
console.log("Velocidad:", estado.velocidad);
console.log("Aceleración:", estado.aceleracion);
console.log("r · v:", productoRV.toFixed(6));

El producto escalar resulta numéricamente cercano a cero, confirmando que posición y velocidad son perpendiculares.

15.19 Laboratorio interactivo: vectores en una órbita circular

Elegí un astro, modificá la altitud, la masa del satélite y su posición angular. El laboratorio calcula la rapidez circular y representa los vectores velocidad y aceleración.

• Aumentá la altitud: disminuyen rapidez, aceleración y fuerza.
• Aumentá la masa: cambia la fuerza, pero no la rapidez ni la aceleración.
• Mové el ángulo: los vectores rotan, manteniendo su perpendicularidad.

15.20 Límites de la órbita circular ideal

La fórmula supone un astro esférico aislado, un satélite de masa despreciable y ausencia de rozamiento. Además, requiere una condición inicial exacta.

En la realidad, pequeñas perturbaciones pueden modificar lentamente la trayectoria. La atmósfera residual afecta las órbitas bajas y otros cuerpos ejercen fuerzas adicionales. Tampoco todo radio matemático es físicamente posible: la circunferencia debe quedar fuera de la superficie y de obstáculos.

Aun con estas limitaciones, el modelo circular es una referencia esencial para analizar y diseñar movimientos orbitales.

15.21 Errores frecuentes

• usar la altitud h en lugar del radio orbital R + h;
• dibujar gravedad y fuerza centrípeta como fuerzas diferentes;
• afirmar que la aceleración es cero porque la rapidez no cambia;
• olvidar que la velocidad debe ser tangente al círculo;
• creer que un satélite más masivo necesita mayor rapidez circular;
• mezclar kilómetros con un parámetro μ expresado en m³/s²;
• aplicar la fórmula circular a una trayectoria cuyo radio cambia.

15.22 Ejercicio propuesto

Un satélite de 800 kg describe una órbita circular alrededor de un planeta con μ = 6,4 × 10¹³ m³/s². El radio del planeta es 3,0 × 10⁶ m y la altitud del satélite es 1,0 × 10⁶ m.

1. Calculá el radio orbital.
2. Calculá la velocidad circular.
3. Calculá la aceleración centrípeta y la fuerza gravitatoria.
4. Compará la velocidad circular con la velocidad de escape local.

const mu = 6.4e13;
const radioPlaneta = 3e6;
const altitud = 1e6;
const masa = 800;
const radioOrbital = radioPlaneta + altitud;

const velocidadCircular = Math.sqrt(mu / radioOrbital);
const aceleracion = mu / radioOrbital ** 2;
const fuerza = masa * aceleracion;
const velocidadEscape = Math.sqrt(2 * mu / radioOrbital);

console.log("Radio:", radioOrbital, "m");
console.log("v_circular:", velocidadCircular, "m/s");
console.log("Aceleración:", aceleracion, "m/s²");
console.log("Fuerza:", fuerza, "N");
console.log("v_escape:", velocidadEscape.toFixed(2), "m/s");

15.23 Ideas para recordar

• En una órbita circular, la velocidad es tangente y la aceleración apunta al centro.
• La gravedad proporciona la aceleración centrípeta: μ/r² = v²/r.
• La rapidez circular es v_c = √(μ/r).
• El radio orbital se mide desde el centro: r = R + h.
• La masa del satélite no modifica su rapidez ni su aceleración orbital ideal.
• La fuerza centrípeta no es una interacción adicional a la gravedad.
• Desde el mismo punto, v_esc = √2 v_c.

En el próximo tema relacionaremos la longitud de la circunferencia y la rapidez circular para obtener el período orbital y estudiar cómo cambia con el radio.