16. Período orbital y relación entre período y radio

16.1 Qué es el período orbital

El período orbital, representado mediante T, es el tiempo que tarda un cuerpo en completar una vuelta y regresar al mismo estado de posición y movimiento.

En una órbita circular uniforme, cualquier punto sirve como referencia para iniciar la medición. Después de un período, el satélite vuelve a la misma posición con la misma dirección de velocidad.

El período se expresa en segundos en el Sistema Internacional, aunque para comunicar resultados también son útiles minutos, horas o días.

16.2 Distancia recorrida en una vuelta

Una órbita circular de radio r tiene una longitud igual a la circunferencia:

Si el movimiento es uniforme, la rapidez es distancia dividida por tiempo:

Despejando el período obtenemos una primera relación puramente cinemática:

16.3 Incorporar la velocidad circular

En el tema anterior dedujimos que la gravedad mantiene una órbita circular cuando:

Sustituimos esa rapidez en T = 2πr/v:

Como dividir por √(μ/r) equivale a multiplicar por √(r/μ), resulta:

16.4 La relación entre período y radio

Al elevar al cuadrado la expresión anterior:

Para diferentes órbitas circulares alrededor del mismo astro, μ permanece constante. Por lo tanto:

El período no es proporcional al radio de forma lineal. Crece como r^3/2. En el tema siguiente reconoceremos esta estructura dentro de las leyes de Kepler y veremos cómo se extiende a órbitas no circulares.

16.5 Comprobación de unidades

El cociente dentro de la raíz tiene unidades:

Su raíz cuadrada se expresa en segundos y el factor 2π es adimensional. El resultado posee entonces la unidad correcta para un intervalo temporal.

Esta comprobación ayuda a detectar el uso accidental de kilómetros junto con un μ expresado en m³/s².

16.6 Dos razones por las que aumenta el período

Al aumentar el radio orbital ocurren simultáneamente dos cambios:

• la circunferencia 2πr es más larga;
• la rapidez circular √(μ/r) es menor.

El cuerpo debe recorrer más distancia y lo hace más lentamente. Por eso el período crece más rápido que el radio.

16.7 Ley de escala

Para dos órbitas circulares alrededor del mismo astro:

Esta forma permite comparar sin conocer μ. Algunos ejemplos:

• si r₂ = 2r₁, entonces T₂ = 2^3/2T₁ ≈ 2,828T₁;
• si r₂ = 4r₁, entonces T₂ = 8T₁;
• si r₂ = 9r₁, entonces T₂ = 27T₁.

16.8 El período no depende de la masa del satélite

La masa del satélite no aparece en T = 2π√(r³/μ). En el modelo ideal, cuerpos de masas diferentes situados en la misma órbita circular alrededor del mismo astro poseen igual rapidez y período.

La masa central sí importa a través de μ = GM. Para un mismo radio orbital, un astro con mayor μ produce una gravedad más intensa, una rapidez circular mayor y un período menor.

16.9 Radio orbital y altitud

Como en las fórmulas anteriores, r se mide desde el centro. Si R es el radio del astro y h la altitud:

El cubo afecta a la distancia completa al centro, no solamente a la altitud.

16.10 Ejemplo terrestre a 400 km

Tomamos μ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s² y r = 6,771 × 10⁶ m:

En el modelo circular ideal, el satélite completa aproximadamente 15,6 vueltas cada 24 horas. Este valor no incluye perturbaciones ni correcciones operativas.

16.11 Frecuencia orbital

La frecuencia f indica cuántas vueltas se completan por unidad de tiempo:

Su unidad SI es el hertz: 1 Hz = 1 ciclo por segundo. Los períodos orbitales suelen ser largos, por lo que aparecen valores pequeños de frecuencia. También puede comunicarse el número de órbitas por día:

16.12 Velocidad angular

Una vuelta completa corresponde a 2π radianes. La velocidad angular constante de una órbita circular es:

Combinando esta relación con la gravedad:

La posición angular puede expresarse como θ(t) = θ₀ + ωt. Esta descripción permite calcular directamente dónde se encuentra el satélite en el modelo circular.

16.13 Estado orbital en función del tiempo

Si la órbita se encuentra en el plano xy, podemos escribir:

Después de un período, ωT = 2π. Sumar 2π a un ángulo conduce al mismo punto de la circunferencia, de modo que posición y velocidad vuelven a sus valores iniciales.

16.14 Hallar el radio a partir del período

En algunos problemas se fija un período deseado y se busca el radio orbital. Partimos de T² = 4π²r³/μ:

La altitud correspondiente es h = r − R. Debemos comprobar que el radio obtenido sea mayor que el radio físico del astro.

16.15 Ejemplo inverso: un período de 24 horas

Para una órbita circular terrestre ideal con T = 86 400 s:

El valor corresponde exactamente a un período de 24 horas. El día de rotación relevante para un satélite geoestacionario preciso es ligeramente menor que 24 horas; además se requieren una órbita ecuatorial y el sentido de giro adecuado. Por eso “tener un período de 24 horas” no basta por sí solo para ser geoestacionario.

16.16 Hallar el parámetro gravitacional

Si observamos una órbita circular y medimos su radio y período, podemos despejar:

Esta relación permite determinar el parámetro gravitacional de un astro mediante el movimiento de un satélite. Después, si conocemos G, podemos estimar la masa M = μ/G.

En la práctica se combinan múltiples observaciones y modelos más completos para mejorar la precisión.

16.17 Calcular período y frecuencia con JavaScript

function datosTemporales(mu, radioAstro, altitud) {
  if (mu <= 0 || radioAstro <= 0 || altitud < 0) {
    throw new RangeError("Los datos orbitales no son válidos");
  }

  const radio = radioAstro + altitud;
  const velocidad = Math.sqrt(mu / radio);
  const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(radio ** 3 / mu);
  const frecuencia = 1 / periodo;
  const velocidadAngular = 2 * Math.PI / periodo;

  return { radio, velocidad, periodo, frecuencia, velocidadAngular };
}

const orbita = datosTemporales(3.986e14, 6.371e6, 400e3);

console.log("Rapidez:", (orbita.velocidad / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("Período:", orbita.periodo.toFixed(1), "s");
console.log("Período:", (orbita.periodo / 60).toFixed(2), "min");
console.log("Órbitas por día:", (86400 / orbita.periodo).toFixed(2));

16.18 Comparar radios sin repetir todos los cálculos

La ley de escala puede implementarse directamente:

function relacionPeriodos(radio1, radio2) {
  if (radio1 <= 0 || radio2 <= 0) {
    throw new RangeError("Los radios deben ser positivos");
  }
  return (radio2 / radio1) ** 1.5;
}

const casos = [2, 4, 9];

for (const factorRadio of casos) {
  const factorPeriodo = relacionPeriodos(1, factorRadio);
  console.log(
    `r₂ = ${factorRadio} r₁ → T₂ = ${factorPeriodo.toFixed(3)} T₁`
  );
}

La comparación solo requiere que ambas órbitas correspondan al mismo cuerpo central.

16.19 Laboratorio interactivo: cómo crece el período

Seleccioná un astro, cambiá la altitud y avanzá una fracción del período. El gráfico compara el radio orbital con el período normalizado respecto de una órbita circular en la superficie ideal.

• Duplicá el radio: observá que el período se multiplica por aproximadamente 2,828.
• Llevá el radio a 4R: el período se multiplica por 8.
• Cambiá el astro: para el mismo r/R, los tiempos reales cambian por μ y R.

16.20 Elegir y comunicar unidades de tiempo

Internamente conviene almacenar el período en segundos. Para presentarlo podemos elegir una escala legible:

• menos de 2 horas: minutos;
• entre 2 y 48 horas: horas;
• más de 48 horas: días.

La conversión solo modifica la presentación, no el valor físico. Siempre debe acompañarse el número con su unidad y evitar comparaciones entre cantidades expresadas en escalas distintas.

16.21 Límites del resultado

La fórmula fue deducida para una órbita circular dominada por una masa central esférica. No incorpora resistencia atmosférica, perturbaciones de otros cuerpos ni irregularidades gravitatorias.

En una trayectoria no circular, la distancia y la rapidez cambian durante la vuelta. El período continúa relacionado con el tamaño de la órbita, pero la generalización requiere una magnitud distinta del radio instantáneo. Esa extensión aparecerá al estudiar las leyes de Kepler.

16.22 Errores frecuentes

• usar la altitud en lugar de r = R + h;
• suponer que T es proporcional directamente a r;
• olvidar elevar el radio al cubo o extraer la raíz cuadrada;
• mezclar kilómetros, metros, horas y segundos dentro de una fórmula;
• creer que un satélite más masivo tarda más en completar la misma órbita;
• usar el radio instantáneo de una trayectoria no circular en la fórmula circular;
• confundir período con frecuencia: una aumenta cuando la otra disminuye.

16.23 Ejercicio propuesto

Un planeta tiene μ = 8,0 × 10¹³ m³/s². Un satélite describe una órbita circular de radio r₁ = 5,0 × 10⁶ m.

1. Calculá el período T₁ en segundos y minutos.
2. Otro satélite orbita a r₂ = 1,0 × 10⁷ m. Obtené T₂ usando la ley de escala.
3. Comprobá T₂ con la fórmula completa.

const mu = 8e13;
const r1 = 5e6;
const r2 = 1e7;

const periodo = radio => 2 * Math.PI * Math.sqrt(radio ** 3 / mu);
const t1 = periodo(r1);
const factorEscala = (r2 / r1) ** 1.5;
const t2Escala = t1 * factorEscala;
const t2Directo = periodo(r2);

console.log("T1:", t1.toFixed(2), "s");
console.log("Factor:", factorEscala.toFixed(6));
console.log("T2 por escala:", t2Escala.toFixed(2), "s");
console.log("T2 directo:", t2Directo.toFixed(2), "s");

16.24 Ideas para recordar

• El período es el tiempo necesario para completar una vuelta.
• En una órbita circular, T = 2πr/v.
• Al incorporar la gravedad, T = 2π√(r³/μ).
• Alrededor del mismo astro, T²/r³ permanece constante.
• El período crece como r^3/2 y no depende de la masa del satélite.
• La frecuencia es f = 1/T y la velocidad angular es ω = 2π/T.
• Un período conocido permite calcular el radio mediante una raíz cúbica.

En el próximo tema estudiaremos las leyes de Kepler, que describen la forma, el barrido de áreas y los períodos de las órbitas planetarias.