17. Las tres leyes de Kepler

17.1 De las observaciones a tres leyes

Johannes Kepler formuló tres leyes empíricas a partir de observaciones astronómicas. Estas leyes describieron con precisión el movimiento planetario antes de que Newton explicara su causa mediante la gravitación universal.

Hoy sabemos que las tres aparecen como consecuencias del problema gravitatorio de dos cuerpos. También sirven como una excelente descripción inicial de satélites, planetas, cometas y sistemas binarios cuando una masa domina o cuando trabajamos con el movimiento relativo.

Las leyes responden tres preguntas distintas: qué forma tiene la órbita, cómo cambia el ritmo durante una vuelta y cómo se relacionan tamaño y período.

17.2 Primera ley: órbitas elípticas

En una aplicación general, reemplazamos “planeta” y “Sol” por un cuerpo orbitante y el foco gravitatorio correspondiente. Una circunferencia es el caso particular de una elipse con excentricidad cero.

La ley no afirma que todas las órbitas sean muy alargadas. Muchas órbitas planetarias son casi circulares, pero su descripción geométrica correcta sigue siendo una elipse.

17.3 El foco no es el centro

La elipse tiene dos focos simétricos respecto de su centro. El cuerpo central ocupa uno de ellos, no el centro geométrico. Por eso la distancia entre ambos cuerpos cambia a lo largo de la trayectoria.

El punto más cercano al foco se llama periapsis y el más lejano, apoapsis. Sus nombres específicos dependen del cuerpo central: perihelio y afelio alrededor del Sol; perigeo y apogeo alrededor de la Tierra.

El segundo foco es una propiedad geométrica: no necesita contener otro cuerpo.

17.4 Tamaño y forma de la elipse

El semieje mayor a mide la mitad de la dimensión más larga y fija la escala de la órbita. La excentricidad e indica cuánto se aparta la forma de una circunferencia:

El semieje menor es b = a√(1 − e²) y la distancia del centro a cada foco es c = ae. En los próximos temas desarrollaremos con más detalle la geometría de las secciones cónicas.

17.5 Distancias extremas

A partir de a y e se obtienen las distancias al foco en los extremos de la elipse:

Su promedio es el semieje mayor: (r_p + r_a)/2 = a. No debe confundirse este promedio geométrico de los extremos con la distancia instantánea ni con una media temporal.

17.6 Segunda ley: áreas iguales en tiempos iguales

Imaginemos el radio vector como una aguja que se desplaza junto con el planeta. En dos intervalos de igual duración, los sectores barridos poseen la misma área aunque tengan formas diferentes.

La razón de cambio del área se denomina velocidad areolar y permanece constante:

17.7 La rapidez orbital no es constante

Cerca de la periapsis, el radio es corto. Para barrer la misma área en el mismo tiempo, el cuerpo debe recorrer un arco más largo y se mueve más rápido. Cerca de la apoapsis sucede lo contrario.

La segunda ley habla de área por unidad de tiempo, no de ángulos iguales ni de distancias iguales. El cuerpo no completa la mitad geométrica visible de la elipse necesariamente en la mitad del período si esa mitad no está delimitada respecto del foco.

17.8 Relación con el momento angular

La gravedad es una fuerza central: apunta a lo largo del radio vector. Por eso su torque respecto del foco es cero y se conserva el momento angular específico h.

El área de un pequeño triángulo barrido durante Δt es aproximadamente |r⃗ × v⃗|Δt/2. En el límite:

La segunda ley es, por lo tanto, la expresión geométrica de la conservación del momento angular. Este vínculo se estudiará con mayor profundidad en el tema 22.

17.9 Área total y fracción del período

El área de una elipse es A = πab. Como se barre uniformemente en el tiempo, al transcurrir una fracción q del período también se barre la misma fracción del área:

Por ejemplo, durante el 25 % del período se barre el 25 % del área total. Esto no significa recorrer el 25 % del perímetro.

17.10 Tercera ley: período y semieje mayor

En una elipse se utiliza el semieje mayor, no la distancia instantánea, la periapsis ni la apoapsis. Para una circunferencia, a coincide con el radio y recuperamos el resultado del tema anterior.

17.11 Forma newtoniana de la tercera ley

Si una masa central M domina y la masa orbitante puede despreciarse, μ = GM y:

Para dos masas comparables debe emplearse el parámetro gravitacional total G(M + m). En ese caso, a describe la elipse de separación en el movimiento relativo:

17.12 Comparar dos órbitas

Si dos cuerpos orbitan la misma masa central, el factor 4π²/μ se cancela:

La excentricidad no aparece en esta relación. Dos elipses con el mismo semieje mayor y distinta excentricidad tienen el mismo período ideal alrededor del mismo centro, aunque distribuyen de manera diferente sus distancias y velocidades durante la vuelta.

17.13 Unidades astronómicas convenientes

Para órbitas alrededor del Sol podemos comparar con la Tierra. Si a se expresa en unidades astronómicas y T en años terrestres:

Esta forma funciona porque para la Tierra a ≈ 1 ua y T ≈ 1 año. No es una ecuación sin unidades universal: es una relación normalizada al sistema Sol–Tierra.

Si a = 4 ua, entonces T = √(4³) = 8 años. Si a = 0,25 ua, T = 0,125 años.

17.14 Ejemplo: estimar el período de Marte

El semieje mayor de la órbita marciana es aproximadamente 1,524 veces el terrestre. Usando la ley de escala:

La comparación no requiere introducir explícitamente la masa solar porque ambos planetas orbitan el mismo cuerpo central.

17.15 Las leyes actúan juntas

• La primera ley fija una trayectoria elíptica y ubica el centro de atracción en un foco.
• La segunda determina cómo avanza el cuerpo por esa trayectoria: rápido cerca del foco y lento lejos de él.
• La tercera relaciona la escala global de la elipse con el tiempo total de la vuelta.

Ninguna de las tres, por sí sola, entrega todos los detalles del estado orbital en un instante. Para calcular la posición en función del tiempo necesitamos además resolver la ecuación de Kepler.

17.16 Del tiempo a la posición: ecuación de Kepler

Definimos la anomalía media M, que crece uniformemente desde la periapsis:

La anomalía excéntrica E se relaciona con ella mediante:

Esta ecuación trascendente generalmente se resuelve de forma numérica. Una vez conocido E, las coordenadas respecto del foco son x = a(cos E − e) e y = a√(1 − e²) sen E.

17.17 Resolver la ecuación de Kepler con JavaScript

function resolverKepler(anomaliaMedia, excentricidad) {
  if (excentricidad < 0 || excentricidad >= 1) {
    throw new RangeError("La órbita debe ser elíptica: 0 ≤ e < 1");
  }

  let E = excentricidad < 0.8 ? anomaliaMedia : Math.PI;

  for (let i = 0; i < 20; i++) {
    const funcion = E - excentricidad * Math.sin(E) - anomaliaMedia;
    const derivada = 1 - excentricidad * Math.cos(E);
    const correccion = funcion / derivada;
    E -= correccion;
    if (Math.abs(correccion) < 1e-12) break;
  }
  return E;
}

const e = 0.6;
const M = Math.PI / 2;
const E = resolverKepler(M, e);

console.log("M:", M.toFixed(6), "rad");
console.log("E:", E.toFixed(6), "rad");
console.log("Comprobación:", (E - e * Math.sin(E)).toFixed(6));

El método de Newton mejora una aproximación en cada iteración. El criterio de parada evita continuar cuando la corrección ya es insignificante.

17.18 Calcular un estado elíptico

function estadoKepleriano(a, e, fraccionPeriodo, mu) {
  if (a <= 0 || mu <= 0 || e < 0 || e >= 1) {
    throw new RangeError("Parámetros orbitales no válidos");
  }

  const q = ((fraccionPeriodo % 1) + 1) % 1;
  const M = 2 * Math.PI * q;
  let E = e < 0.8 ? M : Math.PI;

  for (let i = 0; i < 20; i++) {
    E -= (E - e * Math.sin(E) - M) / (1 - e * Math.cos(E));
  }

  const b = a * Math.sqrt(1 - e ** 2);
  const x = a * (Math.cos(E) - e);
  const y = b * Math.sin(E);
  const r = a * (1 - e * Math.cos(E));
  const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(a ** 3 / mu);

  return { x, y, r, periodo, areaBarrida: q * Math.PI * a * b };
}

const estado = estadoKepleriano(1.496e11, 0.0167, 0.25, 1.3271244e20);
console.log("Distancia:", (estado.r / 1.496e11).toFixed(4), "ua");
console.log("Período:", (estado.periodo / 86400).toFixed(2), "días");
console.log("Área barrida:", estado.areaBarrida.toExponential(4), "m²");

17.19 Laboratorio interactivo: forma, áreas y período

Modificá el semieje mayor, la excentricidad y el tiempo transcurrido. La posición se obtiene resolviendo la ecuación de Kepler; las cuatro zonas coloreadas corresponden a cuatro intervalos iguales de tiempo y, por la segunda ley, tienen igual área.

• Aumentá e: el foco se aleja del centro y crece la diferencia entre perihelio y afelio.
• Avanzá el tiempo: compará cuánto arco recorre el cuerpo cerca y lejos del foco.
• Cambiá a: la forma relativa puede mantenerse, pero el período cambia como a^3/2.

17.20 Alcance y aproximaciones

Las leyes describen exactamente el problema ideal de dos cuerpos con interacción newtoniana. En un sistema real aparecen perturbaciones de otros cuerpos, achatamiento del astro, rozamiento atmosférico, presión de radiación y efectos relativistas.

Una órbita real puede representarse durante intervalos cortos mediante una elipse instantánea cuyos elementos cambian lentamente. Las leyes de Kepler siguen siendo entonces la referencia sobre la cual se miden las perturbaciones.

La primera ley presentada aquí se refiere a órbitas ligadas. Trayectorias parabólicas e hiperbólicas también son soluciones gravitatorias, pero no poseen un período orbital cerrado.

17.21 Errores frecuentes

• ubicar el cuerpo central en el centro de la elipse en lugar de un foco;
• interpretar áreas iguales como arcos, ángulos o distancias iguales;
• suponer que la rapidez permanece constante en una órbita elíptica;
• usar la distancia instantánea r en la tercera ley en lugar del semieje mayor a;
• comparar T²/a³ para órbitas de centros con masas diferentes sin incluir μ;
• confundir excentricidad con tamaño: e describe la forma y a, la escala;
• usar T² = a³ con segundos y metros, ignorando que esa forma está normalizada.

17.22 Ejercicio conceptual

Dos satélites recorren elipses alrededor del mismo planeta. Ambas tienen a = 20 000 km, pero la órbita A posee e = 0,1 y la B, e = 0,6.

1. ¿Cuál tiene mayor período?
2. ¿Cuál presenta mayor diferencia entre las rapideces de periapsis y apoapsis?
3. ¿Qué fracción del área barre cada una durante un cuarto de su período?

17.23 Ejercicio numérico y de programación

Un objeto orbita el Sol con perihelio r_p = 0,5 ua y afelio r_a = 3,5 ua.

1. Calculá el semieje mayor a = (r_p + r_a)/2.
2. Calculá la excentricidad e = (r_a − r_p)/(r_a + r_p).
3. Estimá el período en años mediante T² = a³.

const perihelioUA = 0.5;
const afelioUA = 3.5;

const aUA = (perihelioUA + afelioUA) / 2;
const e = (afelioUA - perihelioUA) / (afelioUA + perihelioUA);
const periodoAnios = Math.sqrt(aUA ** 3);

console.log("Semieje mayor:", aUA.toFixed(3), "ua");
console.log("Excentricidad:", e.toFixed(3));
console.log("Período:", periodoAnios.toFixed(3), "años");
console.log("Comprobación T²/a³:", (periodoAnios ** 2 / aUA ** 3).toFixed(6));

17.24 Ideas para recordar

• Una órbita ligada ideal es una elipse con el centro de atracción en uno de sus focos.
• La circunferencia es una elipse de excentricidad cero.
• El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
• La rapidez es máxima en la periapsis y mínima en la apoapsis.
• La velocidad areolar constante expresa la conservación del momento angular.
• Para un mismo centro, T²/a³ es constante.
• El semieje mayor determina el período; la excentricidad determina la forma.

En el próximo tema ampliaremos la primera ley estudiando las secciones cónicas: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas como posibles trayectorias gravitatorias.