18. Secciones cónicas: órbitas circulares, elípticas, parabólicas e hiperbólicas

18.1 Una familia común de curvas

Al cortar un cono doble mediante planos con diferentes inclinaciones aparecen una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Por ese origen geométrico reciben el nombre de secciones cónicas.

Estas mismas curvas surgen al resolver el movimiento de dos cuerpos que se atraen con una fuerza proporcional a 1/r². No se trata de una coincidencia gráfica: son las trayectorias exactas del modelo gravitatorio newtoniano ideal.

La circunferencia y la elipse son órbitas cerradas. La parábola y la hipérbola son trayectorias abiertas de escape o encuentro.

18.2 El foco gravitatorio

En toda trayectoria cónica no degenerada, el centro de atracción ocupa uno de los focos. El radio vector r⃗ se mide desde ese foco hasta el cuerpo orbitante.

En una circunferencia el foco coincide con el centro. En una elipse queda desplazado del centro geométrico. En una parábola o hipérbola abierta, el foco continúa siendo el origen físico desde el cual actúa la gravedad.

Esto permite describir las cuatro familias con una misma ecuación polar.

18.3 Ecuación polar de una cónica

Si el ángulo verdadero ν se mide desde la dirección de la periapsis, la distancia al foco es:

e es la excentricidad y p el semilado recto, un parámetro de escala relacionado con el momento angular. La misma expresión genera distintas curvas al cambiar e.

El denominador también explica por qué ν = 0 corresponde a la distancia mínima: cos 0 = 1 y r_p = p/(1 + e).

18.4 La excentricidad clasifica la trayectoria

La excentricidad es adimensional. Describe la forma, pero no determina por sí sola el tamaño ni la orientación de la trayectoria.

18.5 Circunferencia: e = 0

Cuando e = 0, la ecuación polar se reduce a r = p. La distancia al foco permanece constante y la trayectoria es circular.

La velocidad debe ser perpendicular al radio y tener el módulo preciso:

La circunferencia no constituye una categoría ajena a las elipses: es su caso perfectamente simétrico, con ambos focos coincidentes.

18.6 Elipse: 0 < e < 1

En una elipse la distancia permanece acotada entre la periapsis y la apoapsis. El cuerpo regresa periódicamente a cada punto de la órbita.

La rapidez cambia: es máxima en la periapsis y mínima en la apoapsis. El semieje mayor a determina el período mediante la tercera ley de Kepler.

18.7 Parábola: e = 1

La parábola representa la frontera exacta entre una órbita ligada y una trayectoria no ligada. El cuerpo posee la energía justa para alejarse indefinidamente mientras su rapidez tiende a cero.

A una distancia inicial r, la rapidez de escape es:

“Rapidez final cero” significa el límite cuando r tiende a infinito; no que el cuerpo se detenga en un punto finito.

18.8 Hipérbola: e > 1

Si la energía supera el límite parabólico, la trayectoria es hiperbólica. El cuerpo llega desde una gran distancia, se desvía por la gravedad y vuelve a alejarse, o parte cerca del foco y escapa.

Lejos del centro conserva una rapidez residual denominada rapidez de exceso hiperbólico v_∞:

La hipérbola matemática tiene dos ramas, pero una condición inicial gravitatoria recorre solo la rama físicamente conectada con el estado del cuerpo.

18.9 Energía específica como criterio

La energía mecánica por unidad de masa del cuerpo orbitante es:

• ε < 0: circunferencia o elipse, trayectoria ligada;
• ε = 0: parábola ideal, límite de escape;
• ε > 0: hipérbola, trayectoria no ligada.

Este criterio depende del módulo de la velocidad y de la distancia en el instante analizado. En el tema 21 estudiaremos con detalle la energía orbital.

18.10 Momento angular y forma

La energía decide si la trayectoria está ligada, pero no basta para conocer su forma completa. También importa el momento angular específico:

Su módulo mide cuánto movimiento transversal existe respecto del foco. Para una fuerza gravitatoria central, h⃗ se conserva y la trayectoria permanece en un plano perpendicular a ese vector.

El semilado recto se obtiene mediante p = h²/μ. Una velocidad casi radial produce un momento angular pequeño y una trayectoria que pasa muy cerca del centro.

18.11 Vector de excentricidad

La excentricidad puede calcularse directamente a partir de un estado de posición y velocidad:

Su módulo es la excentricidad e. Además, el vector apunta hacia la periapsis, de modo que contiene información de forma y orientación.

En una órbita circular su módulo es cero y la dirección de la periapsis queda indefinida, porque todos los puntos se encuentran a la misma distancia.

18.12 La relación entre energía y excentricidad

Combinando energía y momento angular obtenemos:

Si ε es negativa, el término añadido es negativo y e < 1. Si ε = 0, resulta e = 1. Si ε es positiva, e > 1.

En una caída perfectamente radial h = 0 y aparece el caso degenerado e = 1 incluso con energía negativa. La clasificación habitual presupone una cónica no degenerada con momento angular distinto de cero.

18.13 El semieje mayor generalizado

Para circunferencias y elipses, la energía se relaciona con un semieje mayor positivo:

En una parábola, a tiende a infinito. Para una hipérbola es habitual asignar a < 0 si se conserva la misma relación algebraica; algunos textos trabajan con su magnitud |a|.

Por eso siempre conviene declarar la convención utilizada al programar cálculos orbitales.

18.14 Un lanzamiento tangencial desde una distancia fija

Supongamos que un cuerpo parte a distancia r con velocidad perpendicular al radio. Al aumentar su rapidez aparecen diferentes casos:

• v = v_c: circunferencia;
• v_c < v < v_esc: elipse con el lanzamiento en la periapsis;
• v = v_esc: parábola;
• v > v_esc: hipérbola;
• 0 < v < v_c: elipse con el lanzamiento en la apoapsis, si no intersecta el astro.

Una velocidad menor que la circular no implica automáticamente caída directa: la componente tangencial puede sostener una elipse cuyo punto más cercano quede por debajo o por encima de la superficie.

18.15 La dirección también importa

A igual distancia y rapidez, la energía específica es la misma. Sin embargo, cambiar la dirección modifica h y, por consiguiente, la excentricidad, la orientación y la distancia de máximo acercamiento.

Una componente radial desplaza el punto inicial respecto de la periapsis o apoapsis. Por eso conocer solo r y v no permite determinar toda la trayectoria: hacen falta los vectores r⃗ y v⃗.

Esta observación será central cuando determinemos una órbita completa a partir de su estado en el tema 24.

18.16 Clasificar una trayectoria con JavaScript

function clasificarTrayectoria(mu, posicion, velocidad) {
  const r = Math.hypot(posicion.x, posicion.y);
  const v2 = velocidad.x ** 2 + velocidad.y ** 2;
  const energia = v2 / 2 - mu / r;
  const h = posicion.x * velocidad.y - posicion.y * velocidad.x;
  const ex = velocidad.y * h / mu - posicion.x / r;
  const ey = -velocidad.x * h / mu - posicion.y / r;
  const e = Math.hypot(ex, ey);
  const tolerancia = mu / r * 1e-10;

  let tipo;
  if (Math.abs(e) < 1e-8) tipo = "circular";
  else if (energia < -tolerancia) tipo = "elíptica";
  else if (Math.abs(energia) <= tolerancia) tipo = "parabólica";
  else tipo = "hiperbólica";

  return { tipo, energia, momentoAngular: h, excentricidad: e };
}

const estado = clasificarTrayectoria(
  3.986e14,
  { x: 7e6, y: 0 },
  { x: 0, y: 9000 }
);

console.log("Tipo:", estado.tipo);
console.log("Energía específica:", estado.energia.toExponential(4), "J/kg");
console.log("Excentricidad:", estado.excentricidad.toFixed(6));

18.17 Generar puntos mediante la ecuación polar

function puntosConica(p, e, muestras = 180) {
  if (p <= 0 || e < 0) throw new RangeError("p y e no son válidos");

  const limite = e < 1
    ? Math.PI
    : Math.acos(-1 / e) - 1e-3;
  const puntos = [];

  for (let i = 0; i <= muestras; i++) {
    const nu = -limite + 2 * limite * i / muestras;
    const r = p / (1 + e * Math.cos(nu));
    puntos.push({
      x: r * Math.cos(nu),
      y: r * Math.sin(nu)
    });
  }
  return puntos;
}

for (const e of [0, 0.6, 1, 1.5]) {
  const puntos = puntosConica(1, e);
  console.log("e =", e, "→", puntos.length, "puntos");
}

En curvas abiertas evitamos evaluar exactamente la dirección asintótica, donde el denominador tiende a cero y la distancia crece sin límite.

18.18 Laboratorio interactivo: de círculo a hipérbola

El cuerpo parte desde r = 1 con una rapidez expresada como múltiplo de la rapidez circular local. Modificá también la dirección respecto de la tangente. El laboratorio calcula energía, momento angular y vector de excentricidad antes de dibujar la cónica.

• Superá √2 v_c: la energía cambia de signo y la curva se vuelve hiperbólica.
• Cambiá el ángulo: la energía se mantiene para igual rapidez, pero cambian h y e.
• Usá menos que v_c: el punto inicial pasa a ser la zona lejana de una elipse.

18.19 Curva matemática y trayectoria física

Una ecuación cónica puede extenderse hasta distancias o regiones sin sentido para un objeto real. Una elipse calculada podría atravesar la superficie del astro; en ese caso el cuerpo impactaría antes de completar la curva.

La atmósfera, el tamaño físico de los cuerpos y otras perturbaciones también limitan la trayectoria ideal. La clasificación matemática sigue siendo útil, pero siempre debe contrastarse con las condiciones del sistema.

18.20 Errores frecuentes

• creer que toda trayectoria gravitatoria es circular o elíptica;
• confundir una parábola con una órbita que regresa periódicamente;
• clasificar usando solo la rapidez sin considerar la distancia al foco;
• suponer que toda velocidad inferior a v_c produce una caída radial;
• dibujar el cuerpo central en el centro geométrico de una elipse;
• interpretar la segunda rama de una hipérbola como continuación del mismo paso cercano;
• ignorar que una cónica ideal puede intersectar el cuerpo central.

18.21 Ejercicio conceptual

Una sonda se encuentra a una distancia fija de un planeta y recibe uno de tres impulsos tangenciales: v = v_c, v = 1,3v_c o v = 1,6v_c.

1. Clasificá cada trayectoria.
2. Indicá en cuál la sonda queda ligada.
3. Compará cada rapidez con v_esc = √2v_c.

18.22 Ejercicio numérico y de programación

Una sonda se encuentra a r = 8,0 × 10⁶ m de un planeta con μ = 6,4 × 10¹³ m³/s². Su velocidad es tangencial.

1. Calculá v_c y v_esc.
2. Clasificá velocidades de 2000 m/s, 3000 m/s y 4500 m/s.
3. Calculá la energía específica de cada caso.

const mu = 6.4e13;
const r = 8e6;
const velocidades = [2000, 3000, 4500];
const vc = Math.sqrt(mu / r);
const vesc = Math.sqrt(2 * mu / r);

console.log("v circular:", vc.toFixed(2), "m/s");
console.log("v escape:", vesc.toFixed(2), "m/s");

for (const v of velocidades) {
  const energia = v ** 2 / 2 - mu / r;
  const tipo = energia < 0 ? "elíptica" : energia === 0 ? "parabólica" : "hiperbólica";
  console.log(v, "m/s →", tipo, "| ε =", energia.toExponential(3), "J/kg");
}

18.23 Ideas para recordar

• Las soluciones gravitatorias ideales son secciones cónicas con el centro de atracción en un foco.
• e = 0 produce una circunferencia; 0 < e < 1, una elipse; e = 1, una parábola; e > 1, una hipérbola.
• La energía negativa corresponde a movimiento ligado; la positiva, a escape hiperbólico.
• La parábola es el límite de energía cero y rapidez residual nula en el infinito.
• El momento angular influye en la forma y orientación de la trayectoria.
• Los vectores de posición y velocidad permiten calcular el vector de excentricidad.
• Una cónica matemática debe contrastarse con la superficie y el entorno reales.

En el próximo tema estudiaremos en detalle la geometría de la elipse: focos, semiejes, excentricidad y relaciones necesarias para describir órbitas ligadas.