19. Geometría de la elipse: focos, semieje mayor y excentricidad

19.1 La elipse como lugar geométrico

Una elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos permanece constante. Esos puntos fijos se denominan focos.

P es cualquier punto de la elipse y a es el semieje mayor. Esta propiedad también sugiere una construcción práctica: una cuerda de longitud fija unida a dos focos guía un lápiz sobre la curva.

En una órbita ideal, uno de los focos contiene el centro de atracción. El otro es solamente una referencia geométrica.

19.2 Centro y ejes principales

El punto medio entre los focos es el centro geométrico de la elipse. Por él pasan dos ejes perpendiculares:

• el eje mayor, que atraviesa los focos y tiene longitud 2a;
• el eje menor, perpendicular al anterior y de longitud 2b.

Por convenio, a ≥ b > 0. Las letras a y b representan semilongitudes, no los ejes completos.

19.3 Semieje mayor: escala de la órbita

El semieje mayor a fija el tamaño global de una elipse. En el problema gravitatorio también determina la energía de una órbita ligada y su período:

Órbitas con el mismo a alrededor del mismo cuerpo central tienen igual período, aunque sus excentricidades y distancias extremas sean diferentes.

19.4 Semieje menor: apertura transversal

El semieje menor b mide la extensión perpendicular al eje mayor. Se relaciona con a y con la distancia focal c mediante:

Si los focos se separan mientras a permanece fijo, c aumenta, b disminuye y la elipse se vuelve más alargada.

El área total es A = πab. Por eso dos elipses con el mismo semieje mayor pueden tener áreas diferentes.

19.5 Distancia focal

La distancia desde el centro hasta cada foco se representa mediante c. Los focos quedan separados por 2c.

Como b > 0 en una elipse no degenerada, siempre se cumple 0 ≤ c < a. Cuando c = 0, ambos focos coinciden con el centro y la curva es una circunferencia.

19.6 Excentricidad

La excentricidad compara el desplazamiento focal con el tamaño de la elipse:

Es una razón adimensional y para una elipse cumple 0 ≤ e < 1. Valores cercanos a cero describen curvas casi circulares; valores cercanos a uno, elipses muy alargadas.

La excentricidad no indica tamaño. Dos órbitas de escalas muy distintas pueden compartir la misma forma relativa y, por lo tanto, el mismo e.

19.7 Convertir entre a, b, c y e

Con a y e podemos reconstruir las demás magnitudes:

Si conocemos a y b:

Estas fórmulas requieren unidades coherentes para los semiejes. La excentricidad resultante no lleva unidad.

19.8 Vértices y extremos orbitales

Los extremos del eje mayor se denominan vértices. Respecto del foco ocupado por el cuerpo central, corresponden a la periapsis y la apoapsis.

La diferencia entre ambos radios es 2c y su suma es 2a. Estas relaciones permiten obtener la geometría a partir de distancias extremas observadas.

19.9 Obtener a y e desde periapsis y apoapsis

Al sumar y restar las ecuaciones anteriores:

También c = (r_a − r_p)/2. Estas expresiones son especialmente útiles cuando los datos de un problema describen el acercamiento máximo y el alejamiento máximo.

19.10 Ejemplo geométrico

Una órbita posee a = 10 000 km y e = 0,6. Calculamos:

La suma de las distancias extremas es 20 000 km = 2a. Si el cuerpo central tuviera un radio superior a 4000 km, esta elipse matemática atravesaría su interior y no sería una órbita física libre.

19.11 Ecuación cartesiana centrada

Con el centro en el origen y el eje mayor horizontal, los puntos de la elipse satisfacen:

Los focos están en (−c, 0) y (c, 0). Los vértices principales son (−a, 0) y (a, 0), y los extremos del eje menor son (0, −b) y (0, b).

Esta ecuación resulta cómoda para dibujar la forma, aunque en mecánica orbital suele ser más natural ubicar el origen en el foco gravitatorio.

19.12 Parametrización mediante la anomalía excéntrica

La anomalía excéntrica E permite recorrer la elipse con ecuaciones paramétricas simples respecto del centro:

Al variar E entre 0 y 2π se obtiene toda la curva. Incrementos iguales de E no representan tiempos iguales, salvo en el caso circular.

19.13 Coordenadas respecto del foco

Si trasladamos el origen al foco situado en x = c, las coordenadas se convierten en:

La distancia instantánea desde ese foco es:

Para E = 0 obtenemos la periapsis; para E = π, la apoapsis.

19.14 Anomalía verdadera

La anomalía verdadera ν es el ángulo medido en el foco desde la dirección de la periapsis hasta el radio vector. Es el ángulo geométrico que indica dónde se observa el cuerpo desde el centro de atracción.

El numerador p = a(1 − e²) es el semilado recto. En la periapsis ν = 0; en la apoapsis ν = π.

19.15 Relación entre E y ν

Las anomalías excéntrica y verdadera no son iguales en una elipse general. Se relacionan mediante:

En programación es preferible obtener ν con Math.atan2 a partir de las coordenadas focales. Así se conserva el cuadrante correcto y se evitan discontinuidades producidas por una tangente.

Cuando e = 0, el foco coincide con el centro y ambas anomalías coinciden salvo por la elección del origen angular.

19.16 El semilado recto

El semilado recto p es la distancia focal de la cónica cuando ν = ±90°. Para una elipse:

Esta magnitud enlaza la geometría cartesiana con la ecuación polar y, en dinámica orbital, también satisface p = h²/μ.

19.17 Calcular parámetros elípticos con JavaScript

function geometriaElipse(semiejeMayor, excentricidad) {
  if (semiejeMayor <= 0 || excentricidad < 0 || excentricidad >= 1) {
    throw new RangeError("Se requiere a > 0 y 0 ≤ e < 1");
  }

  const a = semiejeMayor;
  const e = excentricidad;
  const c = a * e;
  const b = a * Math.sqrt(1 - e ** 2);
  const periapsis = a * (1 - e);
  const apoapsis = a * (1 + e);
  const semiladoRecto = a * (1 - e ** 2);
  const area = Math.PI * a * b;

  return { a, b, c, e, periapsis, apoapsis, semiladoRecto, area };
}

const orbita = geometriaElipse(10000, 0.6);
console.log("b:", orbita.b.toFixed(2), "km");
console.log("c:", orbita.c.toFixed(2), "km");
console.log("Periapsis:", orbita.periapsis.toFixed(2), "km");
console.log("Apoapsis:", orbita.apoapsis.toFixed(2), "km");
console.log("Área:", orbita.area.toFixed(2), "km²");

19.18 Reconstruir una órbita desde sus extremos

function elipseDesdeExtremos(periapsis, apoapsis) {
  if (periapsis <= 0 || apoapsis < periapsis) {
    throw new RangeError("Se requiere 0 < rp ≤ ra");
  }

  const a = (periapsis + apoapsis) / 2;
  const c = (apoapsis - periapsis) / 2;
  const e = c / a;
  const b = Math.sqrt(a ** 2 - c ** 2);

  return { a, b, c, e };
}

const datos = elipseDesdeExtremos(7000, 21000);
console.log("a:", datos.a.toFixed(1), "km");
console.log("b:", datos.b.toFixed(1), "km");
console.log("c:", datos.c.toFixed(1), "km");
console.log("e:", datos.e.toFixed(4));

19.19 Laboratorio interactivo: anatomía de una elipse

Cambiá el semieje mayor, la excentricidad y la anomalía excéntrica. El diagrama muestra los ejes, ambos focos y las distancias desde el punto móvil. Comprobá que d₁ + d₂ siempre vale 2a.

• Aumentá e: observá cómo los focos se separan y el semieje menor disminuye.
• Mové E: las dos distancias cambian, pero su suma sigue siendo 2a.
• Cambiá a: todas las longitudes escalan juntas sin alterar la forma relativa.

19.20 Escala, forma y orientación

Para describir una elipse en el plano debemos distinguir tres clases de información:

• escala: dada por el semieje mayor a;
• forma: dada por la excentricidad e;
• orientación y ubicación: dadas por rotaciones y traslaciones respecto del sistema de coordenadas.

Los parámetros a y e no indican por sí solos hacia dónde apunta la periapsis ni cómo se inclina el plano orbital en el espacio.

19.21 Errores frecuentes

• confundir el semieje a con la longitud completa 2a;
• ubicar el foco gravitatorio en el centro geométrico;
• usar c como distancia entre los dos focos en vez de 2c;
• tratar la excentricidad como una longitud;
• suponer que una excentricidad mayor implica necesariamente una órbita más grande;
• confundir la anomalía excéntrica, medida desde el centro auxiliar, con la anomalía verdadera, medida desde el foco;
• olvidar comprobar si la periapsis queda fuera del cuerpo central.

19.22 Ejercicio propuesto

Una órbita elíptica tiene r_p = 8000 km y r_a = 32 000 km.

1. Calculá a, c y e.
2. Calculá el semieje menor b y el semilado recto p.
3. Comprobá que r_p + r_a = 2a.

const rp = 8000;
const ra = 32000;
const a = (rp + ra) / 2;
const c = (ra - rp) / 2;
const e = c / a;
const b = a * Math.sqrt(1 - e ** 2);
const p = a * (1 - e ** 2);

console.log("a:", a.toFixed(0), "km");
console.log("c:", c.toFixed(0), "km");
console.log("e:", e.toFixed(3));
console.log("b:", b.toFixed(0), "km");
console.log("p:", p.toFixed(0), "km");
console.log("rp + ra =", rp + ra, "km; 2a =", 2 * a, "km");

19.23 Ideas para recordar

• La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos vale 2a.
• El semieje mayor a fija la escala y el semieje menor cumple b² = a² − c².
• La excentricidad e = c/a separa la forma del tamaño.
• La periapsis y la apoapsis valen a(1 − e) y a(1 + e).
• Desde los extremos se recuperan a y e mediante suma y diferencia.
• La anomalía excéntrica facilita parametrizar la elipse; la anomalía verdadera se mide desde el foco.
• El semilado recto p = a(1 − e²) conecta la geometría con la dinámica orbital.

En el próximo tema utilizaremos esta geometría para estudiar con detalle la periapsis, la apoapsis y otras posiciones características de una órbita.