2. Ley de gravitación universal de Newton

2.1 De una idea cualitativa a una ley cuantitativa

En el tema anterior ampliamos el modelo de gravedad uniforme: la intensidad gravitatoria no es constante a cualquier distancia y la atracción apunta hacia el cuerpo que la produce. Ahora necesitamos una regla que permita calcular esa interacción.

La ley de gravitación universal de Newton relaciona cuatro elementos: las masas de los dos cuerpos, la distancia entre sus centros y una constante que fija la intensidad de la interacción. La misma ley puede aplicarse, dentro de sus límites, a dos objetos de laboratorio, a la Tierra y una persona, o a un planeta y su luna.

El término universal indica que la regla no se limita a la superficie terrestre. No significa que todas las fuerzas gravitatorias tengan el mismo valor: el resultado cambia con las masas y la separación.

2.2 Expresión de la ley

Para dos cuerpos que pueden representarse como masas puntuales, el módulo de la fuerza gravitatoria es:

En nuestros cálculos usaremos G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². El valor es muy pequeño; por eso la atracción entre objetos cotidianos suele resultar difícil de advertir frente a otras fuerzas.

La expresión anterior calcula un módulo, siempre no negativo. La dirección y el sentido se obtienen de la línea que une los cuerpos. El tratamiento vectorial completo corresponde al tema 4.

2.3 Leer la fórmula como relaciones

Una fórmula no es solamente una receta para reemplazar símbolos. También permite anticipar cómo cambiará el resultado:

• Proporcional a m₁: si duplicamos solo la primera masa, la fuerza se duplica.
• Proporcional a m₂: si triplicamos solo la segunda masa, la fuerza se triplica.
• Proporcional al producto m₁m₂: si duplicamos ambas masas, la fuerza se multiplica por cuatro.
• Inversamente proporcional a r²: si duplicamos la distancia, la fuerza se divide por cuatro.

Estas predicciones son útiles para detectar errores. Si un programa duplica la fuerza al duplicar la distancia, el comportamiento contradice la ley antes de que examinemos cada línea de código.

2.4 Efecto de cambiar las masas

Supongamos dos cuerpos de masas m₁ y m₂ separados por una distancia fija. Si sustituimos m₁ por 2m₁:

Si duplicamos las dos masas, aparecen dos factores 2:

Esto no implica que el cuerpo más masivo reciba una fuerza mayor. La fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo tiene el mismo módulo que la ejercida por el segundo sobre el primero. Lo que puede diferir es la aceleración de cada uno, porque a = F/m.

2.5 Efecto de cambiar la distancia

La distancia aparece elevada al cuadrado en el denominador. Si la nueva separación es kr, donde k es un factor positivo:

La distancia debe medirse entre los centros de masa en el modelo de masas puntuales. No usamos la separación entre superficies salvo que primero la convirtamos a distancia entre centros.

2.6 Comprobación de unidades

El análisis de unidades permite verificar que la fórmula puede producir una fuerza. Sustituimos cada símbolo por su unidad:

Los kg² del numerador se cancelan con los kg² del denominador de G, y los m² se cancelan con la distancia al cuadrado. Queda el new (N), como corresponde.

Si las masas se ingresan en toneladas o la distancia en kilómetros sin convertirlas, usar el valor de G anterior producirá un resultado incorrecto. El lenguaje JavaScript no conoce las unidades: para él todos son números.

const masaToneladas = 3;
const distanciaKm = 12;

const masaKg = masaToneladas * 1000;
const distanciaM = distanciaKm * 1000;

console.log(masaKg, "kg");
console.log(distanciaM, "m");

2.7 Dos fuerzas, una interacción

Si llamamos A y B a los cuerpos, A atrae a B y B atrae a A. Las fuerzas:

• tienen el mismo módulo;
• actúan sobre cuerpos diferentes;
• siguen la misma línea;
• tienen sentidos opuestos.

No se anulan entre sí porque no actúan sobre el mismo cuerpo. Para analizar el movimiento de B incluimos la fuerza ejercida por A en el diagrama de B; para analizar A usamos la fuerza ejercida por B.

Una persona y la Tierra se atraen con fuerzas iguales, pero sus aceleraciones no son iguales. Como la masa terrestre es enorme, el cambio de su velocidad debido a esa interacción es extremadamente pequeño. Esta distinción será importante al estudiar el problema de dos cuerpos.

2.8 Método para resolver un cálculo gravitatorio

1. Elegir los dos cuerpos y decidir si pueden aproximarse mediante masas puntuales o esferas.
2. Identificar las masas y expresarlas en kilogramos.
3. Determinar la distancia entre centros y expresarla en metros.
4. Predecir el orden de magnitud o al menos cómo debería cambiar el resultado.
5. Sustituir en la fórmula sin omitir el cuadrado de la distancia.
6. Informar módulo y unidad, y señalar qué cuerpo recibe la fuerza considerada.
7. Comprobar unidades, simetría al intercambiar las masas y coherencia con las proporcionalidades.

Separar los datos de la operación reduce errores y facilita trasladar el procedimiento al código.

2.9 Ejemplo resuelto: una persona sobre la Tierra

Estimemos la fuerza entre la Tierra y una persona de 70 kg situada en su superficie. Usaremos:

• M_T = 5,972 × 10²⁴ kg;
• m = 70 kg;
• r = 6,371 × 10⁶ m;
• G = 6,67430 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².

Sobre la persona, la fuerza apunta hacia el centro terrestre. Sobre la Tierra actúa una fuerza de igual módulo dirigida hacia la persona. El resultado es próximo al peso calculado con mg = 70 kg × 9,81 m/s² = 686,7 N.

La pequeña diferencia depende de los valores aproximados adoptados. La Tierra tampoco es una esfera perfectamente uniforme y la gravedad medida varía con la ubicación.

2.10 Implementar la ley en JavaScript

Una función reutilizable debe hacer explícitas las unidades y rechazar entradas que el modelo no admite:

const G = 6.67430e-11; // N·m²/kg²

function fuerzaGravitatoria(masa1Kg, masa2Kg, distanciaM) {
  if (masa1Kg <= 0 || masa2Kg <= 0) {
    throw new RangeError("Las masas deben ser positivas");
  }
  if (distanciaM <= 0) {
    throw new RangeError("La distancia debe ser positiva");
  }

  return G * masa1Kg * masa2Kg / distanciaM ** 2;
}

const masaTierraKg = 5.972e24;
const masaPersonaKg = 70;
const radioTierraM = 6.371e6;
const fuerzaN = fuerzaGravitatoria(
  masaTierraKg,
  masaPersonaKg,
  radioTierraM
);

console.log(fuerzaN.toFixed(1), "N");

La notación 6.67430e-11 representa 6,67430 × 10⁻¹¹. El programa muestra aproximadamente 687.4 N. El formato decimal del código usa punto porque así se escriben los números en JavaScript.

Intercambiar las dos masas no cambia el módulo. Esa simetría proporciona una prueba sencilla para la función.

2.11 Laboratorio interactivo de fuerza gravitatoria

Explorá masas y distancias que abarcan muchas escalas. Los controles son logarítmicos: un desplazamiento uniforme cambia una potencia de diez, lo que permite representar desde objetos cotidianos hasta astros.

Las flechas apuntan hacia el otro cuerpo y representan fuerzas de igual módulo. Los tamaños y la separación del dibujo son esquemáticos: no están a escala.

• Dos personas: comprobá que la fuerza es extremadamente pequeña.
• Tierra y persona: las fuerzas son iguales, pero las aceleraciones difieren por sus masas.
• Modificá solo masa 1: aumentar una década multiplica la fuerza por diez.
• Modificá solo la distancia: aumentar una década divide la fuerza por cien.
• Tierra y Luna: observá que ambas aceleraciones son apreciables a escala orbital, aunque no iguales.

2.12 Alcance y límites del modelo

La fórmula directa es apropiada para masas puntuales. También describe la interacción exterior entre cuerpos esféricos con distribución de masa simétrica, usando la distancia entre sus centros.

Debemos revisar el procedimiento cuando:

• los cuerpos extensos no tienen simetría suficiente y su forma influye;
• sus distribuciones de masa se superponen;
• intervienen varios cuerpos y hay que sumar sus contribuciones;
• se requiere una precisión para la que los efectos relativistas ya no son despreciables.

En este curso nos concentraremos en gravitación newtoniana. Para varios cuerpos aplicaremos la ley a cada par y sumaremos las fuerzas vectorialmente; ese desarrollo llegará después de establecer la forma vectorial.

2.13 Errores frecuentes y pruebas útiles

• Usar la distancia entre superficies: la fórmula requiere distancia entre centros.
• Olvidar elevar r al cuadrado: cambia por completo la dependencia con la distancia.
• Ingresar kilómetros junto con G en SI: primero hay que convertirlos a metros.
• Asignar fuerzas diferentes a los dos cuerpos: los módulos del par gravitatorio son iguales.
• Confundir fuerza con aceleración: ambos cuerpos reciben la misma fuerza, pero a = F/m puede dar aceleraciones distintas.
• Redondear demasiado pronto: conviene conservar cifras durante el cálculo y redondear al presentar.

Para probar una función, intercambiá las masas, duplicá una de ellas y duplicá la distancia. El resultado debe conservarse, duplicarse y reducirse a un cuarto, respectivamente.

2.14 Ejercicio propuesto

Dos satélites idealizados de masas 500 kg y 1200 kg tienen sus centros separados 20 m. Despreciá la atracción de otros cuerpos durante este cálculo aislado.

1. Calculá el módulo de la fuerza gravitatoria entre ellos.
2. Indicá el módulo de la fuerza que actúa sobre cada satélite.
3. Calculá la aceleración inicial de cada uno producida por esta interacción.
4. Predecí la nueva fuerza si la separación aumenta a 40 m.
5. Implementá el cálculo y comprobá la predicción con JavaScript.

const G = 6.67430e-11;
const masa1Kg = 500;
const masa2Kg = 1200;

function fuerza(distanciaM) {
  return G * masa1Kg * masa2Kg / distanciaM ** 2;
}

const fuerza20N = fuerza(20);
const fuerza40N = fuerza(40);

console.log("A 20 m:", fuerza20N.toExponential(3), "N");
console.log("Aceleración 1:", (fuerza20N / masa1Kg).toExponential(3), "m/s²");
console.log("Aceleración 2:", (fuerza20N / masa2Kg).toExponential(3), "m/s²");
console.log("A 40 m:", fuerza40N.toExponential(3), "N");
console.log("Razón:", fuerza40N / fuerza20N);

2.15 Ideas para recordar

• El módulo de la fuerza gravitatoria es F = Gm₁m₂/r².
• Las masas se expresan en kilogramos y la distancia entre centros en metros al usar G en SI.
• La fuerza es proporcional a cada masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
• Los cuerpos se atraen con fuerzas de igual módulo y sentidos opuestos.
• Fuerzas iguales pueden producir aceleraciones diferentes porque las masas difieren.
• La forma escalar calcula el módulo; la simulación orbital necesitará dirección y componentes.
• Las comprobaciones de unidades, simetría y proporcionalidad ayudan a detectar errores.

En el próximo tema diferenciaremos la constante universal G de la aceleración gravitatoria local g y veremos cómo se relacionan sin confundir sus significados ni sus unidades.