20. Periapsis, apoapsis y posiciones características de una órbita

20.1 Los ápsides

En una órbita elíptica, la distancia entre el cuerpo orbitante y el foco gravitatorio cambia continuamente. Sus dos valores extremos reciben el nombre colectivo de ápsides.

• La periapsis es el punto de distancia mínima.
• La apoapsis es el punto de distancia máxima.

Ambos puntos, el foco ocupado y el centro geométrico se encuentran sobre una misma recta: la línea de ápsides.

20.2 Nombres según el cuerpo central

Los términos específicos indican alrededor de qué cuerpo ocurre el movimiento:

“Periapsis” y “apoapsis” son nombres generales y evitan construir términos poco habituales para cada objeto.

20.3 Radios de periapsis y apoapsis

Para una elipse de semieje mayor a y excentricidad e:

Ambas distancias se miden desde el foco gravitatorio, no desde el centro de la elipse ni desde la superficie del astro.

20.4 Recuperar el tamaño y la forma

Si conocemos los dos radios extremos podemos reconstruir la geometría principal:

La suma determina la escala y la diferencia determina cuánto se desplaza el foco respecto del centro. También c = (r_a − r_p)/2.

20.5 La línea de ápsides

La recta que une periapsis, foco y apoapsis se denomina línea de ápsides. Define la orientación del eje mayor dentro del plano orbital.

En el problema ideal de dos cuerpos esta orientación permanece fija. Las perturbaciones pueden hacerla rotar lentamente; ese fenómeno se conoce como precesión de la línea de ápsides.

Para una órbita circular, periapsis y apoapsis no son puntos únicos. Como todas las distancias son iguales, la línea de ápsides queda indefinida.

20.6 Anomalía verdadera y posiciones

La anomalía verdadera ν es el ángulo medido en el foco desde la dirección de la periapsis hasta el radio vector:

El sentido positivo se elige de acuerdo con el movimiento orbital y con la orientación del sistema de coordenadas.

20.7 Distancia en cualquier anomalía verdadera

La ecuación polar de la elipse permite obtener la distancia en cualquier posición:

Para una elipse, p = a(1 − e²). Al sustituir ν = 0 y ν = π recuperamos exactamente r_p y r_a.

En ν = 90° o 270°, cos ν = 0 y la distancia coincide con el semilado recto p.

20.8 Movimiento de ida y de regreso

Desde la periapsis hasta la apoapsis, la distancia aumenta y el cuerpo se encuentra en el tramo saliente. Desde la apoapsis hasta la periapsis siguiente, la distancia disminuye y el tramo es entrante.

• 0° < ν < 180°: velocidad radial positiva, dr/dt > 0;
• 180° < ν < 360°: velocidad radial negativa, dr/dt < 0;
• ν = 0° o 180°: velocidad radial nula.

La velocidad total no es nula en los ápsides: allí es puramente transversal.

20.9 Dirección de la velocidad en los ápsides

En un extremo de la distancia, el cuerpo deja instantáneamente de acercarse o alejarse. Por eso la componente radial de la velocidad es cero.

La perpendicularidad también ocurre en toda órbita circular, pero en una elipse general solo caracteriza a estos dos puntos.

20.10 Rapidez máxima y mínima

La conservación de la energía y la segunda ley de Kepler establecen que el cuerpo se mueve más rápido cuando está cerca del foco:

En los ápsides la velocidad es transversal, así que la conservación del momento angular específico se simplifica:

20.11 Relación entre las velocidades extremas

Dividiendo la igualdad anterior obtenemos una comparación que no necesita conocer μ:

Con e = 0,6, la rapidez de periapsis es cuatro veces la rapidez de apoapsis. Al crecer la excentricidad aumenta con fuerza el contraste entre ambos extremos.

20.12 Velocidades mediante la ecuación vis-viva

La rapidez en una órbita elíptica de semieje mayor a y distancia r cumple:

Evaluándola en los ápsides:

La ecuación vis-viva se deducirá y utilizará extensamente en el tema 23.

20.13 Medio período entre los ápsides

La periapsis y la apoapsis dividen la elipse en dos mitades simétricas respecto de la línea de ápsides. Cada mitad tiene la misma área.

Como la velocidad areolar es constante, el tiempo para viajar de una ápside a la otra es exactamente:

Esto no implica rapidez constante. El cuerpo recorre diferentes longitudes por unidad de tiempo a lo largo de cada mitad.

20.14 Radio orbital y altitud

En aplicaciones cercanas a un planeta suele comunicarse la altitud sobre la superficie. Si el astro ideal tiene radio R:

Las ecuaciones orbitales utilizan radios medidos desde el centro. Sustituir una altitud en lugar de un radio produce resultados incorrectos.

Si r_p ≤ R, la cónica intersecta el astro y no puede completarse como órbita libre.

20.15 Posiciones a 90° y 270°

Los puntos ν = 90° y ν = 270° están sobre una recta perpendicular a la línea de ápsides que pasa por el foco. En ambos, r = p.

Sus distancias son iguales, pero las componentes radiales tienen signos opuestos: el cuerpo se aleja en el primer paso y se acerca en el segundo.

No deben confundirse con los extremos del eje menor, cuya perpendicular pasa por el centro geométrico y cuyas coordenadas centradas son (0, ±b).

20.16 Componentes radial y transversal

Para una órbita kepleriana, con h = √(μp), las componentes de la velocidad son:

La primera indica acercamiento o alejamiento; la segunda es perpendicular al radio y conserva el mismo sentido orbital. Su combinación da v = √(v_r² + v_t²).

20.17 Calcular posiciones características con JavaScript

function datosApsides(periapsis, apoapsis, mu) {
  if (periapsis <= 0 || apoapsis < periapsis || mu <= 0) {
    throw new RangeError("Los radios y μ no son válidos");
  }

  const a = (periapsis + apoapsis) / 2;
  const e = (apoapsis - periapsis) / (apoapsis + periapsis);
  const vp = Math.sqrt(mu * (2 / periapsis - 1 / a));
  const va = Math.sqrt(mu * (2 / apoapsis - 1 / a));
  const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(a ** 3 / mu);

  return { a, e, vp, va, periodo };
}

const orbita = datosApsides(7e6, 21e6, 3.986e14);
console.log("a:", (orbita.a / 1000).toFixed(0), "km");
console.log("e:", orbita.e.toFixed(3));
console.log("vp:", (orbita.vp / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("va:", (orbita.va / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("T:", (orbita.periodo / 3600).toFixed(2), "h");

20.18 Estado en una anomalía verdadera

function estadoEnAnomalia(a, e, nu, mu) {
  const p = a * (1 - e ** 2);
  const h = Math.sqrt(mu * p);
  const r = p / (1 + e * Math.cos(nu));
  const vr = mu / h * e * Math.sin(nu);
  const vt = mu / h * (1 + e * Math.cos(nu));

  const x = r * Math.cos(nu);
  const y = r * Math.sin(nu);
  const vx = vr * Math.cos(nu) - vt * Math.sin(nu);
  const vy = vr * Math.sin(nu) + vt * Math.cos(nu);

  return { r, vr, vt, x, y, vx, vy };
}

const estado = estadoEnAnomalia(14e6, 0.5, Math.PI / 2, 3.986e14);
console.log("r:", (estado.r / 1000).toFixed(1), "km");
console.log("vr:", (estado.vr / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("vt:", (estado.vt / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("posición:", estado.x.toFixed(0), estado.y.toFixed(0), "m");

20.19 Laboratorio interactivo: recorrer una órbita elíptica

Elegí los radios extremos y desplazá el cuerpo mediante la anomalía verdadera. El diagrama muestra la línea de ápsides, el radio actual y los componentes radial y transversal de la velocidad.

• Compará 0° y 180°: la velocidad es transversal en ambos puntos, pero su módulo cambia.
• Compará 90° y 270°: el radio es igual y la componente radial cambia de signo.
• Igualá los radios: la órbita se vuelve circular y desaparecen los ápsides únicos.

20.20 Aplicaciones prácticas

Los radios extremos permiten comunicar rápidamente la envolvente radial de una órbita. Son fundamentales para comprobar:

• si una periapsis evita la atmósfera o la superficie;
• si una apoapsis alcanza una región o una órbita objetivo;
• dónde conviene aplicar un impulso para cambiar el extremo opuesto;
• qué variación de velocidad y energía ocurre durante la vuelta.

Las maniobras impulsivas de temas posteriores aprovecharán especialmente las velocidades extremas de los ápsides.

20.21 Errores frecuentes

• medir r_p y r_a desde el centro geométrico de la elipse;
• confundir radio orbital con altitud sobre la superficie;
• suponer que el cuerpo se detiene en la apoapsis;
• creer que ν aumenta uniformemente con el tiempo;
• confundir los puntos ν = 90° y 270° con los extremos del eje menor;
• asignar periapsis y apoapsis únicas a una órbita circular perfecta;
• ignorar una periapsis que intersecta el astro o su atmósfera.

20.22 Ejercicio propuesto

Un satélite describe una órbita terrestre ideal con r_p = 7000 km y r_a = 21 000 km. Usá μ = 3,986 × 10⁵ km³/s².

1. Calculá el semieje mayor y la excentricidad.
2. Calculá las rapideces de periapsis y apoapsis.
3. Comprobá v_p/v_a = r_a/r_p.
4. Calculá el tiempo entre ambas ápsides.

const mu = 3.986e5; // km³/s²
const rp = 7000;
const ra = 21000;
const a = (rp + ra) / 2;
const e = (ra - rp) / (ra + rp);
const vp = Math.sqrt(mu * (2 / rp - 1 / a));
const va = Math.sqrt(mu * (2 / ra - 1 / a));
const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(a ** 3 / mu);

console.log("a:", a.toFixed(0), "km");
console.log("e:", e.toFixed(3));
console.log("vp:", vp.toFixed(3), "km/s");
console.log("va:", va.toFixed(3), "km/s");
console.log("vp/va:", (vp / va).toFixed(3));
console.log("T/2:", (periodo / 7200).toFixed(3), "h");

20.23 Ideas para recordar

• La periapsis y la apoapsis son las distancias mínima y máxima al foco gravitatorio.
• Sus radios valen a(1 − e) y a(1 + e).
• La línea de ápsides fija la orientación del eje mayor dentro del plano orbital.
• La anomalía verdadera vale 0° en la periapsis y 180° en la apoapsis.
• La componente radial es cero en ambas ápsides; la velocidad es transversal.
• La rapidez es máxima en la periapsis y mínima en la apoapsis.
• El viaje entre una ápside y la otra dura medio período.

En el próximo tema estudiaremos la energía orbital y veremos cómo su signo y su valor permiten clasificar trayectorias y relacionarlas con el semieje mayor.