21. Energía orbital y clasificación de trayectorias

21.1 Una cantidad que se conserva

En el problema gravitatorio ideal de dos cuerpos, la fuerza es conservativa. Cuando no actúan motores, rozamiento ni perturbaciones externas, la suma de energía cinética y potencial permanece constante.

La posición y la rapidez cambian a lo largo de una órbita elíptica, pero sus aportes energéticos se intercambian exactamente. Esta conservación permite analizar toda la trayectoria a partir de un único estado.

La energía indica si el movimiento está ligado, aunque necesitaremos también el momento angular para determinar la forma y orientación completas.

21.2 Energía mecánica total

Para una masa orbitante m alrededor de una masa central dominante, la energía cinética es K = mv²/2 y la potencial gravitatoria es U = −GMm/r.

El cero de energía potencial se elige en el infinito. Por eso U es negativa a toda distancia finita: separar los cuerpos hasta el infinito requiere aportar energía.

21.3 Energía orbital específica

Dividir la energía total por la masa orbitante elimina un factor que no modifica la trayectoria ideal:

ε se denomina energía mecánica específica, con μ = GM. Su unidad es J/kg, equivalente a m²/s².

Trabajar con energía específica simplifica cálculos y comparaciones entre satélites de masas diferentes.

21.4 Aportes cinético y potencial

Al acercarse al centro, ε_p se vuelve más negativa. Como ε permanece constante, ε_c aumenta y el cuerpo acelera. Al alejarse ocurre el intercambio contrario.

No se conserva cada término por separado; se conserva su suma.

21.5 Comprobación de unidades

El término cinético específico tiene unidades [v²] = m²/s². Para el término gravitatorio:

Ambos términos pueden sumarse. Mezclar un radio en kilómetros con μ en m³/s² rompe esta coherencia y suele introducir errores de varios órdenes de magnitud.

21.6 El signo clasifica la trayectoria

Una energía negativa significa que debe suministrarse energía adicional para llegar al infinito. Una energía positiva deja rapidez cinética incluso a gran distancia.

21.7 Órbita circular

En una órbita circular v² = μ/r. Sustituimos en la energía específica:

La energía cinética vale +μ/(2r) y la potencial −μ/r. Por lo tanto, en el caso circular U = −2K y E = −K.

21.8 Energía de una elipse

Para cualquier órbita elíptica, circular o no:

La energía depende del semieje mayor a, no de la distancia instantánea ni directamente de la excentricidad. Dos elipses con el mismo a alrededor del mismo centro tienen la misma energía específica y el mismo período.

Una elipse más grande posee energía menos negativa: está más cerca del nivel de escape.

21.9 Deducir la ecuación vis-viva

Igualamos la energía calculada en un estado cualquiera con la energía de la elipse:

Multiplicando por 2 y despejando v²:

Esta es la ecuación vis-viva. Muestra cómo cambia la rapidez con la distancia mientras a, y por lo tanto la energía, permanece fijo.

21.10 Recuperar el semieje mayor desde un estado

Si ε ≠ 0 podemos invertir la relación energética:

Para una elipse, ε < 0 y a > 0. Con la convención orbital habitual, una hipérbola tiene ε > 0 y a < 0. En una parábola ε = 0 y el semieje mayor tiende a infinito.

21.11 Velocidad de escape como energía cero

La condición mínima de escape exige ε = 0:

Esta rapidez es √2 veces la rapidez circular local. El resultado supone que no hay propulsión posterior, atmósfera ni otros cuerpos que alteren la energía.

21.12 Exceso hiperbólico y C3

En una trayectoria hiperbólica, cuando r tiende a infinito la energía potencial tiende a cero y queda:

En astronáutica se utiliza con frecuencia la energía característica:

C3 suele expresarse en km²/s². Un valor positivo representa exceso hiperbólico; C3 = 0 es el límite parabólico.

21.13 La dirección no cambia la energía instantánea

La expresión ε = v²/2 − μ/r utiliza la distancia y el módulo de la velocidad, pero no su dirección. Dos estados con el mismo r y la misma rapidez tienen igual energía.

Sin embargo, distintas direcciones producen momentos angulares diferentes. Por eso pueden originar cónicas con distinta excentricidad, orientación y periapsis aunque compartan energía y semieje mayor.

La energía clasifica el carácter ligado o no ligado; no determina por sí sola toda la órbita.

21.14 Energía y momento angular juntos

La excentricidad combina ambas cantidades conservadas:

Para una energía elíptica fija, modificar h cambia la forma manteniendo el mismo semieje mayor. Una órbita circular posee el máximo momento angular compatible con esa energía.

Este resultado también explica por qué dos elipses de igual período pueden tener excentricidades distintas.

21.15 Potencial efectivo

Separando la velocidad en componentes radial y transversal, y usando v_t = h/r:

El potencial efectivo V_ef = h²/(2r²) − μ/r reúne el término gravitatorio y una barrera asociada al movimiento transversal.

Los puntos donde ε = V_ef tienen v_r = 0 y corresponden a radios de retorno, como la periapsis y la apoapsis.

21.16 Cambiar la energía mediante un impulso

Un impulso instantáneo cambia la velocidad de v⃗ a v⃗ + Δv⃗ sin modificar apreciablemente la posición durante el encendido. El cambio de energía específica es:

Un impulso en el sentido de la velocidad aumenta la energía con eficacia; uno opuesto la reduce. Un impulso perpendicular también añade el término |Δv⃗|²/2, aunque el producto escalar inicial sea cero.

Esta relación será importante al estudiar maniobras orbitales.

21.17 Calcular y clasificar energía con JavaScript

function energiaOrbital(mu, posicion, velocidad) {
  const r = Math.hypot(posicion.x, posicion.y);
  const v2 = velocidad.x ** 2 + velocidad.y ** 2;

  if (mu <= 0 || r === 0) {
    throw new RangeError("μ y la distancia deben ser positivos");
  }

  const cinetica = v2 / 2;
  const potencial = -mu / r;
  const especifica = cinetica + potencial;
  const escala = mu / r;
  const tolerancia = escala * 1e-10;

  let tipo;
  if (especifica < -tolerancia) tipo = "ligada";
  else if (especifica > tolerancia) tipo = "hiperbólica";
  else tipo = "parabólica";

  const semiejeMayor = Math.abs(especifica) > tolerancia
    ? -mu / (2 * especifica)
    : Infinity;

  return { cinetica, potencial, especifica, tipo, semiejeMayor };
}

const estado = energiaOrbital(3.986e14, { x: 7e6, y: 0 }, { x: 0, y: 7500 });
console.log("εc:", estado.cinetica.toExponential(4), "J/kg");
console.log("εp:", estado.potencial.toExponential(4), "J/kg");
console.log("ε:", estado.especifica.toExponential(4), "J/kg");
console.log("Trayectoria:", estado.tipo);
console.log("a:", (estado.semiejeMayor / 1000).toFixed(1), "km");

21.18 Comprobar conservación en una simulación

function energiaEspecifica(estado, mu) {
  const r = Math.hypot(estado.x, estado.y);
  const v2 = estado.vx ** 2 + estado.vy ** 2;
  return v2 / 2 - mu / r;
}

const mu = 3.986e14;
const inicial = { x: 7e6, y: 0, vx: 0, vy: 9000 };
const referencia = energiaEspecifica(inicial, mu);
const a = -mu / (2 * referencia);
const radioLejano = 2 * a - inicial.x;
const velocidadLejana = inicial.x * inicial.vy / radioLejano;
const muestras = [
  inicial,
  { x: -radioLejano, y: 0, vx: 0, vy: -velocidadLejana }
];

for (const estado of muestras) {
  const energia = energiaEspecifica(estado, mu);
  const errorRelativo = Math.abs((energia - referencia) / referencia);
  console.log("ε =", energia.toExponential(5), "J/kg");
  console.log("error relativo =", errorRelativo.toExponential(3));
}

En una integración numérica real, las muestras provienen de distintos tiempos. La deriva de ε respecto del valor inicial ayuda a evaluar el paso temporal y el método de integración.

21.19 Laboratorio interactivo: balance de energía

Elegí una distancia, una rapidez relativa a la circular local y la dirección de la velocidad. El gráfico compara energía cinética, potencial y total; el ángulo modifica el momento angular y la excentricidad sin cambiar el balance energético.

• Alcanzá √2 v_c: la energía total llega a cero.
• Cambiá el ángulo: observá que ε no cambia, mientras sí lo hace la excentricidad.
• Cambiá la distancia: la rapidez circular local y la escala energética se ajustan.

21.20 Límites del modelo

La conservación presentada supone un potencial gravitatorio independiente del tiempo y ausencia de fuerzas no conservativas. La resistencia atmosférica transforma energía mecánica en calor; un motor añade o extrae energía; un tercer cuerpo puede intercambiarla con la sonda.

En el problema completo de dos cuerpos también se conserva la energía total del sistema. La formulación con μ y energía específica describe el movimiento relativo y resulta exacta si se utiliza μ = G(M + m).

21.21 Errores frecuentes

• olvidar el signo negativo de la energía potencial;
• confundir energía total E con energía específica ε;
• suponer que una energía negativa significa velocidad negativa;
• clasificar una órbita usando solamente energía cinética;
• usar a = −μ/(2ε) sin atender al signo o al caso parabólico;
• creer que igual energía determina igual excentricidad y orientación;
• mezclar kilómetros con un μ expresado en metros cúbicos por segundo cuadrado.

21.22 Ejercicio propuesto

Una sonda se encuentra a r = 10 000 km del centro de un planeta con μ = 4,0 × 10⁵ km³/s².

1. Calculá ε para v = 6 km/s y clasificá la trayectoria.
2. Si está ligada, calculá el semieje mayor.
3. Calculá la velocidad de escape local.
4. Repetí la clasificación para v = 10 km/s y obtené v_∞.

const mu = 4e5; // km³/s²
const r = 1e4;  // km
const velocidades = [6, 10];
const escape = Math.sqrt(2 * mu / r);

console.log("Velocidad de escape:", escape.toFixed(3), "km/s");

for (const v of velocidades) {
  const epsilon = v ** 2 / 2 - mu / r;
  const tipo = epsilon < 0 ? "ligada" : epsilon === 0 ? "parabólica" : "hiperbólica";
  const a = epsilon === 0 ? Infinity : -mu / (2 * epsilon);
  const vinfinito = epsilon > 0 ? Math.sqrt(2 * epsilon) : 0;

  console.log(v, "km/s →", tipo);
  console.log("ε:", epsilon.toFixed(3), "km²/s²");
  console.log("a:", Number.isFinite(a) ? a.toFixed(1) + " km" : "∞");
  if (epsilon > 0) console.log("v∞:", vinfinito.toFixed(3), "km/s");
}

21.23 Ideas para recordar

• La energía específica es ε = v²/2 − μ/r y se expresa en J/kg o m²/s².
• En el modelo ideal, energía cinética y potencial cambian pero su suma se conserva.
• ε < 0 describe una órbita ligada; ε = 0, una parábola; ε > 0, una hipérbola.
• Para una elipse, ε = −μ/(2a).
• La condición de energía cero conduce a v_esc = √(2μ/r).
• La energía fija el tamaño o la clase, pero el momento angular también es necesario para conocer la forma.
• Controlar la conservación de ε es una prueba fundamental para simulaciones orbitales.

En el próximo tema estudiaremos el momento angular, la conservación del plano orbital y su relación con la velocidad areolar.