22. Momento angular y conservación del plano orbital

22.1 Del movimiento lineal al angular

La cantidad de movimiento lineal p⃗ = mv⃗ describe la traslación. Cuando interesa el movimiento respecto de un punto de referencia, introducimos el momento angular.

r⃗ se mide desde el origen elegido hasta el cuerpo. En un problema gravitatorio conviene elegir como origen el foco o centro de atracción.

22.2 Momento angular específico

Dividimos L⃗ por la masa orbitante para obtener el momento angular específico:

Su unidad SI es m²/s. Al igual que la energía específica, permite describir la trayectoria sin cargar cada fórmula con la masa del satélite.

En el problema relativo de dos cuerpos, h⃗ se calcula con la posición y velocidad relativas.

22.3 El producto vectorial

El producto vectorial r⃗ × v⃗ produce un vector perpendicular al plano formado por r⃗ y v⃗. Su módulo es:

γ es el ángulo entre la posición y la velocidad. Solo la componente de velocidad perpendicular al radio contribuye:

22.4 Dirección y regla de la mano derecha

La dirección de h⃗ se obtiene con la regla de la mano derecha: curvamos los dedos desde r⃗ hacia v⃗ por el giro más corto y el pulgar señala h⃗.

La dirección del vector distingue sentidos de recorrido. En el plano xy, un movimiento antihorario tiene h_z positivo; uno horario tiene h_z negativo.

Cambiar el orden del producto invierte el signo: v⃗ × r⃗ = −h⃗.

22.5 Componentes cartesianas

Para r⃗ = (x, y, z) y v⃗ = (v_x, v_y, v_z):

El módulo es h = √(h_x² + h_y² + h_z²). Además, r⃗ · h⃗ = 0 y v⃗ · h⃗ = 0.

22.6 Torque y cambio de momento angular

El torque de una fuerza respecto del origen es τ⃗ = r⃗ × F⃗. La segunda ley para rotaciones establece:

En términos específicos, dh⃗/dt = r⃗ × a⃗. Un torque nulo implica que el vector de momento angular permanece constante.

22.7 La gravedad es una fuerza central

La aceleración gravitatoria ideal apunta en sentido opuesto a r⃗:

Como r⃗ y a⃗ son paralelos, su producto vectorial es cero:

Por lo tanto, h⃗ conserva simultáneamente su módulo y su dirección.

22.8 Por qué la órbita permanece en un plano

En cada instante, r⃗ y v⃗ son perpendiculares a h⃗. Si h⃗ conserva su dirección, todos los vectores de posición futuros permanecen en el mismo plano perpendicular a él.

Una órbita kepleriana no puede abandonar espontáneamente su plano. Para cambiarlo hace falta una aceleración con componente fuera del plano, debida a un motor o a una perturbación.

22.9 Inclinación del plano orbital

Si el plano xy es el plano de referencia y +z su normal, la inclinación i se obtiene comparando h⃗ con el eje +z:

• i = 0°: órbita prógrada en el plano de referencia;
• 0° < i < 90°: órbita prógrada inclinada;
• i = 90°: órbita polar;
• 90° < i ≤ 180°: órbita retrógrada.

22.10 Segunda ley de Kepler

Durante un intervalo pequeño Δt, r⃗ y el desplazamiento v⃗Δt forman aproximadamente un triángulo de área:

En el límite:

La ley de áreas iguales es la expresión geométrica de la conservación del momento angular.

22.11 Cerca y lejos del foco

Como h = rv_t permanece constante, una distancia pequeña exige una componente transversal grande. Una distancia grande permite una componente menor.

En periapsis y apoapsis la velocidad radial es cero, de modo que v = v_t:

Esto explica directamente la mayor rapidez en periapsis y la menor rapidez en apoapsis.

22.12 Componente radial

Una velocidad radial es paralela a r⃗, por lo que no aporta momento angular:

Agregar velocidad radial modifica la energía y la fase del movimiento, pero si la componente transversal permanece igual, h⃗ no cambia.

En una trayectoria puramente radial h = 0. El plano orbital queda indefinido porque r⃗ y v⃗ no generan un plano único.

22.13 Semilado recto y momento angular

El tamaño transversal de una cónica se relaciona con h:

Para una elipse, p = a(1 − e²). Por lo tanto:

A energía fija, y por ello a semieje mayor fijo, una excentricidad mayor corresponde a menor momento angular.

22.14 Energía, momento angular y excentricidad

Las dos cantidades conservadas escalares se combinan en:

La energía determina si la trayectoria es ligada y fija el semieje mayor; el momento angular completa la información necesaria para determinar la excentricidad.

La dirección de h⃗ fija el plano, mientras el vector de excentricidad fija la orientación de la periapsis dentro de ese plano.

22.15 Efecto de un impulso

Durante un impulso ideal, la posición no cambia de manera apreciable y la velocidad recibe Δv⃗. El cambio de momento angular específico es:

• un impulso radial no cambia h⃗;
• un impulso transversal cambia su módulo;
• un impulso fuera del plano cambia su dirección y, por tanto, el plano orbital.

Los cambios de plano requieren precisamente una componente de impulso fuera del plano inicial.

22.16 Perturbaciones y precesión

Si actúan fuerzas no centrales, el torque ya no es necesariamente cero. El momento angular puede cambiar de módulo, de dirección o de ambos.

El achatamiento de un planeta, la atracción de terceros cuerpos y la resistencia atmosférica producen evoluciones lentas del plano o de la órbita. En esos casos h⃗ puede ser casi constante durante una vuelta, pero variar a escalas temporales mayores.

22.17 Calcular el momento angular con JavaScript

function momentoAngularEspecifico(r, v) {
  const h = {
    x: r.y * v.z - r.z * v.y,
    y: r.z * v.x - r.x * v.z,
    z: r.x * v.y - r.y * v.x
  };
  const modulo = Math.hypot(h.x, h.y, h.z);
  const inclinacion = modulo === 0
    ? NaN
    : Math.acos(Math.max(-1, Math.min(1, h.z / modulo)));

  return { ...h, modulo, inclinacion };
}

const r = { x: 7e6, y: 0, z: 0 };
const v = { x: 500, y: 7200, z: 1200 };
const h = momentoAngularEspecifico(r, v);

console.log("h⃗:", h.x.toExponential(3), h.y.toExponential(3), h.z.toExponential(3));
console.log("|h|:", h.modulo.toExponential(4), "m²/s");
console.log("inclinación:", (h.inclinacion * 180 / Math.PI).toFixed(2), "grados");

22.18 Verificar conservación numérica

function cruz(a, b) {
  return {
    x: a.y * b.z - a.z * b.y,
    y: a.z * b.x - a.x * b.z,
    z: a.x * b.y - a.y * b.x
  };
}

function errorVector(actual, referencia) {
  const diferencia = Math.hypot(
    actual.x - referencia.x,
    actual.y - referencia.y,
    actual.z - referencia.z
  );
  const escala = Math.hypot(referencia.x, referencia.y, referencia.z);
  return diferencia / escala;
}

const rapidezTransversal = Math.hypot(7500, 500);
const estados = [
  { r: { x: 7e6, y: 0, z: 0 }, v: { x: 0, y: 7500, z: 500 } },
  {
    r: {
      x: 0,
      y: 7e6 * 7500 / rapidezTransversal,
      z: 7e6 * 500 / rapidezTransversal
    },
    v: { x: -rapidezTransversal, y: 0, z: 0 }
  }
];
const referencia = cruz(estados[0].r, estados[0].v);

for (const estado of estados) {
  const h = cruz(estado.r, estado.v);
  console.log("error relativo:", errorVector(h, referencia).toExponential(3));
}

En una simulación coherente, no basta con comparar módulos: una rotación artificial de h⃗ indicaría una deriva del plano aunque |h⃗| permaneciera casi constante.

22.19 Laboratorio interactivo: vector normal al plano

El estado inicial usa r⃗ = (1, 0, 0). Cambiá las componentes radial, transversal y fuera del plano de la velocidad. El diagrama proyecta el plano orbital y los vectores r⃗, v⃗ y h⃗.

• Modificá v_r: comprobá que h⃗ y la inclinación no cambian.
• Agregá v_z: el vector h⃗ se inclina y define un nuevo plano.
• Invertí v_t: h_z cambia de signo y el movimiento pasa a ser retrógrado.

22.20 Diagnóstico de una simulación

Para controlar una integración orbital conviene guardar h⃗₀ y medir en cada paso:

El segundo indicador detecta tanto cambios de magnitud como de dirección. Errores periódicos pequeños pueden ser aceptables; una deriva sostenida señala un paso demasiado grande o un integrador inadecuado.

22.21 Errores frecuentes

• calcular v⃗ × r⃗ en lugar de r⃗ × v⃗;
• usar la velocidad total en h = rv en vez de su componente transversal;
• confundir momento angular L⃗ con momento angular específico h⃗;
• suponer que conservar el módulo basta para conservar el plano;
• atribuir momento angular orbital a una velocidad puramente radial;
• medir la inclinación desde el plano en vez de comparar sus vectores normales;
• ignorar torques producidos por fuerzas no centrales.

22.22 Ejercicio propuesto

Un satélite tiene r⃗ = (7000, 0, 0) km y v⃗ = (1, 7, 2) km/s.

1. Calculá h⃗ y su módulo.
2. Calculá la inclinación respecto del plano xy.
3. Indicá qué componente de v⃗ puede cambiarse sin modificar h⃗ en ese instante.
4. Calculá la velocidad areolar.

const r = { x: 7000, y: 0, z: 0 };
const v = { x: 1, y: 7, z: 2 };
const h = {
  x: r.y * v.z - r.z * v.y,
  y: r.z * v.x - r.x * v.z,
  z: r.x * v.y - r.y * v.x
};
const modulo = Math.hypot(h.x, h.y, h.z);
const inclinacion = Math.acos(h.z / modulo) * 180 / Math.PI;

console.log("h⃗:", h);
console.log("|h|:", modulo.toFixed(2), "km²/s");
console.log("inclinación:", inclinacion.toFixed(2), "grados");
console.log("velocidad areolar:", (modulo / 2).toFixed(2), "km²/s");

22.23 Ideas para recordar

• El momento angular específico es h⃗ = r⃗ × v⃗ y se expresa en m²/s.
• Solo la componente transversal de la velocidad contribuye a su módulo.
• La gravedad central produce torque nulo y conserva h⃗.
• La dirección constante de h⃗ mantiene el movimiento en un plano fijo.
• La velocidad areolar constante vale h/2.
• El semilado recto cumple p = h²/μ.
• Un impulso fuera del plano cambia la dirección de h⃗ y la orientación orbital.

En el próximo tema combinaremos energía y geometría mediante la ecuación vis-viva para calcular la rapidez en cualquier punto de una órbita.