23. Ecuación vis-viva: velocidad en distintos puntos de la órbita

23.1 Una relación local y global

La rapidez orbital cambia con la distancia al foco. La ecuación vis-viva calcula su módulo en cualquier punto de una trayectoria kepleriana a partir de dos longitudes: la distancia instantánea r y el semieje mayor a.

r describe el estado local; a resume la energía de toda la trayectoria. El parámetro μ representa la intensidad gravitatoria del sistema.

23.2 Deducción desde la energía

La energía específica calculada en un punto cualquiera es:

Para una cónica con semieje mayor firmado:

Igualamos ambas expresiones, multiplicamos por 2 y despejamos v²:

23.3 Comprobación dimensional

Los términos 2/r y 1/a tienen unidad m⁻¹. Al multiplicarlos por μ:

La raíz cuadrada produce m/s. r y a deben expresarse en la misma unidad, compatible con la utilizada en μ.

23.4 Qué representa el semieje mayor

En una elipse, a > 0 y coincide con la mitad del eje mayor geométrico. En una circunferencia, a = r.

En una parábola, a tiende a infinito y 1/a tiende a cero. En una hipérbola se utiliza habitualmente a < 0; así la misma ecuación funciona porque −1/a es positivo.

Al implementar vis-viva es importante declarar esta convención para las trayectorias hiperbólicas.

23.5 Recuperar la velocidad circular

En una órbita circular r = a. Sustituimos:

Vis-viva contiene el resultado circular como un caso particular, no como una fórmula separada.

23.6 Recuperar la velocidad de escape

Para una parábola, 1/a = 0:

La trayectoria parabólica posee exactamente la rapidez de escape local en cada punto. Su energía específica total es cero.

23.7 Rapidez en una elipse

Para una elipse, r varía entre r_p = a(1 − e) y r_a = a(1 + e). Como 2/r disminuye al aumentar r, la rapidez también disminuye.

• en periapsis, r es mínimo y v es máxima;
• en apoapsis, r es máximo y v es mínima;
• en los puntos donde r = a, v coincide con la rapidez circular correspondiente a esa distancia.

23.8 Velocidades en los ápsides

Sustituyendo los radios extremos obtenemos:

Su cociente simplifica a v_p/v_a = (1 + e)/(1 − e), en acuerdo con la conservación r_pv_p = r_av_a.

23.9 Comparación con la rapidez circular local

Comparamos vis-viva con v_c² = μ/r:

• si r < a, entonces v > v_c;
• si r = a, entonces v = v_c;
• si r > a, entonces v < v_c.

Esta comparación se refiere a la rapidez circular en la distancia actual, no a una única rapidez fija.

23.10 Ejemplo terrestre elíptico

Consideremos r_p = 7000 km, r_a = 21 000 km y μ = 398 600 km³/s². Primero:

Aplicando vis-viva:

La razón entre ambas es 3, igual a r_a/r_p.

23.11 Hallar el semieje mayor desde r y v

Reordenamos vis-viva:

El signo del denominador clasifica la energía: positivo para elipse, cero para parábola y negativo para hipérbola.

Esta operación determina el tamaño energético, pero no la excentricidad. Para ello también se necesita la dirección de la velocidad y el momento angular.

23.12 Hallar la distancia desde a y v

También podemos despejar el radio:

En una elipse, una misma rapidez suele aparecer en dos posiciones simétricas respecto de la línea de ápsides: una durante el alejamiento y otra durante el acercamiento.

Vis-viva entrega la distancia, pero no distingue entre esos dos tramos.

23.13 Forma hiperbólica

En una hipérbola a < 0 y la rapidez en el infinito cumple v_∞² = −μ/a. Vis-viva puede escribirse:

La rapidez local combina el exceso hiperbólico que permanece lejos del astro con el aumento producido al caer en su potencial gravitatorio.

23.14 La masa del satélite no aparece

Vis-viva utiliza energía por unidad de masa. Por eso la masa del cuerpo orbitante se cancela en el modelo de masa central dominante.

Si ambas masas son comparables, se trabaja con el movimiento relativo y μ = G(M + m). La estructura de la ecuación no cambia.

23.15 Vis-viva no proporciona la dirección

La ecuación calcula el módulo v, no el vector v⃗. En una posición dada, la velocidad puede tener componentes radial y transversal.

Para reconstruir el vector hacen falta datos adicionales, como el momento angular, la anomalía verdadera, el sentido del movimiento y la orientación del plano.

Estados con igual r, igual v e igual energía pueden pertenecer a órbitas con excentricidades diferentes si cambia la dirección de v⃗.

23.16 Dominio y comprobaciones

La cantidad dentro de la raíz debe ser no negativa:

Para una elipse, esto implica r ≤ 2a. La geometría impone una restricción aún más específica: a(1 − e) ≤ r ≤ a(1 + e).

Un resultado negativo dentro de la raíz indica datos incompatibles, unidades mezcladas o una convención incorrecta para a.

23.17 Implementar vis-viva en JavaScript

function velocidadVisViva(mu, radio, semiejeMayor) {
  if (mu <= 0 || radio <= 0 || semiejeMayor === 0) {
    throw new RangeError("Los parámetros no son válidos");
  }

  const v2 = mu * (2 / radio - 1 / semiejeMayor);
  const tolerancia = mu / radio * 1e-12;

  if (v2 < -tolerancia) {
    throw new RangeError("El radio no es compatible con esa órbita");
  }
  return Math.sqrt(Math.max(0, v2));
}

const mu = 3.986e5; // km³/s²
const a = 14000;    // km

for (const r of [7000, 14000, 21000]) {
  const v = velocidadVisViva(mu, r, a);
  console.log("r =", r, "km → v =", v.toFixed(3), "km/s");
}

23.18 Resolver problemas inversos con JavaScript

function semiejeDesdeEstado(mu, radio, rapidez) {
  const inversoA = 2 / radio - rapidez ** 2 / mu;
  const tolerancia = 1e-12 / radio;

  if (Math.abs(inversoA) < tolerancia) return Infinity;
  return 1 / inversoA;
}

const mu = 3.986e5;
const radio = 7000;
const velocidades = [7.546, Math.sqrt(2 * mu / radio), 12];

for (const rapidez of velocidades) {
  const a = semiejeDesdeEstado(mu, radio, rapidez);
  const tipo = !Number.isFinite(a)
    ? "parabólica"
    : a > 0 ? "elíptica" : "hiperbólica";
  console.log(rapidez, "km/s →", tipo, "| a =", a);
}

23.19 Laboratorio interactivo: rapidez a lo largo de una elipse

Seleccioná un astro, cambiá el tamaño y la excentricidad de la órbita, y desplazá el cuerpo con la anomalía verdadera. El gráfico muestra la curva de vis-viva para esa energía y señala el estado actual.

• Compará las ápsides: observá los extremos opuestos de distancia y rapidez.
• Elegí e = 0: el radio y la rapidez permanecen constantes.
• Aumentá a: la escala de la órbita y el período crecen, mientras disminuyen las velocidades características.

23.20 Uso en maniobras orbitales

Vis-viva permite calcular las velocidades antes y después de un impulso sin integrar toda la trayectoria. Si conocemos la órbita inicial y la órbita de transferencia, evaluamos ambas velocidades en el mismo punto y obtenemos el cambio requerido.

Esta resta escalar solo es válida cuando ambas velocidades tienen la misma dirección. En el caso general deben restarse como vectores.

23.21 Errores frecuentes

• usar la altitud en lugar de la distancia al centro;
• confundir el radio instantáneo r con el semieje mayor a;
• emplear a positivo para una hipérbola sin adaptar la convención;
• mezclar kilómetros y metros dentro de la misma sustitución;
• creer que vis-viva determina la dirección de v⃗;
• usar una raíz de cantidad negativa sin comprobar los datos;
• suponer que una rapidez dada aparece en un único punto de la elipse.

23.22 Ejercicio propuesto

Una sonda recorre una órbita solar elíptica con perihelio 1 ua y afelio 4 ua. Usá μ_Sol = 1,327 × 10¹¹ km³/s² y 1 ua = 1,496 × 10⁸ km.

1. Calculá el semieje mayor en ua y kilómetros.
2. Calculá las rapideces de perihelio y afelio.
3. Comprobá la razón v_p/v_a.

const muSol = 1.327e11; // km³/s²
const ua = 1.496e8;     // km
const rp = 1 * ua;
const ra = 4 * ua;
const a = (rp + ra) / 2;

const visViva = r => Math.sqrt(muSol * (2 / r - 1 / a));
const vp = visViva(rp);
const va = visViva(ra);

console.log("a:", (a / ua).toFixed(2), "ua");
console.log("vp:", vp.toFixed(2), "km/s");
console.log("va:", va.toFixed(2), "km/s");
console.log("vp/va:", (vp / va).toFixed(3));

23.23 Ideas para recordar

• Vis-viva relaciona rapidez, distancia, semieje mayor y parámetro gravitacional.
• La rapidez aumenta al acercarse al foco y disminuye al alejarse.
• El caso r = a recupera la rapidez circular local.
• El límite 1/a = 0 recupera la velocidad de escape parabólica.
• Con a < 0, la misma ecuación describe una trayectoria hiperbólica.
• La ecuación entrega un módulo; la dirección requiere momento angular y geometría adicional.
• Vis-viva permite resolver rápidamente estados y maniobras sin integrar toda la órbita.

En el próximo tema combinaremos posición y velocidad vectoriales para determinar una órbita completa a partir de un estado.