25. Problema de dos cuerpos, centro de masa y baricentro

25.1 Abandonar la idea de un centro fijo

Hasta ahora tratamos con frecuencia al astro principal como un centro inmóvil. Esa aproximación funciona cuando su masa es mucho mayor que la del cuerpo orbitante, pero la gravedad actúa sobre ambos.

En el problema de dos cuerpos, dos masas puntuales interactúan únicamente entre sí mediante la gravitación newtoniana. Cada una acelera hacia la otra y ninguna ocupa necesariamente un punto fijo.

El sistema puede separarse en el movimiento global de su centro de masa y el movimiento orbital relativo.

25.2 Fuerzas iguales y opuestas

Sean dos masas m₁ y m₂, separadas por el vector r⃗ = r⃗₂ − r⃗₁. La fuerza sobre m₂ es:

Por la tercera ley de Newton, la fuerza sobre m₁ es F⃗₁₂ = −F⃗₂₁. Los módulos son iguales, pero las aceleraciones no:

El cuerpo menos masivo experimenta la aceleración mayor.

25.3 Centro de masa o baricentro

La posición del centro de masa del sistema es:

En astronomía se lo denomina habitualmente baricentro. Se encuentra sobre la línea que une ambos cuerpos y más cerca del más masivo.

El baricentro es un punto matemático: puede quedar dentro de uno de los cuerpos o en el espacio entre ambos.

25.4 Movimiento del baricentro

Al sumar las fuerzas internas, estas se cancelan. Si no hay fuerzas externas:

El baricentro permanece en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante. Podemos elegir un sistema de referencia en el que R⃗ = 0 para estudiar solamente la órbita interna.

25.5 Posiciones respecto del baricentro

Definimos el vector relativo r⃗ = r⃗₂ − r⃗₁. En el sistema del centro de masa:

Los cuerpos están siempre en lados opuestos del baricentro. Sus distancias satisfacen m₁r₁ = m₂r₂.

25.6 Distancias inversamente proporcionales

Si la separación instantánea es r = r₁ + r₂:

La masa mayor recorre la órbita baricéntrica más pequeña. Si m₁ = m₂, ambas distancias son r/2.

25.7 El movimiento relativo

Restamos las ecuaciones de aceleración de ambos cuerpos y obtenemos:

El vector de separación se comporta como una partícula que orbita un foco fijo con parámetro gravitacional:

Esta reducción permite reutilizar todas las ecuaciones keplerianas anteriores.

25.8 El parámetro gravitacional correcto

Cuando m₂ ≪ m₁, G(m₁ + m₂) ≈ Gm₁ y recuperamos la aproximación de masa central dominante.

En estrellas binarias, planetas dobles o sistemas de masas comparables, omitir una de las masas altera el período y las velocidades.

Aquí a es el semieje mayor de la órbita relativa, es decir, de la separación entre ambos cuerpos.

25.9 Dos órbitas semejantes

Si la órbita relativa es una elipse de semieje mayor a y excentricidad e, cada cuerpo describe una elipse semejante alrededor del baricentro:

Ambas tienen la misma excentricidad, el mismo período y el baricentro en uno de sus focos. Además, a₁ + a₂ = a.

25.10 Velocidades baricéntricas

Al derivar las posiciones:

En el sistema baricéntrico, la cantidad de movimiento total es cero:

Los módulos de las velocidades guardan la razón v₁/v₂ = m₂/m₁.

25.11 Caso circular

Si la separación r permanece constante, ambos cuerpos giran con la misma velocidad angular:

Sus velocidades son v₁ = ωr₁ y v₂ = ωr₂. Aunque recorren circunferencias de radios diferentes, completan cada vuelta simultáneamente.

25.12 Masa reducida

La dinámica energética puede expresarse mediante la masa reducida:

No debe confundirse con el parámetro gravitacional μ. Usamos m_red para evitar que la misma letra represente dos conceptos distintos.

Si m₂ ≪ m₁, entonces m_red ≈ m₂.

25.13 Energía del movimiento relativo

En el sistema del centro de masa, la energía mecánica interna es:

Al dividir por m_red:

Es exactamente la energía específica de la órbita relativa con μ = G(m₁ + m₂).

25.14 Momento angular total

El momento angular interno respecto del baricentro se reduce a:

En ausencia de torques externos se conserva. El vector relativo y las dos órbitas baricéntricas permanecen en el mismo plano perpendicular a L⃗.

25.15 ¿El baricentro está dentro del cuerpo principal?

La distancia del cuerpo 1 al baricentro es r₁ = m₂r/(m₁ + m₂). Para saber si el baricentro queda dentro de ese cuerpo, comparamos r₁ con su radio físico R₁.

• r₁ < R₁: baricentro dentro del cuerpo 1;
• r₁ = R₁: baricentro sobre su superficie ideal;
• r₁ > R₁: baricentro en el espacio entre los cuerpos.

Que el baricentro quede dentro de un astro no significa que este permanezca inmóvil: también realiza un movimiento alrededor de ese punto.

25.16 Detección de compañeros invisibles

Una estrella con un planeta se desplaza alrededor del baricentro común. Ese pequeño movimiento puede alterar periódicamente su velocidad radial o su posición aparente.

Cuanto mayor sea la masa del compañero y mayor la escala orbital, mayor será el movimiento baricéntrico de la estrella. Este principio permite inferir objetos que no se observan directamente.

La interpretación real requiere considerar inclinación, múltiples cuerpos y ruido de medición.

25.17 Transformar estados con JavaScript

function estadosBaricentricos(m1, m2, rRelativa, vRelativa) {
  if (m1 <= 0 || m2 <= 0) throw new RangeError("Las masas deben ser positivas");
  const total = m1 + m2;
  const factor1 = -m2 / total;
  const factor2 = m1 / total;
  const scale = (factor, vector) => ({
    x: factor * vector.x,
    y: factor * vector.y,
    z: factor * vector.z
  });

  return {
    r1: scale(factor1, rRelativa),
    r2: scale(factor2, rRelativa),
    v1: scale(factor1, vRelativa),
    v2: scale(factor2, vRelativa)
  };
}

const estados = estadosBaricentricos(
  4,
  1,
  { x: 10, y: 0, z: 0 },
  { x: 0, y: 3, z: 0 }
);
console.log(estados);

25.18 Período y escalas baricéntricas

function sistemaBinario(G, m1, m2, semiejeRelativo) {
  const masaTotal = m1 + m2;
  const mu = G * masaTotal;
  const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(semiejeRelativo ** 3 / mu);
  const a1 = m2 / masaTotal * semiejeRelativo;
  const a2 = m1 / masaTotal * semiejeRelativo;
  const masaReducida = m1 * m2 / masaTotal;
  return { mu, periodo, a1, a2, masaReducida };
}

const binario = sistemaBinario(1, 4, 1, 10);
console.log("μ:", binario.mu.toFixed(3));
console.log("T:", binario.periodo.toFixed(3));
console.log("a1:", binario.a1.toFixed(3));
console.log("a2:", binario.a2.toFixed(3));
console.log("masa reducida:", binario.masaReducida.toFixed(3));

25.19 Laboratorio interactivo: órbitas alrededor del baricentro

Tomamos G = 1 y m₁ = 1. Modificá la relación m₂/m₁, el semieje mayor relativo, la excentricidad y el tiempo. Las dos curvas son copias escaladas de la órbita relativa.

• Igualá las masas: las dos órbitas adquieren el mismo tamaño.
• Reducí m₂: el baricentro se aproxima al centro de m₁.
• Aumentá e: ambas distancias y velocidades cambian en sincronía.

25.20 Conservación de cantidad de movimiento

En un sistema aislado, la cantidad de movimiento total P⃗ = m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ es constante. En el marco baricéntrico vale cero.

Una simulación debe comprobar simultáneamente la posición del centro de masa y la cantidad de movimiento. Si derivan sin una fuerza externa, existe un error numérico o las fuerzas internas no se aplicaron de forma exactamente opuesta.

25.21 Errores frecuentes

• suponer que el cuerpo más masivo permanece completamente inmóvil;
• ubicar siempre el baricentro entre las superficies y no solo entre los centros;
• usar Gm₁ en lugar de G(m₁ + m₂) cuando las masas son comparables;
• confundir la órbita relativa con una de las órbitas baricéntricas;
• olvidar que a = a₁ + a₂;
• confundir masa reducida con parámetro gravitacional;
• calcular estados relativos desde sistemas de referencia distintos.

25.22 Ejercicio propuesto

Dos cuerpos de masas m₁ = 4 × 10²⁴ kg y m₂ = 1 × 10²⁴ kg describen una órbita circular con separación r = 10 000 km.

1. Calculá las distancias de cada cuerpo al baricentro.
2. Calculá μ = G(m₁ + m₂) y el período.
3. Calculá las velocidades baricéntricas.

const G = 6.67430e-11;
const m1 = 4e24;
const m2 = 1e24;
const separacion = 1e7;
const total = m1 + m2;
const r1 = m2 / total * separacion;
const r2 = m1 / total * separacion;
const mu = G * total;
const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(separacion ** 3 / mu);
const omega = 2 * Math.PI / periodo;

console.log("r1:", (r1 / 1000).toFixed(0), "km");
console.log("r2:", (r2 / 1000).toFixed(0), "km");
console.log("T:", periodo.toFixed(0), "s");
console.log("v1:", (omega * r1 / 1000).toFixed(3), "km/s");
console.log("v2:", (omega * r2 / 1000).toFixed(3), "km/s");

25.23 Ideas para recordar

• Ambos cuerpos se mueven alrededor de un baricentro común.
• El baricentro divide la separación en razón inversa a las masas.
• Sin fuerzas externas, el centro de masa se mueve con velocidad constante.
• El movimiento relativo obedece una ecuación kepleriana con μ = G(m₁ + m₂).
• Las dos órbitas baricéntricas tienen igual excentricidad y período.
• La masa reducida permite escribir la energía y el momento angular internos.
• La aproximación de centro fijo aparece cuando una masa domina ampliamente.

En el próximo tema formalizaremos el movimiento relativo y el parámetro gravitacional estándar para aplicar estas ideas con unidades y datos orbitales reales.