26. Movimiento relativo y parámetro gravitacional estándar

26.1 Por qué usar movimiento relativo

En un sistema de dos cuerpos, las dos posiciones absolutas dependen del origen elegido y del movimiento del baricentro. Sin embargo, la separación entre los cuerpos contiene toda la dinámica orbital interna.

El vector r⃗ apunta desde el cuerpo 1 hacia el cuerpo 2. Su evolución describe una única cónica relativa y evita integrar por separado un movimiento uniforme que no afecta a la órbita.

26.2 Estado relativo

Al derivar la posición relativa:

Posición y velocidad relativas deben calcularse desde estados expresados en el mismo sistema de referencia, orientación, instante y unidades.

Sumar la misma velocidad constante a ambos cuerpos no cambia v⃗ ni la órbita relativa.

26.3 Derivación de la aceleración relativa

Las aceleraciones individuales debidas a la gravedad mutua son:

Restamos a⃗₂ − a⃗₁:

Las masas se suman porque ambos cuerpos aceleran y la separación cambia por los dos movimientos.

26.4 Parámetro gravitacional del sistema

Definimos el parámetro gravitacional para la órbita relativa:

Así, la ecuación adquiere la forma de un problema de masa central:

Todas las fórmulas keplerianas anteriores se aplican al vector relativo usando este μ.

26.5 Parámetro gravitacional estándar de un cuerpo

Para un cuerpo aislado de masa M se define:

Esta cantidad se denomina parámetro gravitacional estándar. En catálogos astronómicos se publica directamente porque es la combinación que aparece en las ecuaciones de movimiento.

Si la masa secundaria es despreciable, μ_total ≈ GM.

26.6 Cuándo sumar ambos parámetros

Como μ₁ = Gm₁ y μ₂ = Gm₂:

La corrección relativa al usar solamente μ₁ es m₂/m₁. Para un satélite artificial suele ser insignificante; para una luna grande o un sistema binario puede ser necesaria.

La decisión debe basarse en la precisión buscada, no solo en llamar “central” a uno de los cuerpos.

26.7 Por qué μ puede conocerse mejor que M

Las observaciones orbitales permiten determinar μ directamente mediante períodos, distancias y velocidades. Obtener M por separado exige dividir por G.

Como la constante G es difícil de medir con gran precisión en laboratorio, a menudo el producto GM se conoce relativamente mejor que cada factor por separado.

Para cálculos orbitales conviene utilizar el valor tabulado de μ en lugar de multiplicar una masa redondeada por G.

26.8 Unidades de μ

En el Sistema Internacional:

En cálculos astronáuticos también se usa km³/s². La conversión es:

Para pasar de m³/s² a km³/s² se divide por 10⁹. No se divide por 1000: la unidad de longitud está elevada al cubo.

26.9 Valores aproximados de referencia

Los valores se muestran redondeados con fines didácticos. En una aplicación de precisión deben usarse una fuente, época y convención coherentes.

26.10 Aceleración relativa e individual

El módulo de la aceleración relativa es μ_total/r². Las aceleraciones baricéntricas individuales son:

Su suma de módulos coincide con la aceleración con que disminuye la separación en la dirección radial. No debemos aplicar μ_total/r² a cada cuerpo por separado.

26.11 Escalas de velocidad

A una separación r, las velocidades relativas circular y de escape son:

Estas son velocidades relativas. Las velocidades individuales respecto del baricentro se obtienen multiplicando por la fracción de masa del cuerpo opuesto.

26.12 Escala de tiempo y movimiento medio

Para una órbita relativa de semieje mayor a:

El movimiento medio n expresa la tasa uniforme de crecimiento de la anomalía media y tiene unidad rad/s.

26.13 Energía y vis-viva relativas

Con r y v relativos:

Introducir la velocidad baricéntrica de uno de los cuerpos en estas fórmulas produciría una energía incorrecta. Las variables deben pertenecer todas a la formulación relativa.

26.14 Recuperar μ desde una órbita circular

Si medimos radio relativo y período:

También puede obtenerse desde la rapidez relativa circular:

Varias observaciones permiten ajustar μ estadísticamente y reducir los efectos del ruido y de las perturbaciones no modeladas.

26.15 Recuperar μ desde una elipse

La tercera ley generalizada usa el semieje mayor de la órbita relativa:

La excentricidad no aparece. Sin embargo, determinar a a partir de observaciones requiere ajustar la elipse completa o reconstruirla desde estados de posición y velocidad.

26.16 Escalado del movimiento

Las fórmulas muestran relaciones útiles:

• a distancia fija, aceleración ∝ μ;
• a distancia fija, velocidad característica ∝ √μ;
• a tamaño orbital fijo, período ∝ 1/√μ;
• para μ fijo, período ∝ a^3/2.

Duplicar μ no duplica la velocidad: la multiplica por √2, mientras el período se divide por √2.

26.17 Transformar entre relativo y baricéntrico

Con R⃗ y V⃗ como estado del centro de masa:

Estas ecuaciones reconstruyen los dos estados absolutos después de resolver el movimiento relativo.

26.18 Calcular un estado relativo con JavaScript

function restarVectores(a, b) {
  return { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y, z: a.z - b.z };
}

function estadoRelativo(cuerpo1, cuerpo2) {
  return {
    posicion: restarVectores(cuerpo2.posicion, cuerpo1.posicion),
    velocidad: restarVectores(cuerpo2.velocidad, cuerpo1.velocidad)
  };
}

const primario = {
  posicion: { x: 1000, y: 2000, z: 0 },
  velocidad: { x: 2, y: -1, z: 0 }
};
const secundario = {
  posicion: { x: 8000, y: 2000, z: 0 },
  velocidad: { x: 2, y: 6.5, z: 0 }
};

console.log(estadoRelativo(primario, secundario));

26.19 Trabajar con μ y unidades explícitas

const MU_TIERRA_KM3_S2 = 398600.4418;

function datosCirculares(muKm3S2, radioKm) {
  if (muKm3S2 <= 0 || radioKm <= 0) {
    throw new RangeError("μ y el radio deben ser positivos");
  }
  const aceleracionKmS2 = muKm3S2 / radioKm ** 2;
  const velocidadKmS = Math.sqrt(muKm3S2 / radioKm);
  const periodoS = 2 * Math.PI * Math.sqrt(radioKm ** 3 / muKm3S2);
  return { aceleracionKmS2, velocidadKmS, periodoS };
}

const datos = datosCirculares(MU_TIERRA_KM3_S2, 6771);
console.log("a:", (datos.aceleracionKmS2 * 1000).toFixed(3), "m/s²");
console.log("v:", datos.velocidadKmS.toFixed(3), "km/s");
console.log("T:", (datos.periodoS / 60).toFixed(2), "min");

26.20 Laboratorio interactivo: el efecto de μ

Seleccioná un cuerpo principal, cambiá la separación en radios del astro y agregá una masa secundaria. El laboratorio usa μ_total = μ₁(1 + m₂/m₁) y compara aceleración, velocidades y período relativos.

• Igualá las masas: μ total se duplica, la rapidez crece por √2 y el período disminuye por √2.
• Reducí m₂: recuperá gradualmente la aproximación de centro fijo.
• Cambiá la separación: compará las leyes r⁻², r^−1/2 y r^3/2.

26.21 Precisión y representación numérica

Los parámetros astronómicos abarcan muchos órdenes de magnitud. JavaScript representa números con punto flotante de doble precisión, suficiente para numerosos fines educativos, pero no para toda aplicación científica.

Conviene conservar más cifras internamente y redondear solo al presentar. También es útil adoptar una única familia de unidades y nombres como muKm3S2 o radioM que hagan explícita la unidad esperada.

26.22 Errores frecuentes

• usar estados absolutos en una ecuación de movimiento relativo;
• restar los vectores en un orden distinto para posición y velocidad;
• confundir μ = GM con la masa reducida;
• olvidar sumar μ₂ cuando las masas son comparables;
• aplicar la aceleración relativa a cada cuerpo individual;
• convertir m³ a km³ dividiendo solamente por 1000;
• recalcular GM desde valores redondeados cuando existe un μ tabulado.

26.23 Ejercicio propuesto

Dos cuerpos tienen μ₁ = 3,986 × 10⁵ km³/s² y μ₂ = 4,905 × 10³ km³/s². Su órbita relativa circular tiene radio r = 400 000 km.

1. Calculá μ_total.
2. Calculá la velocidad relativa circular.
3. Calculá el período en días.
4. Compará con el resultado obtenido ignorando μ₂.

const mu1 = 3.986e5;
const mu2 = 4.905e3;
const radio = 4e5;
const muTotal = mu1 + mu2;

const velocidad = Math.sqrt(muTotal / radio);
const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(radio ** 3 / muTotal);
const periodoAproximado = 2 * Math.PI * Math.sqrt(radio ** 3 / mu1);

console.log("μ total:", muTotal.toFixed(0), "km³/s²");
console.log("v relativa:", velocidad.toFixed(4), "km/s");
console.log("T:", (periodo / 86400).toFixed(3), "días");
console.log("T sin μ2:", (periodoAproximado / 86400).toFixed(3), "días");
console.log("diferencia:", ((periodoAproximado - periodo) / 3600).toFixed(2), "h");

26.24 Ideas para recordar

• El estado relativo se obtiene restando posiciones y velocidades en el mismo orden.
• La separación obedece a⃗ = −G(m₁ + m₂)r⃗/r³.
• El parámetro del movimiento relativo es μ_total = μ₁ + μ₂.
• El producto GM suele ser más útil y estar mejor determinado que la masa aislada.
• μ se expresa en m³/s² o km³/s²; el factor de conversión es 10⁹.
• Las fórmulas de energía, vis-viva y período requieren estados y μ de la misma formulación.
• La aproximación μ_total ≈ μ₁ debe justificarse mediante la relación de masas y la precisión buscada.

En el próximo tema estudiaremos cómo cambiar una órbita mediante impulsos de velocidad y cómo esos impulsos modifican energía, momento angular y ápsides.