28. Transferencia de Hohmann entre órbitas circulares

28.1 Objetivo de la transferencia

Supongamos dos órbitas circulares alrededor del mismo cuerpo, con radios r₁ y r₂. Queremos abandonar la primera y llegar a la segunda utilizando dos cambios instantáneos de velocidad.

La transferencia de Hohmann emplea una elipse tangente a ambas circunferencias. Se recorre solamente la mitad de esa elipse, desde una ápside hasta la opuesta.

Puede utilizarse para elevar o reducir el radio orbital.

28.2 Tres trayectorias

• órbita circular inicial de radio r₁;
• órbita elíptica de transferencia;
• órbita circular final de radio r₂.

Las tres comparten el mismo foco gravitatorio. La elipse toca cada círculo en una ápside, de modo que sus velocidades son tangenciales y paralelas en los puntos de maniobra.

28.3 Semieje de la elipse de transferencia

Las distancias extremas de la transferencia son precisamente r₁ y r₂. Por ello:

Su excentricidad puede escribirse con radios ordenados:

Si los radios son iguales, la elipse degenera en la misma circunferencia y ambos impulsos son cero.

28.4 Velocidades circulares

Antes del primer impulso y después del segundo, las velocidades son:

Estas velocidades pertenecen a los círculos, no a la elipse de transferencia.

28.5 Velocidades sobre la transferencia

Aplicamos vis-viva con a = a_H:

v_H1 corresponde al punto de salida y v_H2 al punto de llegada.

28.6 Primer impulso

El primer cambio tangencial conecta el círculo inicial con la elipse:

Para una transferencia hacia afuera, Δv₁ es positivo y prógrado. Para una transferencia hacia adentro, es negativo y retrógrado.

28.7 Segundo impulso

En el extremo opuesto, el segundo impulso conecta la elipse con el círculo final:

Al elevar la órbita es prógrado; al reducirla es retrógrado. La magnitud total ideal consumida es:

28.8 Fórmulas compactas para elevar la órbita

Si r₂ > r₁:

Ambos resultados son positivos. Las fórmulas con vis-viva son más generales y reducen el riesgo de errores de signo.

28.9 Transferencia descendente

Si r₂ < r₁, el primer impulso reduce la rapidez y convierte el punto inicial en la apoapsis de la transferencia. El cuerpo cae hacia la periapsis situada en r₂.

En la llegada, otro impulso retrógrado reduce la rapidez desde el valor de periapsis de la elipse hasta la rapidez circular inferior requerida en r₂.

Los Δv firmados son negativos, pero el presupuesto suma sus módulos.

28.10 Tiempo de transferencia

El recorrido cubre media órbita elíptica. Por la tercera ley de Kepler:

El tiempo depende de la geometría y de μ, no de la masa del vehículo ni de los módulos concretos de los impulsos ideales una vez fijados ambos radios.

28.11 El destino también se mueve

No basta con llegar al radio correcto: el cuerpo de destino debe estar en el punto de encuentro al mismo tiempo.

Durante t_H, un objetivo en la órbita final avanza un ángulo n₂t_H, donde n₂ = √(μ/r₂³). Si la salida se sitúa en ángulo cero y la llegada en π:

φ es el ángulo inicial del destino por delante o por detrás de la línea de salida según el caso.

28.12 Energía durante la maniobra

La órbita inicial, la transferencia y la órbita final tienen energías específicas constantes diferentes:

Los impulsos producen saltos de energía. Durante la deriva sobre la elipse, energía y momento angular se conservan.

28.13 Relación con el efecto Oberth

En una transferencia ascendente, el impulso que añade la mayor parte de la energía se realiza en el radio interior, donde la rapidez es mayor. Esto aprovecha el efecto Oberth.

La circularización exterior requiere menos cambio energético por unidad de delta-v, pero es necesaria para elevar la periapsis y dejar de regresar a la órbita inicial.

28.14 Ejemplo: órbita baja a geoestacionaria

Tomemos r₁ = 6678 km, r₂ = 42 164 km y μ = 398 600 km³/s². El semieje de transferencia es 24 421 km.

El cálculo no incluye pérdidas de lanzamiento, inclinación, perturbaciones ni circularización no instantánea.

28.15 Viaje de regreso

La transferencia inversa entre los mismos radios tiene las mismas magnitudes ideales de delta-v y el mismo tiempo de vuelo, pero ambos impulsos cambian de signo.

El ángulo de fase no es simplemente el negativo del caso de ida, porque el destino se encuentra ahora en una órbita con movimiento medio diferente.

28.16 Por qué se considera eficiente

Entre transferencias coplanares que conectan dos órbitas circulares mediante exactamente dos impulsos tangenciales y una sola elipse, Hohmann minimiza el delta-v.

Esta afirmación tiene condiciones. Para relaciones de radios muy grandes, una transferencia bi-elíptica puede consumir menos delta-v a costa de mayor tiempo. Otros objetivos pueden priorizar tiempo, iluminación o restricciones operativas.

28.17 Supuestos del modelo

• órbitas inicial y final circulares y coplanares;
• mismo cuerpo central y dinámica de dos cuerpos;
• impulsos instantáneos y exactamente tangenciales;
• sin atmósfera ni perturbaciones;
• radios medidos desde el centro;
• fase de encuentro correctamente elegida.

Si falla un supuesto, la transferencia sigue siendo una referencia útil, pero ya no describe toda la maniobra.

28.18 Calcular una transferencia con JavaScript

function transferenciaHohmann(mu, radioInicial, radioFinal) {
  if (mu <= 0 || radioInicial <= 0 || radioFinal <= 0) {
    throw new RangeError("μ y los radios deben ser positivos");
  }

  const aTransferencia = (radioInicial + radioFinal) / 2;
  const vInicial = Math.sqrt(mu / radioInicial);
  const vFinal = Math.sqrt(mu / radioFinal);
  const vTransferencia1 = Math.sqrt(mu * (2 / radioInicial - 1 / aTransferencia));
  const vTransferencia2 = Math.sqrt(mu * (2 / radioFinal - 1 / aTransferencia));
  const deltaV1 = vTransferencia1 - vInicial;
  const deltaV2 = vFinal - vTransferencia2;
  const tiempo = Math.PI * Math.sqrt(aTransferencia ** 3 / mu);

  return {
    aTransferencia,
    deltaV1,
    deltaV2,
    deltaVTotal: Math.abs(deltaV1) + Math.abs(deltaV2),
    tiempo
  };
}

const maniobra = transferenciaHohmann(398600, 6678, 42164);
console.log("Δv1:", maniobra.deltaV1.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δv2:", maniobra.deltaV2.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δv total:", maniobra.deltaVTotal.toFixed(3), "km/s");
console.log("tiempo:", (maniobra.tiempo / 3600).toFixed(2), "h");

28.19 Calcular el ángulo de fase

function normalizarAngulo(angulo) {
  const vuelta = 2 * Math.PI;
  return ((angulo % vuelta) + vuelta) % vuelta;
}

function faseHohmann(mu, radioInicial, radioFinal) {
  const aH = (radioInicial + radioFinal) / 2;
  const tiempo = Math.PI * Math.sqrt(aH ** 3 / mu);
  const movimientoDestino = Math.sqrt(mu / radioFinal ** 3);
  const fase = normalizarAngulo(Math.PI - movimientoDestino * tiempo);
  return { tiempo, fase };
}

const resultado = faseHohmann(398600, 7000, 14000);
console.log("tiempo:", (resultado.tiempo / 3600).toFixed(3), "h");
console.log("fase:", (resultado.fase * 180 / Math.PI).toFixed(2), "grados");

28.20 Laboratorio interactivo: dos impulsos y encuentro

Elegí las altitudes inicial y final alrededor de la Tierra y avanzá por el arco de transferencia. El objetivo parte con la fase necesaria para coincidir con el vehículo al completar media elipse.

• Llevá el progreso a 100 %: el vehículo y el objetivo llegan al mismo punto.
• Invertí las altitudes: ambos impulsos se vuelven retrógrados.
• Acercá los radios: el delta-v y la excentricidad tienden a cero.

28.21 Encendidos reales

En una misión real, cada impulso ocupa un intervalo y el vehículo recorre parte de la órbita durante el encendido. La dirección del empuje puede programarse para aproximar el cambio tangencial ideal.

También se agregan márgenes para errores de inyección, maniobras de corrección, pérdidas y mantenimiento orbital. El resultado de Hohmann es un valor ideal de referencia.

28.22 Errores frecuentes

• usar altitudes en vez de radios medidos desde el centro;
• usar la rapidez circular en la elipse de transferencia;
• sumar Δv firmados en vez de sumar sus módulos como presupuesto;
• usar el período completo en lugar de medio período;
• olvidar que el destino se mueve durante el viaje;
• aplicar fórmulas de ascenso sin revisar signos en un descenso;
• suponer que Hohmann siempre es la opción óptima sin revisar sus condiciones.

28.23 Ejercicio propuesto

Un satélite pasa de una órbita circular de radio 7000 km a otra de radio 14 000 km alrededor de la Tierra. Usá μ = 398 600 km³/s².

1. Calculá a_H y e_H.
2. Calculá ambos impulsos y el delta-v total.
3. Calculá el tiempo de transferencia.
4. Calculá la fase inicial del objetivo.

const mu = 398600;
const r1 = 7000;
const r2 = 14000;
const aH = (r1 + r2) / 2;
const eH = (r2 - r1) / (r2 + r1);
const v1 = Math.sqrt(mu / r1);
const v2 = Math.sqrt(mu / r2);
const vH1 = Math.sqrt(mu * (2 / r1 - 1 / aH));
const vH2 = Math.sqrt(mu * (2 / r2 - 1 / aH));
const dv1 = vH1 - v1;
const dv2 = v2 - vH2;
const tiempo = Math.PI * Math.sqrt(aH ** 3 / mu);
const n2 = Math.sqrt(mu / r2 ** 3);
const fase = ((Math.PI - n2 * tiempo) % (2 * Math.PI) + 2 * Math.PI) % (2 * Math.PI);

console.log("aH / eH:", aH.toFixed(0), eH.toFixed(4));
console.log("Δv1 / Δv2:", dv1.toFixed(3), dv2.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δv total:", (Math.abs(dv1) + Math.abs(dv2)).toFixed(3), "km/s");
console.log("tiempo:", tiempo.toFixed(0), "s");
console.log("fase:", (fase * 180 / Math.PI).toFixed(2), "grados");

28.24 Ideas para recordar

• La transferencia de Hohmann conecta dos círculos coplanares mediante media elipse.
• El semieje de transferencia es (r₁ + r₂)/2.
• Vis-viva proporciona las velocidades de la elipse en ambos impulsos.
• El presupuesto ideal suma |Δv₁| + |Δv₂|.
• El tiempo de vuelo es la mitad del período de la elipse.
• El objetivo debe partir con la fase adecuada para producir un encuentro.
• Hohmann es óptima solamente bajo un conjunto específico de supuestos.

En el próximo tema estudiaremos los cambios de plano e inclinación orbital, donde la dirección del vector velocidad es tan importante como su módulo.