29.1 Qué significa cambiar de plano
Una órbita kepleriana permanece en un plano perpendicular a su momento angular h⃗. Para pasar a otro plano debemos cambiar la dirección de h⃗, lo que requiere una componente de impulso fuera del plano inicial.
Un cambio de plano puede modificar la inclinación, la orientación de la línea de nodos o ambas. La geometría correcta se expresa mediante el ángulo entre los planos, no siempre mediante la simple diferencia de inclinaciones.
29.2 Ángulo entre dos planos orbitales
Los vectores h⃗₁ y h⃗₂ son normales a los planos. El ángulo real Δψ entre ellos cumple:
Si ambos planos comparten la misma línea de nodos y solo cambia la inclinación, entonces Δψ = |i₂ − i₁|.
29.3 La línea de intersección
Dos planos diferentes se cortan en una recta que pasa por el foco gravitatorio. El vehículo solo puede cambiar instantáneamente de uno al otro cuando su posición está sobre esa línea.
Los dos puntos en que la órbita cruza la intersección son los nodos de la maniobra. Un impulso ideal cambia la velocidad, pero no la posición, por lo que la nueva órbita debe contener ese mismo punto.
29.4 Rotar la velocidad
En un cambio puro de plano circular, los módulos antes y después son iguales:
Los vectores forman un ángulo Δi. El impulso requerido es su diferencia:
El módulo de Δv⃗ es la longitud de la cuerda entre los extremos de ambos vectores.
29.5 Deducción mediante la ley del coseno
El triángulo de velocidades cumple:
Usando 1 − cos Δi = 2 sen²(Δi/2):
La relación no es lineal para ángulos grandes.
29.6 Aproximación para ángulos pequeños
Si Δi se expresa en radianes y es pequeño, sen(Δi/2) ≈ Δi/2:
Por ejemplo, un grado equivale aproximadamente a 0,01745 rad. A 7,5 km/s, un cambio de un grado cuesta cerca de 0,131 km/s.
La aproximación pierde precisión al crecer el ángulo.
29.7 El costo crece con la rapidez
Para un mismo ángulo, Δv es proporcional a v. Conviene realizar el cambio de plano donde la rapidez orbital sea menor.
- en una elipse, la apoapsis suele ser el punto más favorable;
- elevar temporalmente la apoapsis puede reducir el costo del giro;
- el ahorro debe compararse con los impulsos necesarios para modificar la órbita.
29.8 Ejemplo a dos velocidades
Para Δi = 30°:
a v = 3,0 km/s: Δv = 2(3,0)sen 15° ≈ 1,553 km/s
El mismo giro cuesta menos de la mitad cuando se realiza a la velocidad inferior.
29.9 Dirección exacta del impulso
Un cambio puro no se logra agregando solamente una componente normal. Para conservar el módulo de la velocidad, Δv⃗ posee:
Δvn = v sen Δi
La componente tangencial es negativa y compensa el aumento de módulo que produciría una componente normal aislada.
29.10 Por qué un impulso solo normal no basta
Si sumamos Δvn perpendicular a v⃗, la nueva rapidez es √(v² + Δvn²), mayor que la inicial. Además de inclinar el plano, cambia la energía y la forma orbital.
Para rotar sin cambiar energía cinética, el vector impulso debe unir directamente v⃗₁ con v⃗₂.
29.11 Cambio combinado de rapidez y plano
Si los módulos inicial y final son diferentes, la ley del coseno general da:
Las componentes respecto de la velocidad inicial son:
Δvn = v₂ sen Δi
29.12 Combinar suele ahorrar delta-v
Realizar por separado un cambio de rapidez |v₂ − v₁| y un cambio de plano 2v₂sen(Δi/2) suele costar más que aplicar un único impulso vectorial combinado.
La desigualdad triangular explica el ahorro: el lado directo del triángulo no supera la suma de los otros dos lados.
La comparación debe hacerse en el mismo punto y con velocidades físicamente compatibles con las órbitas.
29.13 Cambio de plano durante Hohmann
En una transferencia ascendente, la velocidad es mínima en la apoapsis de la elipse. Combinar allí la circularización con el cambio de plano suele ser más eficiente que inclinar la órbita baja.
Para grandes ángulos puede convenir repartir el cambio entre maniobras; la optimización depende de radios, velocidades y restricciones.
29.14 Cambio de inclinación y nodos
Para cambiar solo la inclinación manteniendo fija la línea de nodos, el impulso se aplica en el nodo ascendente o descendente respecto del plano objetivo.
El signo de la componente normal determina hacia qué lado rota el momento angular. Aplicar el signo incorrecto aumenta la diferencia de planos.
29.15 Cambiar la orientación del nodo
Dos órbitas pueden tener igual inclinación y distinta longitud del nodo ascendente Ω. Sus planos siguen siendo diferentes.
El ángulo entre planos para inclinaciones i₁, i₂ y diferencia ΔΩ cumple:
El costo debe calcularse con Δψ, no solamente con |i₂ − i₁|.
29.16 Restricción impuesta por el lanzamiento
Un lanzamiento hacia el este desde una latitud φ no puede alcanzar directamente una inclinación menor que |φ| sin realizar un cambio de plano o una trayectoria especial.
La rotación del planeta puede aportar velocidad hacia el este, por lo que los sitios cercanos al ecuador son ventajosos para órbitas de baja inclinación.
Las zonas de sobrevuelo y seguridad también limitan los azimuts posibles.
29.17 Encendido finito y maniobras reales
Durante un encendido finito, el vehículo atraviesa el nodo mientras rota su velocidad. La gravedad y el empuje actúan simultáneamente.
Una maniobra real puede comenzar antes del nodo y terminar después, con una dirección de empuje programada. El modelo impulsivo proporciona una estimación y un objetivo para el diseño detallado.
29.18 Calcular un cambio puro con JavaScript
function cambioPlanoPuro(velocidad, anguloGrados) {
if (velocidad < 0 || anguloGrados < 0 || anguloGrados > 180) {
throw new RangeError("Datos fuera de rango");
}
const angulo = anguloGrados * Math.PI / 180;
const deltaV = 2 * velocidad * Math.sin(angulo / 2);
const componenteTangencial = velocidad * (Math.cos(angulo) - 1);
const componenteNormal = velocidad * Math.sin(angulo);
return { deltaV, componenteTangencial, componenteNormal };
}
const maniobra = cambioPlanoPuro(7.5, 30);
console.log("Δv:", maniobra.deltaV.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δvt:", maniobra.componenteTangencial.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δvn:", maniobra.componenteNormal.toFixed(3), "km/s");
console.log("comprobación:", Math.hypot(
maniobra.componenteTangencial,
maniobra.componenteNormal
).toFixed(3), "km/s");29.19 Cambio combinado con JavaScript
function cambioCombinado(v1, v2, anguloGrados) {
const angulo = anguloGrados * Math.PI / 180;
const tangencial = v2 * Math.cos(angulo) - v1;
const normal = v2 * Math.sin(angulo);
const total = Math.hypot(tangencial, normal);
const separado = Math.abs(v2 - v1) + 2 * v2 * Math.sin(angulo / 2);
return { tangencial, normal, total, separado };
}
const resultado = cambioCombinado(4, 3, 25);
console.log("Δvt:", resultado.tangencial.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δvn:", resultado.normal.toFixed(3), "km/s");
console.log("combinado:", resultado.total.toFixed(3), "km/s");
console.log("separado:", resultado.separado.toFixed(3), "km/s");
console.log("ahorro:", (resultado.separado - resultado.total).toFixed(3), "km/s");29.20 Laboratorio interactivo: triángulo de velocidades
Partimos de una órbita circular terrestre. Elegí la altitud, el ángulo entre planos y la rapidez final como fracción de la inicial. El panel muestra los dos planos y el triángulo v⃗₁ + Δv⃗ = v⃗₂.
Δv = √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos Δi) | Δvt = v₂ cos Δi − v₁
El cambio puro rota la velocidad sin modificar su módulo ni la energía cinética.
- Aumentá la altitud: la rapidez circular disminuye y también el costo del mismo ángulo.
- Cambiá v₂: compará un giro puro con una maniobra combinada.
- Aumentá el ángulo: observá la geometría no lineal de la cuerda Δv⃗.
29.21 Estrategias para reducir el costo
- aprovechar un nodo que coincida con una zona de baja rapidez;
- combinar el giro con otro impulso ya necesario;
- realizar parte del cambio durante una transferencia;
- elegir lanzamiento y órbita inicial próximos al plano deseado;
- usar asistencias gravitatorias cuando la arquitectura de misión lo permita.
La opción de menor delta-v puede requerir más tiempo o complejidad operativa.
29.22 Errores frecuentes
- usar Δv = vΔi con el ángulo expresado en grados;
- sumar una componente normal y suponer que la rapidez no cambia;
- realizar el impulso fuera de la intersección con el plano objetivo;
- usar |i₂ − i₁| cuando también cambia la línea de nodos;
- suponer que un cambio de plano cuesta lo mismo en toda la órbita;
- sumar por separado cambios que pueden combinarse vectorialmente;
- ignorar la duración real del encendido.
29.23 Ejercicio propuesto
Un satélite se mueve a 6 km/s y debe cambiar 20° de plano mientras reduce su rapidez a 5 km/s.
- Calculá el delta-v combinado.
- Calculá sus componentes tangencial y normal.
- Compará con realizar primero el frenado y después un cambio puro de 20° a 5 km/s.
Ver solución
Δv = √(6² + 5² − 2 × 6 × 5 cos 20°) ≈ 2,149 km/s.
Δvt = 5 cos 20° − 6 ≈ −1,302 km/s y Δvn = 5 sen 20° ≈ 1,710 km/s. Separar las maniobras costaría 1 + 2 × 5 sen 10° ≈ 2,736 km/s.
const v1 = 6;
const v2 = 5;
const angulo = 20 * Math.PI / 180;
const deltaVt = v2 * Math.cos(angulo) - v1;
const deltaVn = v2 * Math.sin(angulo);
const combinado = Math.hypot(deltaVt, deltaVn);
const separado = Math.abs(v2 - v1) + 2 * v2 * Math.sin(angulo / 2);
console.log("Δvt:", deltaVt.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δvn:", deltaVn.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δv combinado:", combinado.toFixed(3), "km/s");
console.log("Δv separado:", separado.toFixed(3), "km/s");
console.log("ahorro:", (separado - combinado).toFixed(3), "km/s");29.24 Ideas para recordar
- El ángulo entre planos se obtiene comparando sus vectores de momento angular.
- Un cambio instantáneo debe realizarse sobre la intersección de ambos planos.
- Para un giro puro, Δv = 2v sen(Δi/2).
- Los cambios de plano cuestan menos donde la rapidez es menor.
- Un impulso solamente normal también aumenta la rapidez y la energía.
- Los cambios de rapidez y plano pueden combinarse mediante resta vectorial.
- La diferencia de inclinaciones no siempre equivale al ángulo real entre planos.
En el próximo tema estudiaremos la aproximación por cónicas enlazadas y la esfera de influencia para describir viajes entre regiones dominadas por distintos cuerpos.