3. Constante gravitacional G y aceleración gravitatoria g

3.1 Dos símbolos con funciones diferentes

En la ley de gravitación universal apareció la letra mayúscula G. En los problemas de caída libre ya utilizábamos una letra minúscula g. No son dos maneras de escribir la misma cantidad.

G permite relacionar masas, distancias y fuerzas en cualquier sistema newtoniano. En cambio, g resume el efecto gravitatorio producido por un cuerpo en una posición particular.

Usar correctamente mayúsculas, unidades y nombres de variables es especialmente importante al programar: una confusión puede generar resultados incorrectos por muchos órdenes de magnitud sin producir un error de sintaxis.

3.2 G: una constante universal

La constante de gravitación universal aparece en la expresión:

En unidades del Sistema Internacional usaremos:

Dentro del modelo newtoniano, G tiene el mismo valor al calcular la atracción entre la Tierra y una persona, entre el Sol y un planeta o entre dos objetos de laboratorio. No depende de la altura, de las masas elegidas ni del lugar del cálculo.

El número asignado a una constante depende del sistema de unidades. Por eso no alcanza con almacenar 6.67430e-11: debemos documentar que corresponde a N·m²/kg².

3.3 g: una propiedad del lugar estudiado

La aceleración gravitatoria g indica qué aceleración tendría un cuerpo de prueba debido a la gravedad en una posición dada, si no intervinieran otras fuerzas.

Cerca de la superficie terrestre solemos usar g ≈ 9,8 m/s². Es un valor local y aproximado: cambia al alejarnos del centro terrestre y también varía según la masa y el tamaño del astro.

En general, g es vectorial: posee módulo, dirección y sentido. Aquí trabajaremos principalmente con su módulo; en el tema 4 construiremos sus componentes.

3.4 Obtener g a partir de la fuerza gravitatoria

Consideremos un astro de masa M y un cuerpo de prueba de masa m, separados por una distancia r entre sus centros. La ley universal da:

La segunda ley de Newton aplicada al cuerpo de prueba expresa F = ma. Si la única fuerza es la gravitatoria, su aceleración tiene módulo g:

La masa m aparece en ambos miembros y se cancela:

El módulo de g depende de la masa que produce la gravedad y de la posición donde lo evaluamos. No depende de la masa del cuerpo de prueba.

3.5 Por qué la masa de prueba se cancela

Un cuerpo con el doble de masa recibe el doble de fuerza gravitatoria, porque F es proporcional a m. Pero esa misma masa duplica su inercia. Al calcular a = F/m, ambos efectos se compensan.

En un mismo punto, dos cuerpos ideales de masas diferentes adquieren la misma aceleración gravitatoria si podemos despreciar otras fuerzas. Eso no significa que reciban la misma fuerza: el cuerpo más masivo recibe una fuerza mayor.

Dentro de una atmósfera, la resistencia del aire puede producir aceleraciones diferentes. Eso no contradice la cancelación anterior porque entonces la gravedad no es la única fuerza.

3.6 Unidades equivalentes para g

Comprobemos las unidades de g = GM/r²:

Como 1 N = 1 kg·m/s²:

Por eso el campo gravitatorio puede expresarse en N/kg y la aceleración gravitatoria en m/s². Numéricamente son equivalentes, aunque cada escritura destaca una interpretación:

• N/kg: fuerza gravitatoria por unidad de masa de prueba;
• m/s²: aceleración que adquiriría un cuerpo en caída libre.

3.7 Cómo influyen la masa y el radio de un astro

En la superficie ideal de un astro esférico, la distancia al centro es su radio R:

Una masa mayor tiende a producir más gravedad, mientras que un radio mayor sitúa la superficie más lejos del centro y reduce la gravedad. No alcanza con saber que un astro «tiene más masa»: también necesitamos su radio.

Si dos astros tienen la misma masa pero uno posee el doble de radio, la gravedad superficial del segundo es la cuarta parte. Si tienen el mismo radio pero uno posee el triple de masa, su gravedad superficial es triple.

3.8 g cambia con la distancia

Fuera de un cuerpo esférico ideal, al aumentar r disminuye el módulo de g según el inverso del cuadrado. Si usamos la altura h sobre la superficie:

En la superficie, h = 0 y recuperamos GM/R². A una altura igual al radio, r = 2R y el valor se reduce a la cuarta parte.

El símbolo g no debería utilizarse como si siempre valiera 9,8. Ese valor es útil cerca de la superficie terrestre; para una órbita, debe recalcularse en cada posición.

3.9 Ejemplo resuelto: calcular g terrestre

Adoptemos una masa terrestre M = 5,972 × 10²⁴ kg y un radio R = 6,371 × 10⁶ m.

El resultado es cercano al valor aproximado de 9,81 m/s² usado en problemas introductorios. Los datos representan una Tierra idealizada; el valor local real no es idéntico en todos los puntos.

No fue necesario indicar la masa de un objeto que cae. Una vez calculado g para ese lugar, la fuerza sobre un objeto de masa m se obtiene mediante F = mg.

3.10 g, fuerza gravitatoria y peso

El peso es la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo. En un punto donde la aceleración gravitatoria es g, su módulo es:

Para una persona de 70 kg donde g = 9,81 m/s², el peso es aproximadamente 686,7 N. La masa sigue siendo 70 kg si la persona viaja a otro astro, pero su peso cambia porque cambia g.

No debemos confundir peso con la lectura de cualquier balanza. Una balanza suele medir una fuerza de contacto y puede indicar cero durante una caída libre aunque la gravedad continúe actuando. El peso aparente se estudiará en el tema 10.

3.11 Representar G y g en JavaScript

Conviene reservar nombres diferentes y anexar unidades:

const G_N_M2_POR_KG2 = 6.67430e-11;

function gravedadMps2(masaAstroKg, distanciaCentroM) {
  if (masaAstroKg <= 0 || distanciaCentroM <= 0) {
    throw new RangeError("Masa y distancia deben ser positivas");
  }
  return G_N_M2_POR_KG2 * masaAstroKg / distanciaCentroM ** 2;
}

function pesoN(masaObjetoKg, gravedadLocalMps2) {
  return masaObjetoKg * gravedadLocalMps2;
}

const masaTierraKg = 5.972e24;
const radioTierraM = 6.371e6;
const gSuperficieMps2 = gravedadMps2(masaTierraKg, radioTierraM);

console.log("g:", gSuperficieMps2.toFixed(3), "m/s²");
console.log("Peso de 70 kg:", pesoN(70, gSuperficieMps2).toFixed(1), "N");

El programa muestra aproximadamente g: 9.820 m/s² y Peso de 70 kg: 687.4 N. G se almacena una vez; g es un resultado calculado para una masa y una distancia.

3.12 Comparar astros mediante razones

Si conocemos la gravedad superficial de un astro de referencia, podemos comparar otro sin volver a usar explícitamente G. Respecto de la Tierra:

Un planeta ideal con el doble de masa terrestre y 1,5 veces su radio tendría:

Aunque tiene más masa, su superficie está más lejos del centro. Su gravedad superficial sería aproximadamente el 88,9 % de la terrestre.

function gravedadRelativa(masaEnTierras, radioEnTierras) {
  return masaEnTierras / radioEnTierras ** 2;
}

const proporcion = gravedadRelativa(2, 1.5);
console.log((proporcion * 100).toFixed(1), "% de la gravedad terrestre");
console.log((9.81 * proporcion).toFixed(2), "m/s²");

3.13 Laboratorio interactivo: de G a g y al peso

Elegí un astro idealizado, modificá la altura y cambiá la masa del objeto. El laboratorio calcula g = GM/r² y luego P = mg. Los controles de masa y radio usan escalas logarítmicas.

La flecha representa la aceleración dirigida hacia el centro. El radio visual y la separación no están a escala. Los botones usan valores medios aproximados dentro de un modelo esférico.

• Cambiá solo la masa del objeto: su peso cambia, pero g permanece igual.
• Aumentá la altura: G no cambia y g disminuye.
• Compará Tierra y Marte: masa y radio participan simultáneamente.
• Revisá las fuerzas: mg y GMm/r² coinciden salvo por el redondeo mostrado.

3.14 Errores frecuentes

• Escribir G = 9,81: 9,81 m/s² es un valor aproximado de g terrestre.
• Tratar g como constante universal: cambia con el astro y con la posición.
• Asignar a G unidades de aceleración: sus unidades SI son N·m²/kg².
• Incluir la masa de prueba en g = GM/r²: esa masa se canceló.
• Concluir que la fuerza no depende del objeto: g no depende de su masa, pero el peso mg sí.
• Usar la altura en lugar de r: fuera de la superficie se emplea r = R + h.
• Confundir módulo y vector: una aceleración aún necesita dirección y sentido.

3.15 Ejercicio propuesto

Un planeta esférico ideal tiene dos veces la masa terrestre y 1,5 veces el radio terrestre. Adoptá g_T = 9,81 m/s².

1. Calculá su gravedad superficial como proporción de la terrestre.
2. Calculá el valor de g en su superficie.
3. Calculá el peso de un explorador de 75 kg.
4. Calculá g a una altura igual al radio del planeta.
5. Indicá qué cantidades cambiaron y cuál permaneció universal.

const gTierraMps2 = 9.81;
const masaRelativa = 2;
const radioRelativo = 1.5;
const masaExploradorKg = 75;

const gSuperficieMps2 = gTierraMps2
  * masaRelativa / radioRelativo ** 2;
const pesoN = masaExploradorKg * gSuperficieMps2;
const gAlturaUnRadioMps2 = gSuperficieMps2 / 2 ** 2;

console.log("g superficial:", gSuperficieMps2.toFixed(2), "m/s²");
console.log("Peso:", pesoN.toFixed(0), "N");
console.log("g a altura R:", gAlturaUnRadioMps2.toFixed(2), "m/s²");

3.16 Ideas para recordar

• G es una constante universal; g es una aceleración gravitatoria local.
• Sus valores, significados y unidades son diferentes.
• Para un cuerpo esférico ideal y un punto exterior, g = GM/r².
• La masa de prueba se cancela al calcular la aceleración, pero aparece al calcular el peso.
• g puede expresarse en m/s² o N/kg.
• La gravedad superficial depende tanto de la masa como del radio del astro.
• En un programa, G suele ser una constante y g un valor calculado.

En el próximo tema expresaremos la fuerza gravitatoria como vector, construiremos su dirección a partir de posiciones y evitaremos errores de signo al programar sus componentes.