30. Aproximación por cónicas enlazadas y esfera de influencia

30.1 El problema de varios cuerpos

Una nave que viaja entre planetas recibe simultáneamente la gravedad del Sol, de los planetas y de otros cuerpos. El problema general de varios cuerpos no posee una solución kepleriana cerrada.

Para obtener una primera trayectoria útil se divide el viaje en regiones. Dentro de cada región se conserva solamente la atracción del cuerpo dominante y el movimiento vuelve a ser una cónica de dos cuerpos.

30.2 Qué son las cónicas enlazadas

La aproximación por cónicas enlazadas —patched conics— representa una misión mediante arcos independientes:

1. una hipérbola de escape alrededor del planeta de partida;
2. una elipse o hipérbola heliocéntrica de transferencia;
3. una hipérbola de llegada alrededor del planeta de destino.

Las curvas se enlazan en fronteras idealizadas llamadas esferas de influencia.

30.3 La esfera de influencia de Laplace

Para un cuerpo secundario de masa m, semieje mayor a y primario de masa M, el radio aproximado es:

Dentro de esta esfera se modela la nave respecto del cuerpo secundario. Fuera de ella se utiliza el cuerpo primario. La frontera no es una pared física y la gravedad no cambia bruscamente allí.

30.4 Ejemplo: esfera de influencia terrestre

La Tierra orbita al Sol a unos 149,6 millones de kilómetros y su cociente de masas es aproximadamente 3,003 × 10⁻⁶:

Este radio equivale a unas 145 veces el radio terrestre. Su tamaño es pequeño comparado con la órbita de la Tierra alrededor del Sol.

30.5 Esfera de Hill y esfera de influencia

La aproximación de Hill para una órbita casi circular es:

No es la misma magnitud que r_SOI. La esfera de Hill se relaciona con la región donde pueden existir órbitas ligadas frente a la perturbación del primario; la esfera de influencia de Laplace se usa para elegir el marco dominante en cónicas enlazadas.

30.6 Cambiar el origen, no la realidad

Al atravesar la esfera de influencia no se aplica ningún impulso. Solo cambia la descripción matemática:

La posición y la velocidad físicas son continuas. La aparente discontinuidad surge porque se reemplaza un modelo gravitatorio por otro.

30.7 Velocidad de exceso hiperbólico

Lejos del planeta, la velocidad planetocéntrica sobre una hipérbola tiende a un valor finito denominado velocidad de exceso hiperbólico:

El vector v⃗_∞ conecta el arco heliocéntrico con la hipérbola planetocéntrica. Su módulo y dirección son ambos esenciales.

30.8 Energía característica C3

La energía orbital específica de una trayectoria hiperbólica planetocéntrica es positiva:

C3 se expresa normalmente en km²/s² y caracteriza la energía requerida al sistema de lanzamiento. No es una velocidad, aunque su raíz tenga unidades de velocidad.

30.9 Rapidez en el periapsis hiperbólico

La conservación de la energía entre el infinito y el periapsis de radio r_p da:

El término √(2μ/r_p) es la velocidad de escape local. La gravedad acelera la nave al aproximarse al planeta, de modo que v_p supera tanto a v_∞ como a la velocidad de escape.

30.10 Escape desde una órbita de estacionamiento

Si la nave parte de una órbita circular de radio r_p, su rapidez inicial es v_c = √(μ/r_p). El impulso ideal de inyección es:

Esta expresión muestra el efecto Oberth: producir la energía hiperbólica mediante un impulso cerca del planeta resulta más eficiente que agregar la misma rapidez lejos de él.

30.11 Geometría de la hipérbola

Con v_∞, r_p y μ pueden determinarse los parámetros principales:

δ es el ángulo total entre las asíntotas de entrada y salida. Una aproximación más cercana o un v_∞ menor produce una desviación mayor.

30.12 Parámetro de impacto

El parámetro de impacto b es la distancia perpendicular que tendría la asíntota respecto del centro sin desviación gravitatoria:

No debe confundirse con la altitud de periapsis. La relación entre ambos permite apuntar una llegada hiperbólica o diseñar una asistencia gravitatoria.

30.13 Secuencia de una salida interplanetaria

1. Se diseña la transferencia heliocéntrica y se obtiene la velocidad requerida en la posición del planeta.
2. Se resta vectorialmente la velocidad heliocéntrica del planeta para hallar v⃗_∞.
3. Con ese vector se orienta la asíntota de escape planetocéntrica.
4. Se elige una órbita de estacionamiento y se calcula la inyección hiperbólica.

El orden lógico va desde la geometría heliocéntrica hacia la maniobra próxima al planeta.

30.14 Secuencia de una llegada

En el destino se resta la velocidad del planeta a la velocidad heliocéntrica de llegada. El resultado determina la asíntota entrante y v_∞.

Sin una maniobra, rozamiento atmosférico o interacción adicional, la nave vuelve a salir con el mismo v_∞. Para quedar capturada debe reducir su energía específica desde un valor positivo hasta uno negativo.

30.15 El enlace de velocidades es vectorial

No basta restar módulos. Si la nave y el planeta poseen velocidades heliocéntricas con un ángulo α:

Dos trayectorias con igual rapidez heliocéntrica pueden producir excesos hiperbólicos muy diferentes según su dirección.

30.16 Calcular una esfera de influencia con JavaScript

function esferaInfluencia(semiejeKm, masaSecundario, masaPrimario) {
  if (semiejeKm <= 0 || masaSecundario <= 0 || masaPrimario <= 0) {
    throw new RangeError("Todos los datos deben ser positivos");
  }
  const laplace = semiejeKm * (masaSecundario / masaPrimario) ** (2 / 5);
  const hill = semiejeKm * (masaSecundario / (3 * masaPrimario)) ** (1 / 3);
  return { laplace, hill };
}

const tierra = esferaInfluencia(149597870.7, 5.9722e24, 1.9885e30);
console.log("SOI de Laplace:", tierra.laplace.toFixed(0), "km");
console.log("radio de Hill:", tierra.hill.toFixed(0), "km");
console.log("relación Hill/SOI:", (tierra.hill / tierra.laplace).toFixed(3));

30.17 Enlazar velocidades con JavaScript

function restarVectores(a, b) {
  return a.map((valor, indice) => valor - b[indice]);
}

function modulo(vector) {
  return Math.hypot(...vector);
}

// Componentes heliocéntricas en km/s.
const velocidadNave = [21.5, 24.0, 0.8];
const velocidadMarte = [18.2, 16.0, 0.0];
const exceso = restarVectores(velocidadNave, velocidadMarte);

console.log("v∞ vectorial:", exceso.map(v => v.toFixed(2)), "km/s");
console.log("|v∞|:", modulo(exceso).toFixed(3), "km/s");
console.log("C3:", modulo(exceso) ** 2, "km²/s²");

30.18 Laboratorio: del límite de influencia al periapsis

Seleccioná un cuerpo y modificá v_∞ y la altitud de periapsis. La vista izquierda compara el tamaño del cuerpo con su esfera de influencia; la derecha representa la desviación hiperbólica.

30.19 Cuándo funciona bien la aproximación

Las cónicas enlazadas son muy útiles para estimaciones iniciales, análisis de oportunidades, presupuestos de delta-v y generación de una trayectoria de partida para métodos numéricos.

Funcionan mejor cuando un solo cuerpo domina claramente cada arco y los encuentros son relativamente breves frente al período orbital heliocéntrico.

30.20 Limitaciones del modelo

• ignora la atracción simultánea de los demás cuerpos en cada región;
• trata la frontera de influencia como una esfera y un cambio instantáneo;
• no reproduce perturbaciones acumuladas durante trayectos largos;
• simplifica órbitas planetarias, efemérides y orientación tridimensional;
• no incluye presión de radiación, achatamiento, atmósfera ni empuje finito.

Una misión real se refina integrando numéricamente todas las aceleraciones relevantes.

30.21 Errores frecuentes

• interpretar la esfera de influencia como una frontera gravitatoria real;
• sumar o restar módulos de velocidad en lugar de vectores;
• confundir v_∞ con la rapidez en el periapsis;
• confundir C3 con energía total o con delta-v;
• usar masas, distancias o μ en unidades incompatibles;
• utilizar la fórmula de Hill como si fuera idéntica a la de Laplace;
• suponer que cruzar la SOI requiere un encendido.

30.22 Ejercicio propuesto

Una nave llega a Marte con v_∞ = 2,6 km/s y pasa por un periapsis a 300 km de altitud. Usá μ = 42.828 km³/s² y R = 3.389,5 km.

1. Calculá el radio de periapsis.
2. Calculá la rapidez en el periapsis.
3. Calculá C3 y la excentricidad hiperbólica.

const mu = 42828;       // km³/s²
const radio = 3389.5;   // km
const altitud = 300;    // km
const vinf = 2.6;       // km/s
const periapsis = radio + altitud;
const velocidadPeriapsis = Math.sqrt(vinf ** 2 + 2 * mu / periapsis);
const c3 = vinf ** 2;
const excentricidad = 1 + periapsis * c3 / mu;

console.log("radio de periapsis:", periapsis.toFixed(1), "km");
console.log("velocidad de periapsis:", velocidadPeriapsis.toFixed(3), "km/s");
console.log("C3:", c3.toFixed(3), "km²/s²");
console.log("excentricidad:", excentricidad.toFixed(3));

30.23 Procedimiento de cálculo recomendado

1. Definir cuerpos, época, unidades y marcos de referencia.
2. Resolver primero el arco interplanetario heliocéntrico.
3. Obtener v⃗_∞ mediante una resta vectorial en cada encuentro.
4. Construir las hipérbolas planetocéntricas compatibles con esas asíntotas.
5. Calcular maniobras de salida, captura o sobrevuelo.
6. Usar la solución enlazada como condición inicial de una integración de mayor fidelidad.

30.24 Ideas para recordar

• Las cónicas enlazadas sustituyen un problema complejo por varios problemas de dos cuerpos.
• La esfera de influencia indica dónde resulta conveniente cambiar el cuerpo central del modelo.
• Cruzar esa frontera no causa un impulso ni una discontinuidad física.
• v⃗_∞ surge de restar velocidades heliocéntricas vectorialmente.
• C3 = v_∞² caracteriza la energía hiperbólica.
• La gravedad aumenta la rapidez desde v_∞ hasta el periapsis.
• El modelo es una primera aproximación que luego debe refinarse numéricamente.

En el próximo tema estudiaremos las fuerzas de marea como diferencias del campo gravitatorio entre distintos puntos de un cuerpo o sistema.