31. Fuerzas de marea como diferencias del campo gravitatorio

31.1 Un cuerpo puntual no experimenta mareas

El modelo de partícula concentra toda la masa en una posición. Como no posee extensión, solo necesita el valor del campo gravitatorio en ese punto.

Un planeta, una luna o una nave grande ocupan una región del espacio. El lado próximo al cuerpo atractor recibe una aceleración ligeramente distinta de la que actúa sobre el centro y el lado lejano.

31.2 Campo gravitatorio no uniforme

Para una masa esférica con parámetro μ = GM, el módulo del campo a distancia r es:

La función disminuye con la distancia. Por eso dos puntos separados, aunque estén cayendo hacia la misma masa, no siguen exactamente la misma aceleración.

31.3 La marea es una diferencia

Tomemos el centro de un cuerpo como referencia en caída libre. La aceleración de marea de un punto desplazado ρ⃗ es:

Restar la aceleración del centro elimina la caída común. Lo que queda describe el movimiento relativo que puede deformar el cuerpo.

31.4 Lado próximo y lado lejano

Si un cuerpo de radio R está a distancia d de la masa atractora, los módulos sobre el eje son:

Respecto del centro, ambos extremos tienden a separarse: el próximo cae más y el lejano cae menos.

31.5 Aproximación para cuerpos pequeños

Cuando R ≪ d, podemos linealizar el campo usando su derivada:

Esta es la aceleración diferencial aproximada entre el centro y uno de los extremos radiales. Entre ambos extremos es aproximadamente 4μR/d³.

31.6 La dependencia 1/d³

La gravedad puntual disminuye como 1/d², pero su gradiente disminuye como 1/d³. Si la distancia se duplica, una aceleración de marea comparable cae aproximadamente a la octava parte.

Por eso un cuerpo menos masivo pero mucho más cercano puede producir mareas importantes.

31.7 Ejemplo Tierra–Luna

Con μ lunar ≈ 4,903 × 10¹² m³/s², distancia d ≈ 3,844 × 10⁸ m y radio terrestre R ≈ 6,371 × 10⁶ m:

Es una aceleración diminuta frente a la gravedad superficial terrestre, pero actúa de manera coherente sobre océanos, corteza y atmósfera.

31.8 Por qué el Sol también produce mareas

El Sol atrae a la Tierra con mucha más fuerza que la Luna, pero está muchísimo más lejos. Para comparar mareas usamos M/d³ y no M/d².

La marea solar sobre la Tierra tiene cerca de la mitad de la intensidad lunar. La alineación entre ambas origina mareas vivas; una geometría cercana al ángulo recto origina mareas muertas.

31.9 Forma vectorial lineal

Sea n̂ el vector unitario desde el cuerpo atractivo hacia el centro del objeto y ρ⃗ un desplazamiento pequeño respecto del centro. El campo diferencial lineal es:

Esta expresión permite estudiar puntos que no están sobre la línea que une los centros.

31.10 Estiramiento radial

Para un desplazamiento paralelo a n̂, se cumple (n̂ · ρ⃗)n̂ = ρ⃗. Entonces:

La aceleración relativa apunta alejándose del centro del objeto en ambos extremos del eje radial: el cuerpo se estira en dirección al atractor.

31.11 Compresión transversal

Para un desplazamiento perpendicular a n̂, el producto escalar es cero:

Ahora la aceleración apunta hacia el eje radial. El mismo campo que estira en una dirección comprime en las dos direcciones transversales.

31.12 El tensor de marea

La transformación lineal puede escribirse como a⃗_marea = Tρ⃗, donde:

En ejes alineados con la dirección radial, sus valores propios son +2μ/d³, −μ/d³ y −μ/d³. Su suma es cero fuera de la masa, de acuerdo con la ecuación de Laplace para el potencial gravitatorio.

31.13 Mareas en una nave y gradiente gravitatorio

Una nave alargada en órbita siente aceleraciones diferentes entre sus extremos. El gradiente puede producir tensiones estructurales y un torque que favorece cierta orientación.

Los satélites estabilizados por gradiente gravitatorio aprovechan ese torque pasivamente, colocando su eje de menor momento de inercia aproximadamente hacia el centro del planeta.

31.14 Mareas, calor y evolución orbital

Si el cuerpo se deforma con retraso respecto de la dirección instantánea del atractor, parte de la energía mecánica se disipa como calor. Esto puede modificar rotación y órbita.

El acoplamiento de marea explica la rotación síncrona de muchas lunas y contribuye al calentamiento interno de mundos como Ío. Estos efectos requieren modelos de deformación y disipación, no solo el campo instantáneo.

31.15 Límite de Roche

Si la marea supera la autogravedad y cohesión de un satélite, puede fragmentarlo. Para un satélite fluido de densidad ρ_s alrededor de un primario de radio R_p y densidad ρ_p:

El coeficiente depende de si el satélite es fluido o rígido, de su rotación y de su resistencia material. No existe un único límite universal para todos los cuerpos.

31.16 Diferencia exacta y aproximada con JavaScript

function mareaRadial(mu, distancia, radio) {
  if (radio <= 0 || distancia <= radio) {
    throw new RangeError("La distancia debe superar al radio");
  }
  const centro = mu / distancia ** 2;
  const proximo = mu / (distancia - radio) ** 2;
  const lejano = mu / (distancia + radio) ** 2;
  const aproximada = 2 * mu * radio / distancia ** 3;
  return { centro, diferenciaProxima: proximo - centro,
    diferenciaLejana: centro - lejano, aproximada };
}

const resultado = mareaRadial(4.9028e12, 384400e3, 6371e3);
console.log("lado próximo:", resultado.diferenciaProxima.toExponential(3), "m/s²");
console.log("lado lejano:", resultado.diferenciaLejana.toExponential(3), "m/s²");
console.log("aproximación:", resultado.aproximada.toExponential(3), "m/s²");

31.17 Campo vectorial de marea con JavaScript

function aceleracionMarea(mu, distancia, posicion) {
  // El eje x apunta hacia el cuerpo atractivo.
  const factor = mu / distancia ** 3;
  const [x, y, z] = posicion;
  return [2 * factor * x, -factor * y, -factor * z];
}

const muLuna = 4.9028e12;
const distancia = 384400e3;
const punto = [6371e3, 2000e3, 0];
const aceleracion = aceleracionMarea(muLuna, distancia, punto);

console.log("ax:", aceleracion[0].toExponential(3), "m/s²");
console.log("ay:", aceleracion[1].toExponential(3), "m/s²");
console.log("|a|:", Math.hypot(...aceleracion).toExponential(3), "m/s²");

31.18 Laboratorio: visualizar el campo diferencial

Elegí un sistema y modificá la distancia y el tamaño del cuerpo afectado. Las flechas muestran la aceleración después de restar la caída común del centro.

31.19 Qué revela el laboratorio

• al reducir la distancia, la marea crece aproximadamente con el cubo inverso;
• al duplicar el radio del objeto, la diferencia entre centro y extremo casi se duplica;
• la aproximación lineal pierde precisión cuando el tamaño deja de ser pequeño frente a la distancia;
• la aceleración diferencial puede ser pequeña aunque el campo central sea enorme.

31.20 Del modelo lineal a una simulación

Para un objeto pequeño basta aplicar el tensor de marea a partículas cercanas al centro. Para extensiones mayores conviene calcular el campo exacto en cada partícula:

Luego deben incorporarse fuerzas internas, colisiones, elasticidad o autogravedad según el fenómeno que se quiera representar.

31.21 Errores frecuentes

• usar el campo μ/d² como si fuera la fuerza de marea;
• analizar solo el lado próximo y olvidar el lado lejano;
• pensar que la protuberancia lejana aparece porque allí la gravedad apunta hacia afuera;
• usar 1/d² en una comparación de gradientes;
• aplicar 2μR/d³ cuando R no es pequeño frente a d;
• ignorar la compresión en las direcciones transversales;
• tratar el límite de Roche como una frontera exacta para objetos rígidos.

31.22 Ejercicio propuesto

Dos extremos de una nave de 200 m están alineados radialmente. Su centro se encuentra a 7.000 km del centro terrestre. Usá μ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².

1. Calculá la diferencia aproximada de aceleración entre el centro y cada extremo.
2. Calculá la diferencia aproximada entre ambos extremos.
3. Indicá qué ocurre si la distancia orbital se duplica.

const mu = 3.986e14;
const distancia = 7000e3;
const longitud = 200;
const semilongitud = longitud / 2;
const centroAExtremo = 2 * mu * semilongitud / distancia ** 3;
const extremoAExtremo = 2 * centroAExtremo;

console.log("centro a extremo:", centroAExtremo.toExponential(3), "m/s²");
console.log("entre extremos:", extremoAExtremo.toExponential(3), "m/s²");
console.log("al duplicar distancia:", (extremoAExtremo / 8).toExponential(3), "m/s²");

31.23 Estrategia de implementación

1. Calcular la aceleración del centro de masa.
2. Calcular el campo en cada punto o usar el tensor si la extensión es pequeña.
3. Restar la aceleración del centro para obtener el movimiento relativo.
4. Integrar las partículas junto con las fuerzas internas del objeto.
5. Verificar convergencia reduciendo el paso temporal y aumentando la resolución espacial.

31.24 Ideas para recordar

• La marea es la diferencia del campo gravitatorio entre posiciones cercanas.
• En el marco del centro se resta la aceleración común de caída libre.
• Para una masa puntual, el gradiente característico varía como μ/d³.
• El campo estira radialmente y comprime transversalmente.
• El tensor de marea resume la respuesta lineal en tres dimensiones.
• La disipación de deformaciones puede intercambiar energía entre rotación y órbita.
• El límite de Roche depende de densidad, estructura, rotación y resistencia.

En el próximo tema pasaremos del problema de dos cuerpos al problema de N cuerpos, donde todas las masas pueden interactuar simultáneamente.