33. Escalas, unidades y sistemas de coordenadas para simulaciones orbitales

33.1 Antes de programar: fijar convenciones

Una simulación debe declarar por escrito sus unidades de longitud, masa y tiempo; el origen; la orientación de los ejes; el sentido positivo de los ángulos y el marco de referencia.

Estas decisiones no son detalles de presentación. Determinan cómo interpretar cada número almacenado y cada operación vectorial.

33.2 Coherencia dimensional

En la aceleración gravitatoria:

Si r se expresa en metros y el tiempo en segundos, μ debe estar en m³/s² y el resultado queda en m/s². Con r en kilómetros, μ debe estar en km³/s².

33.3 Sistema Internacional

El SI usa metros, kilogramos y segundos. Para la Tierra:

Su ventaja es la compatibilidad directa con la mayoría de magnitudes físicas. Su desventaja práctica es trabajar con números muy grandes para distancias astronómicas y muy pequeños para algunas perturbaciones.

33.4 Kilómetros y segundos

En astrodinámica es habitual usar kilómetros y segundos:

Como 1 km³ = 10⁹ m³, el valor numérico de μ se divide por 10⁹ al pasar de metros a kilómetros. Las velocidades pasan de m/s a km/s dividiendo por 1.000.

33.5 El error silencioso más común

Si se usa r = 7.000 km con μ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s², JavaScript no detectará el problema: ambos son números sin información de unidad.

La aceleración calculada será mil millones de veces mayor que la correcta. Conviene convertir todo al ingresar los datos y mantener un único sistema dentro del núcleo físico.

33.6 Unidades angulares

Las funciones trigonométricas de JavaScript reciben radianes:

Guardar ángulos internamente en radianes evita conversiones repetidas. Los grados pueden reservarse para la interfaz y los informes.

33.7 Notación científica y precisión

JavaScript utiliza números IEEE 754 de doble precisión. Ofrecen unas 15 o 16 cifras decimales significativas, suficientes para muchas simulaciones educativas y orbitales.

La precisión es relativa: al sumar una corrección diminuta a una coordenada enorme pueden perderse cifras. Elegir un origen cercano o usar variables relativas mejora la resolución numérica.

33.8 Escalas características

Podemos elegir una longitud L₀, una masa M₀ y un tiempo T₀. Las variables sin dimensión son:

Los primos representan números normalizados, normalmente cercanos a la unidad.

33.9 Elegir una escala temporal natural

Para un cuerpo central con parámetro μ₀ y longitud L₀, una elección útil es:

Con esta definición, μ′ = μ₀T₀²/L₀³ = 1. La velocidad natural es V₀ = L₀/T₀ = √(μ₀/L₀).

33.10 Ejemplo de unidades terrestres canónicas

Si L₀ es el radio terrestre 6.378,1 km y μ₀ = 398.600,4 km³/s²:

Una órbita circular en r′ = 1 tiene v′ = 1 y período P′ = 2π.

33.11 Unidades astronómicas

Para un sistema heliocéntrico puede elegirse L₀ = 1 UA y M₀ = 1 masa solar. Si el tiempo se mide en años, el parámetro solar numérico es aproximadamente 4π² UA³/año².

Si se elige T₀ = √(UA³/μ_Sol), entonces μ′ = 1 y T₀ equivale a un año dividido por 2π. Ambas convenciones son válidas, pero no deben mezclarse.

33.12 Coordenadas cartesianas

El estado cartesiano se expresa como (x, y, z, v_x, v_y, v_z). Es la forma más directa para integrar ecuaciones vectoriales y sumar fuerzas.

Los elementos orbitales son excelentes para describir una órbita, pero presentan singularidades y no reemplazan siempre al estado cartesiano durante la integración.

33.13 Coordenadas polares y esféricas

En el plano:

Math.atan2(y, x) conserva el cuadrante y maneja x = 0. Usar Math.atan(y / x) puede devolver un ángulo ambiguo o indefinido.

33.14 Sistema de ejes y orientación

Un sistema cartesiano debe indicar si es dextrógiro: x̂ × ŷ = ẑ. También debe definir el plano de referencia y la dirección del eje x.

En Canvas, el eje vertical de píxeles crece hacia abajo. Para dibujar un plano físico con y hacia arriba suele usarse y_pantalla = y_centro − escala · y_física.

33.15 Marco inercial y marco trasladado

Un marco inercial no rota ni acelera. Trasladar el origen con posición R⃗ y velocidad V⃗ produce:

Si el nuevo origen acelera, el marco deja de ser inercial y deben incorporarse fuerzas aparentes para escribir allí las ecuaciones de movimiento.

33.16 Marco baricéntrico

En un sistema aislado es conveniente restar la posición y la velocidad del centro de masa. Así el baricentro permanece cerca del origen y se evita representar una traslación global irrelevante.

El marco baricéntrico no significa que el cuerpo más masivo esté inmóvil: todos los cuerpos orbitan alrededor del centro de masa común.

33.17 Rotar coordenadas

Para expresar un vector plano en ejes girados un ángulo θ respecto del marco original:

Esta es una rotación pasiva de los ejes. Rotar físicamente el vector usa la matriz con el signo contrario; distinguir ambas operaciones evita inversiones.

33.18 Velocidad en un marco rotante

No alcanza con rotar las componentes de velocidad. Si el marco gira con velocidad angular ω⃗:

El término ω⃗ × r⃗ explica por qué un punto fijo en el marco inercial parece moverse desde los ejes rotantes.

33.19 Convertir y normalizar con JavaScript

const unidades = {
  kmAMetros: valor => valor * 1000,
  metrosAKm: valor => valor / 1000,
  gradosARadianes: valor => valor * Math.PI / 180
};

function escalasCanonicas(longitud, mu) {
  const tiempo = Math.sqrt(longitud ** 3 / mu);
  return { longitud, tiempo, velocidad: longitud / tiempo };
}

const tierra = escalasCanonicas(6378.1, 398600.4);
console.log("T₀:", tierra.tiempo.toFixed(2), "s");
console.log("V₀:", tierra.velocidad.toFixed(4), "km/s");
console.log("45°:", unidades.gradosARadianes(45).toFixed(6), "rad");

33.20 Transformar un estado con JavaScript

function estadoEnMarcoRotante(estado, angulo, omega) {
  const c = Math.cos(angulo), s = Math.sin(angulo);
  const velocidadRelativa = {
    x: estado.vx + omega * estado.y,
    y: estado.vy - omega * estado.x
  };
  return {
    x: c * estado.x + s * estado.y,
    y: -s * estado.x + c * estado.y,
    vx: c * velocidadRelativa.x + s * velocidadRelativa.y,
    vy: -s * velocidadRelativa.x + c * velocidadRelativa.y
  };
}

const estado = { x: 7000, y: 0, vx: 0, vy: 7.5 };
const rotante = estadoEnMarcoRotante(estado, Math.PI / 6, 0.001);
console.log(rotante);

33.21 Laboratorio: una órbita, varias representaciones

El estado corresponde a una órbita circular terrestre. Modificá la altitud, la anomalía y la orientación de un sistema de ejes girado. Luego alterná las unidades sin cambiar la situación física.

33.22 Ejercicio propuesto

Un estado terrestre tiene r = 7.000 km y rapidez v = 7,5 km/s. Usá L₀ = 6.378,1 km y μ = 398.600,4 km³/s².

1. Calculá T₀ y V₀.
2. Convertí r y v a unidades canónicas.
3. Comprobá el valor de μ′.

const longitud0 = 6378.1;
const mu = 398600.4;
const tiempo0 = Math.sqrt(longitud0 ** 3 / mu);
const velocidad0 = longitud0 / tiempo0;
const radioNormalizado = 7000 / longitud0;
const velocidadNormalizada = 7.5 / velocidad0;
const muNormalizado = mu * tiempo0 ** 2 / longitud0 ** 3;

console.log("T₀:", tiempo0.toFixed(2), "s");
console.log("V₀:", velocidad0.toFixed(4), "km/s");
console.log("r′:", radioNormalizado.toFixed(4));
console.log("v′:", velocidadNormalizada.toFixed(4));
console.log("μ′:", muNormalizado.toFixed(6));

33.23 Errores frecuentes

• combinar kilómetros con un μ expresado en metros cúbicos;
• pasar grados directamente a Math.sin o Math.cos;
• transformar la posición pero no la velocidad;
• olvidar el término ω⃗ × r⃗ en un marco rotante;
• confundir una rotación activa del vector con una rotación pasiva de ejes;
• dibujar y física con el mismo signo vertical de Canvas;
• mostrar pocas cifras y usar ese valor redondeado para continuar el cálculo.

33.24 Ideas para recordar

• Todo número físico necesita una unidad y un marco de referencia.
• El núcleo de la simulación debe usar un sistema de unidades único.
• Normalizar mantiene las variables cerca de uno y puede mejorar el cálculo.
• La escala T₀ = √(L₀³/μ₀) hace μ′ = 1.
• Las coordenadas cartesianas son prácticas para integrar y sumar fuerzas.
• Un cambio de marco debe transformar posición y velocidad coherentemente.
• Una representación distinta no cambia el estado físico ni sus invariantes.

En el próximo tema aprenderemos a representar cuerpos y calcular aceleraciones gravitatorias con JavaScript.