36. Verificar la simulación con energía, momento angular y leyes de Kepler

36.1 Verificar no es solamente observar

Una órbita puede parecer elíptica mientras su energía deriva lentamente, su período es incorrecto o el plano rota sin causa física. El dibujo es una inspección útil, pero no una prueba suficiente.

Debemos calcular magnitudes independientes y compararlas con propiedades conocidas del modelo.

36.2 Verificación y validación

Verificar pregunta si resolvemos correctamente las ecuaciones elegidas. Validar pregunta si esas ecuaciones representan adecuadamente el sistema real.

Conservar energía en un modelo de dos cuerpos verifica parte del algoritmo, pero no valida una misión que omite atmósfera, achatamiento o perturbaciones relevantes.

36.3 Energía orbital específica

En el problema de dos cuerpos:

Si no existen impulsos ni perturbaciones, ε debe permanecer constante. Usar energía específica evita multiplicar por la masa de la partícula.

36.4 La energía clasifica la órbita

• ε < 0: elipse o círculo;
• ε = 0: parábola ideal;
• ε > 0: hipérbola.

Si una simulación ligada cambia lentamente de ε negativa a positiva sin una causa física, existe una deriva numérica grave.

36.5 Error absoluto y relativo

Para comparar con el valor inicial ε₀:

El cociente es adimensional y permite comparar escalas. Cerca de ε₀ = 0 conviene usar un error absoluto normalizado con otra energía característica.

36.6 Oscilación frente a deriva

Un error acotado puede oscilar sin crecer a largo plazo. Una deriva secular aumenta de manera persistente con el tiempo.

Los integradores simplécticos suelen mostrar energía oscilatoria; otros métodos pueden ser muy precisos al principio y acumular una tendencia pequeña pero sistemática.

36.7 Momento angular específico

Para una fuerza central:

h⃗ permanece constante en módulo y dirección. En dos dimensiones solo necesitamos h_z = xv_y − yv_x.

36.8 Qué detecta el momento angular

Su módulo controla el barrido de área y la geometría orbital. Su dirección determina el plano. Un cambio no explicado puede revelar una fuerza con componente transversal, un signo incorrecto o actualizaciones asimétricas.

En un sistema de N cuerpos se conserva el momento angular total, no necesariamente el de cada cuerpo respecto de un origen arbitrario.

36.9 Vector de excentricidad

El vector de Laplace–Runge–Lenz puede calcularse desde el estado:

Su módulo es la excentricidad y apunta hacia el periapsis. En el problema ideal permanece constante; una rotación artificial indica precesión numérica.

36.10 Semieje mayor desde la energía

Para una órbita no parabólica:

Si la energía deriva, también lo hacen el semieje y el período predicho. Comparar a calculado desde ε con periapsis y apoapsis aporta una comprobación adicional.

36.11 Ecuación vis-viva como residuo

Todo punto de una órbita kepleriana cumple:

Podemos evaluar el residuo v² − μ(2/r − 1/a₀). Si usamos el semieje inicial a₀, el residuo revela cambios de energía; si recalculamos a desde el mismo estado, la igualdad se vuelve una identidad y deja de ser una prueba independiente.

36.12 Primera ley de Kepler

Una órbita ligada ideal es una elipse con el cuerpo central en uno de sus focos. A partir de a y e:

Los radios mínimo y máximo medidos deberían converger hacia estos valores.

36.13 Segunda ley de Kepler

El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad areolar es:

En datos discretos, el área del triángulo entre posiciones consecutivas es aproximadamente |r⃗_n × r⃗_n+1|/2.

36.14 Tercera ley de Kepler

El período de una elipse de semieje a es:

El período medido entre cruces equivalentes debe acercarse a esta predicción al reducir el paso temporal.

36.15 Medir un período sin engañarse

No conviene buscar que la posición sea exactamente igual a la inicial: casi nunca ocurre en una malla temporal. Se detecta un cruce de sección, por ejemplo y de negativo a positivo con x > 0.

Interpolar entre los estados que rodean el cruce mejora la estimación y evita un error del orden de Δt.

36.16 Conservación en N cuerpos

En un sistema aislado se controlan energía total, momento lineal, momento angular y movimiento uniforme del baricentro.

La energía potencial debe sumar cada par una sola vez. Las órbitas osculatrices de cada cuerpo pueden cambiar físicamente aunque los invariantes totales permanezcan constantes.

36.17 Prueba de convergencia

Ejecutá hasta el mismo tiempo final con Δt, Δt/2 y Δt/4. Para un método de orden p en régimen asintótico:

Esta comparación no necesita conocer la solución exacta.

36.18 Calcular invariantes con JavaScript

function diagnosticos(estado, mu) {
  const { x, y, vx, vy } = estado;
  const r = Math.hypot(x, y);
  const v2 = vx * vx + vy * vy;
  const energia = v2 / 2 - mu / r;
  const h = x * vy - y * vx;
  const ex = vy * h / mu - x / r;
  const ey = -vx * h / mu - y / r;
  const excentricidad = Math.hypot(ex, ey);
  const semieje = -mu / (2 * energia);
  return { energia, h, excentricidad, semieje };
}

const estado = { x: 7000, y: 0, vx: 0, vy: 7.5 };
console.log(diagnosticos(estado, 398600.4));

36.19 Comprobar las leyes de Kepler con JavaScript

function prediccionKepler(mu, semieje, excentricidad) {
  if (semieje <= 0 || excentricidad < 0 || excentricidad >= 1) {
    throw new RangeError("Se requiere una órbita elíptica");
  }
  return {
    periapsis: semieje * (1 - excentricidad),
    apoapsis: semieje * (1 + excentricidad),
    periodo: 2 * Math.PI * Math.sqrt(semieje ** 3 / mu)
  };
}

const esperado = prediccionKepler(1, 1, 0.5);
console.log("periapsis:", esperado.periapsis);
console.log("apoapsis:", esperado.apoapsis);
console.log("período:", esperado.periodo.toFixed(6));

36.20 Laboratorio: tablero de verificación orbital

La partícula comienza en el periapsis de una elipse con a = 1 y se integra mediante Verlet. Aumentá la excentricidad o Δt y observá cómo responden los residuos.

36.21 Pruebas automatizadas útiles

• una órbita circular debe mantener radio y rapidez dentro de una tolerancia;
• los radios medidos deben coincidir con a(1 ± e);
• las áreas barridas en intervalos iguales deben ser equivalentes;
• el período debe seguir P² ∝ a³;
• reducir Δt debe disminuir el error con el orden esperado;
• rotar o trasladar el estado debe preservar los invariantes apropiados.

36.22 Ejercicio propuesto

En unidades μ = 1, una partícula tiene r⃗ = (0,5; 0) y v⃗ = (0; √3).

1. Calculá ε y h.
2. Obtené a y e.
3. Predecí apoapsis y período.

const mu = 1;
const r = 0.5;
const v = Math.sqrt(3);
const energia = v ** 2 / 2 - mu / r;
const h = r * v;
const semieje = -mu / (2 * energia);
const excentricidad = Math.sqrt(1 + 2 * energia * h ** 2 / mu ** 2);
const apoapsis = semieje * (1 + excentricidad);
const periodo = 2 * Math.PI * Math.sqrt(semieje ** 3 / mu);

console.log("energía:", energia.toFixed(4));
console.log("momento angular:", h.toFixed(4));
console.log("a, e:", semieje.toFixed(4), excentricidad.toFixed(4));
console.log("apoapsis:", apoapsis.toFixed(4));
console.log("período:", periodo.toFixed(4));

36.23 Errores frecuentes

• confiar únicamente en que la órbita “se ve bien”;
• comparar la energía con un valor recalculado que ya contiene el mismo error;
• dividir por una referencia casi nula al formar un error relativo;
• medir períodos buscando igualdad exacta de posiciones;
• confundir cambios físicos por perturbaciones con errores numéricos;
• verificar a un solo paso temporal;
• redondear estados antes de calcular diagnósticos.

36.24 Ideas para recordar

• Verificación numérica y validación física responden preguntas distintas.
• Energía y momento angular detectan errores que el dibujo puede ocultar.
• El vector de excentricidad comprueba forma y orientación del periapsis.
• Las tres leyes de Kepler ofrecen referencias independientes.
• Los residuos deben ser adimensionales o compararse con una escala clara.
• La convergencia requiere repetir el cálculo con pasos menores.
• Las pruebas automatizadas convierten las propiedades físicas en criterios reproducibles.

En el próximo tema reuniremos estos conceptos en el proyecto integrador: laboratorio de órbitas y sistema gravitatorio con JavaScript.