Gravedad y Movimiento Orbital - 5. Superposición: atracción producida por varios cuerpos

5.1 Una interacción para cada par

La ley estudiada hasta ahora describe la interacción entre dos cuerpos. Sin embargo, un satélite puede ser atraído simultáneamente por la Tierra, la Luna y el Sol. Ninguna de esas contribuciones deja de existir porque haya aparecido otra masa.

En la gravitación newtoniana aplicamos el principio de superposición: calculamos la fuerza producida por cada cuerpo como si las demás fuentes no estuvieran y luego sumamos vectorialmente todas las contribuciones.

Una fuente → una contribución
Varias fuentes → suma vectorial de contribuciones

La superposición permite construir situaciones complejas a partir de una regla de dos cuerpos. En este tema analizaremos la fuerza en un instante dado; más adelante estudiaremos cómo evolucionan simultáneamente las posiciones de muchos cuerpos.

5.2 Expresión de la fuerza resultante

Supongamos un cuerpo de prueba de masa m en la posición r⃗, atraído por n cuerpos de masas M_i situados en r⃗_i. La contribución de la fuente i es:

F⃗_i = G · m · M_i · (r⃗_i − r⃗) / |r⃗_i − r⃗|³

La fuerza gravitatoria total sobre el cuerpo de prueba es:

F⃗_resultante = F⃗₁ + F⃗₂ + ··· + F⃗_n

La sumatoria es una escritura compacta del mismo procedimiento:

F⃗_resultante = Σ F⃗_i

Cada vector debe apuntar desde el cuerpo de prueba hacia la fuente correspondiente. Después se suman sus componentes.

5.3 Sumar vectores, no solamente módulos

Los módulos son números no negativos, pero las fuerzas poseen dirección y sentido. En dos dimensiones:

F_{x, total} = F_1x + F_2x + ···
F_{y, total} = F_1y + F_2y + ···

Solo después de sumar componentes calculamos el módulo resultante:

|F⃗_total| = √(F_x,total² + F_y,total²)

Dos fuerzas de 10 N en sentidos opuestos suman 0 N, no 20 N. Dos fuerzas perpendiculares de 10 N producen un módulo √(10² + 10²) ≈ 14,1 N, no 20 N.

Sumar módulos solo es válido si todas las fuerzas tienen exactamente la misma dirección y sentido.

5.4 Procedimiento por cada fuente

Para evitar mezclar distancias o sentidos, conviene repetir una secuencia clara:

Elegir el cuerpo que recibe la fuerza.
Tomar una fuente gravitatoria.
Calcular el vector desde el cuerpo receptor hacia esa fuente.
Calcular su distancia y comprobar que no sea cero.
Obtener las componentes de la contribución gravitatoria.
Acumular esas componentes en la resultante.
Repetir para las demás fuentes.

La distancia debe recalcularse para cada fuente. Usar una única distancia común es correcto solamente en configuraciones que realmente poseen esa simetría.

5.5 Superposición en una dimensión

En una recta podemos representar cada contribución con signo. Un cuerpo de prueba se encuentra en x = 0. A su izquierda, en x = −2 m, hay una masa M; a su derecha, en x = 2 m, hay otra masa igual.

Las distancias son iguales y también los módulos. La fuerza izquierda tiene componente negativa y la derecha, positiva:

F_x,total = −GMm/2² + GMm/2² = 0

Cada fuerza existe, pero la resultante es cero. Si desplazamos ligeramente el cuerpo de prueba hacia la derecha, queda más cerca de la masa derecha; esa contribución aumenta y la cancelación deja de ser exacta.

Una resultante nula describe el balance en ese punto. No basta por sí sola para afirmar cómo se comportará ante cualquier desplazamiento.

5.6 Ejemplo resuelto en dos dimensiones

Un cuerpo de prueba de 100 kg está en (0, 0) m. Una masa A de 2 × 10⁵ kg está en (3, 0) m y una masa B de 3 × 10⁵ kg está en (0, 4) m.

La fuerza de A apunta en +x y su distancia es 3 m:

F⃗_A = (G · 100 · 2 × 10⁵ / 3²; 0)
F⃗_A ≈ (1,483 × 10⁻⁴; 0) N

La fuerza de B apunta en +y y su distancia es 4 m:

F⃗_B = (0; G · 100 · 3 × 10⁵ / 4²)
F⃗_B ≈ (0; 1,251 × 10⁻⁴) N

Sumamos componentes:

F⃗_total ≈ (1,483 × 10⁻⁴; 1,251 × 10⁻⁴) N
|F⃗_total| ≈ 1,941 × 10⁻⁴ N

La dirección resultante queda entre ambas fuentes. Su ángulo respecto de +x es aproximadamente 40,2°.

5.7 Usar la simetría antes de calcular

Una distribución simétrica permite anticipar cancelaciones:

dos masas iguales a lados opuestos y a igual distancia producen fuerzas opuestas;
fuentes ubicadas simétricamente respecto del eje x pueden cancelar sus componentes verticales;
fuentes distribuidas regularmente alrededor de un centro pueden producir resultante nula en ese centro.

La simetría es también una prueba del programa. Si dos fuentes idénticas y simétricas producen una componente residual grande, probablemente haya un error en una resta, una distancia o una acumulación.

En cálculos de punto flotante puede quedar un residuo diminuto, como 10⁻²⁰ N. Debe compararse con una tolerancia apropiada, no necesariamente con cero exacto.

5.8 Superponer aceleraciones

Al dividir la fuerza total por la masa m del cuerpo de prueba, esa masa se cancela en todas las contribuciones:

a⃗ = F⃗_total/m = Σ [G · M_i · (r⃗_i − r⃗) / |r⃗_i − r⃗|³]

Podemos sumar directamente aceleraciones gravitatorias. Esto es útil en una simulación: para actualizar un satélite, recorremos las fuentes, acumulamos ax y ay, y después integramos su velocidad.

La masa del satélite sí será necesaria si queremos conocer la fuerza en newtons, pero no para obtener su aceleración gravitatoria en el modelo ideal.

5.9 La resultante pertenece a un instante

La fuerza resultante se calcula usando las posiciones actuales. Si los cuerpos se mueven, distancias y direcciones cambian, por lo que la suma debe volver a evaluarse.

Una flecha resultante no muestra por sí sola la trayectoria futura. Indica la aceleración instantánea; la velocidad actual también influye en el movimiento posterior. Un satélite puede tener una fuerza dirigida hacia un planeta y, al mismo tiempo, moverse lateralmente.

En este tema congelamos las fuentes para estudiar la suma. Eso no afirma que en la realidad permanezcan inmóviles: es una decisión didáctica que separa el cálculo instantáneo de la integración temporal.

5.10 Implementar la superposición en JavaScript

const G = 6.67430e-11;

function fuerzaDeFuente(cuerpo, fuente) {
  const dxM = fuente.xM - cuerpo.xM;
  const dyM = fuente.yM - cuerpo.yM;
  const distanciaM = Math.hypot(dxM, dyM);

  if (distanciaM === 0) {
    throw new RangeError("Una fuente coincide con el cuerpo");
  }

  const factor = G * cuerpo.masaKg * fuente.masaKg
    / distanciaM ** 3;
  return { xN: factor * dxM, yN: factor * dyM };
}

function fuerzaTotal(cuerpo, fuentes) {
  const total = { xN: 0, yN: 0 };
  for (const fuente of fuentes) {
    const fuerza = fuerzaDeFuente(cuerpo, fuente);
    total.xN += fuerza.xN;
    total.yN += fuerza.yN;
  }
  return total;
}

const cuerpoEjemplo = { masaKg: 100, xM: 0, yM: 0 };
const fuentesEjemplo = [
  { masaKg: 2e5, xM: 3, yM: 0 },
  { masaKg: 3e5, xM: 0, yM: 4 }
];
const resultadoEjemplo = fuerzaTotal(cuerpoEjemplo, fuentesEjemplo);

console.log("Fx total:", resultadoEjemplo.xN.toExponential(3), "N");
console.log("Fy total:", resultadoEjemplo.yN.toExponential(3), "N");

El acumulador comienza con el vector cero. Cada iteración calcula una contribución completa y suma sus componentes. La función no modifica el cuerpo ni las fuentes.

5.11 Ejecutar el ejemplo numérico

const G = 6.67430e-11;
const cuerpo = { masaKg: 100, xM: 0, yM: 0 };
const fuentes = [
  { nombre: "A", masaKg: 2e5, xM: 3, yM: 0 },
  { nombre: "B", masaKg: 3e5, xM: 0, yM: 4 }
];

const total = fuentes.reduce((suma, fuente) => {
  const dxM = fuente.xM - cuerpo.xM;
  const dyM = fuente.yM - cuerpo.yM;
  const distanciaM = Math.hypot(dxM, dyM);
  const factor = G * cuerpo.masaKg * fuente.masaKg
    / distanciaM ** 3;
  suma.xN += factor * dxM;
  suma.yN += factor * dyM;
  return suma;
}, { xN: 0, yN: 0 });

const moduloN = Math.hypot(total.xN, total.yN);
const anguloGrados = Math.atan2(total.yN, total.xN)
  * 180 / Math.PI;

console.log("Fx:", total.xN.toExponential(3), "N");
console.log("Fy:", total.yN.toExponential(3), "N");
console.log("Módulo:", moduloN.toExponential(3), "N");
console.log("Ángulo:", anguloGrados.toFixed(1), "grados");

El programa separa el cálculo físico de la presentación. Math.atan2(y, x) conserva el cuadrante de la resultante; usar solamente Math.atan(y/x) perdería información y fallaría cuando x = 0.

El método reduce recorre las fuentes y conserva el acumulador. El valor inicial { xN: 0, yN: 0 } representa el vector cero.

5.12 Laboratorio interactivo de superposición

Tres fuentes permanecen en A = (−5, 0), B = (5, 0) y C = (0, 5), con masas expresadas en billones de kilogramos (10¹² kg). Mové el cuerpo de prueba y modificá las masas.

● Cuerpo de prueba● Fuente A● Fuente B● Fuente CFlecha blanca: resultante

Posición x: 0 m Posición y: 0 m Masa A: 2 × 10¹² kg Masa B: 2 × 10¹² kg Masa C: 0 × 10¹² kg

Fuerza de A(−533,944; 0) N

Fuerza de B(533,944; 0) N

Fuerza de C(0; 0) N

Fuerza resultante(0; 0) N

Módulo resultante0 N

F⃗_total = F⃗_A + F⃗_B + F⃗_C

Las contribuciones de A y B se cancelan.

Configuración inicial simétrica: resultante nula en el centro.

Las flechas de colores muestran contribuciones y la blanca muestra la resultante. Sus longitudes se normalizan para poder compararlas visualmente; las posiciones sí siguen los ejes del gráfico.

Cancelación horizontal: A y B tienen igual masa y distancia; C está desactivada.
Tres fuentes: la contribución de C rompe la resultante nula.
Asimétrica: ninguna cancelación puede decidirse solo por inspección de los módulos.
Mové el cuerpo cerca de una fuente: su contribución crece por el inverso del cuadrado.
Ubicalo sobre una fuente activa: el laboratorio señala que el modelo puntual queda indefinido.

5.13 Resultante nula no siempre significa reposo

Si F⃗_total = 0, la aceleración instantánea es cero. Pero el cuerpo puede tener velocidad distinta de cero y continuar moviéndose con esa velocidad en ese instante.

Para hablar de equilibrio mecánico también debemos considerar el estado de movimiento y qué ocurre ante pequeños desplazamientos. Un punto donde las fuerzas se cancelan puede ser estable, inestable o indiferente según cómo cambie la resultante alrededor.

En este curso no usaremos todavía las oscilaciones alrededor de equilibrios; solo distinguimos la cancelación instantánea de la afirmación más amplia «el cuerpo permanece allí».

5.14 Alcance computacional

Para calcular la fuerza sobre un único cuerpo debido a n fuentes, el algoritmo recorre la lista una vez: realiza n contribuciones.

Si todos los cuerpos se mueven y debemos calcular la interacción de cada par, el problema crece. También hay que evitar sumar la fuerza propia de un cuerpo sobre sí mismo y conviene aprovechar que cada par genera fuerzas opuestas.

Ese problema dinámico de muchos cuerpos se abordará en el tema 32. Aquí la lista de fuentes está congelada para dominar primero la suma vectorial en un instante.

5.15 Errores frecuentes y comprobaciones

Sumar módulos: deben sumarse componentes con signo.
Usar una distancia para todas las fuentes: cada par tiene su propia separación.
Invertir una resta: convierte una contribución atractiva en repulsiva.
Reiniciar el acumulador dentro del bucle: se conserva solo la última fuerza.
Incluir al cuerpo como su propia fuente: produce distancia cero.
Confundir fuerza resultante con trayectoria: falta considerar la velocidad y la evolución temporal.

Probá configuraciones simétricas, trasladá todo el sistema por el mismo vector y permutá el orden de las fuentes. La resultante debe respetar la simetría, no cambiar por la traslación y ser independiente del orden, salvo pequeñas diferencias de redondeo.

5.16 Ejercicio propuesto

Un cuerpo de prueba de 200 kg está en el origen. Dos fuentes iguales de 4 × 10⁶ kg están en (−6, 0) m y (6, 0) m. Una tercera fuente de 3 × 10⁶ kg está en (0, 8) m.

Explicá, antes de calcular, qué contribuciones se cancelan.
Calculá la fuerza producida por la tercera fuente.
Obtené la fuerza resultante y su módulo.
Calculá la aceleración del cuerpo de prueba.
Comprobá el resultado mediante un programa.

Ver solución y explicación

Las fuentes laterales tienen iguales masas y distancias. Sus fuerzas son horizontales, de igual módulo y sentidos opuestos, por lo que se cancelan.

La tercera fuente está a 8 m y atrae en el sentido +y:

F_C = G · 200 · (3 × 10⁶) / 8² ≈ 6,257 × 10⁻⁴ N

La resultante es (0; 6,257 × 10⁻⁴) N. La aceleración es aproximadamente (0; 3,128 × 10⁻⁶) m/s².

const G = 6.67430e-11;
const cuerpo = { masaKg: 200, xM: 0, yM: 0 };
const fuentes = [
  { masaKg: 4e6, xM: -6, yM: 0 },
  { masaKg: 4e6, xM: 6, yM: 0 },
  { masaKg: 3e6, xM: 0, yM: 8 }
];

const total = { xN: 0, yN: 0 };
for (const fuente of fuentes) {
  const dxM = fuente.xM - cuerpo.xM;
  const dyM = fuente.yM - cuerpo.yM;
  const distanciaM = Math.hypot(dxM, dyM);
  const factor = G * cuerpo.masaKg * fuente.masaKg
    / distanciaM ** 3;
  total.xN += factor * dxM;
  total.yN += factor * dyM;
}

console.log("Fuerza:", total);
console.log("Aceleración:", {
  xMps2: total.xN / cuerpo.masaKg,
  yMps2: total.yN / cuerpo.masaKg
});

El resultado horizontal debe ser cero o un residuo numérico extremadamente pequeño. El bloque es independiente y puede ejecutarse directamente.

5.17 Ideas para recordar

Cada fuente produce su propia contribución gravitatoria.
La fuerza resultante es la suma vectorial de todas las contribuciones.
Se suman componentes con signo; no se suman módulos en general.
La distancia y la dirección deben calcularse por separado para cada fuente.
La simetría permite anticipar cancelaciones y comprobar el programa.
La aceleración total puede obtenerse sumando aceleraciones gravitatorias.
Una resultante instantánea no determina por sí sola la trayectoria futura.

En el próximo tema estudiaremos cuándo un cuerpo esférico puede aproximarse mediante una masa puntual y qué límites tiene esa simplificación.

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