6. Cuerpos esféricos y aproximación mediante masas puntuales

6.1 El problema de los cuerpos extensos

La expresión F = Gm₁m₂/r² se aplica directamente a masas puntuales. Sin embargo, la Tierra, la Luna y los satélites poseen volumen: su masa está distribuida en una región del espacio.

Cada pequeña porción de un cuerpo atrae a cada porción del otro. En principio deberíamos dividir ambos cuerpos, calcular muchísimas interacciones y sumarlas vectorialmente. Ese procedimiento puede ser costoso y, en muchos casos, innecesario.

La pregunta de modelado es:

La respuesta depende de la simetría del cuerpo, de si el punto estudiado está dentro o fuera y de la distancia comparada con su tamaño.

6.2 Qué representa una masa puntual

Una masa puntual es un modelo que asigna toda la masa de un cuerpo a una única posición y omite su tamaño, forma y orientación.

No afirmamos que el objeto real carezca de dimensiones. Declaramos que esas dimensiones no influyen de manera relevante en el cálculo que queremos realizar.

Para estudiar una órbita alrededor de un planeta aproximadamente esférico, esta simplificación suele ser el punto de partida natural.

6.3 La posición elegida: centro de masa

La masa puntual equivalente se ubica en el centro de masa. Para un conjunto de partículas, su coordenada horizontal es:

Hay expresiones análogas para y y z. Las porciones más masivas influyen más en la ubicación del centro.

En una esfera con distribución radialmente simétrica, el centro de masa coincide con el centro geométrico. En un cuerpo irregular o con densidades desiguales, no tiene por qué ocurrir.

El centro de masa no necesita encontrarse dentro del material: en un objeto hueco puede estar en una región vacía. Sigue siendo una posición útil para describir su traslación y construir aproximaciones gravitatorias lejanas.

6.4 Qué significa simetría esférica

Un cuerpo posee simetría esférica si su densidad depende solamente de la distancia al centro, no de la dirección. Todas las direcciones que parten del centro son equivalentes.

Esto no exige densidad uniforme. Un planeta ideal puede tener capas con densidades diferentes y continuar siendo esféricamente simétrico si cada capa concéntrica es igual en todas las direcciones.

Una esfera con una gran concentración de masa desplazada hacia un costado no cumple esta simetría, aunque su superficie exterior sea redonda.

6.5 Resultado exterior para una esfera

El teorema de las capas esféricas de Newton conduce a un resultado fundamental: para un punto exterior a una distribución esféricamente simétrica, la fuerza gravitatoria es exactamente la misma que produciría una masa puntual igual a la masa total ubicada en el centro.

En el marco del modelo ideal, no se trata solo de una aproximación por gran distancia. Puede usarse inmediatamente fuera de la superficie, siempre que la distribución sea esféricamente simétrica y el cuerpo de prueba esté completamente en el exterior.

La demostración completa requiere sumar las contribuciones de todas las porciones. Las componentes laterales se cancelan por simetría y el resultado exterior equivale al de la masa central.

6.6 Medir desde el centro

Una vez reemplazado el astro por una masa puntual central, la distancia de la fórmula se mide hasta el centro, no hasta la superficie más cercana.

Para un planeta de radio 6000 km y un satélite a 500 km de altura, r = 6500 km. Si usamos h = 500 km como denominador, predecimos una fuerza 169 veces mayor, porque:

En una simulación con coordenadas cartesianas, r es el módulo del vector que une el centro del astro con el cuerpo de prueba.

6.7 Dos motivos distintos para usar una masa puntual

Conviene distinguir dos situaciones:

1. Equivalencia exterior por simetría: una distribución esféricamente simétrica produce exactamente el mismo campo exterior que una masa puntual central dentro de la gravitación newtoniana.
2. Aproximación por lejanía: un cuerpo de forma arbitraria puede parecer puntual si su tamaño es pequeño comparado con la distancia.

En el primer caso la justificación es la simetría. En el segundo aceptamos un error que disminuye al alejarnos. Confundirlos puede llevar a considerar exacto un modelo que solo es aproximado.

6.8 Comparar tamaño y distancia

Para un cuerpo no esférico podemos formar una razón adimensional:

Si la razón es muy pequeña, las distintas partes del cuerpo se encuentran casi a la misma distancia y dirección vistas desde el punto de observación. El detalle de la distribución influye menos.

No existe un umbral universal como «menor que 0,1 siempre alcanza». La tolerancia depende del propósito. Una animación cualitativa puede admitir un error que sería inaceptable para predecir con precisión la posición de una nave.

La forma más segura es comparar, cuando sea posible, el modelo puntual con uno más detallado o con datos conocidos en la región de interés.

6.9 Ejemplo: satélite exterior a la Tierra

Para un primer modelo, representamos la Tierra como una esfera de masa M_T y radio R_T. Un satélite está a una altura h y su tamaño es despreciable comparado con el planeta.

Como el satélite está fuera, usamos:

Esta idealización conserva la masa total y el centro terrestre. Omite irregularidades, achatamiento, montañas, distribución no perfectamente simétrica y atracciones de otros astros.

Que el modelo sea útil no implica que esas correcciones no existan. Significa que primero resolvemos el comportamiento dominante y agregamos detalles solo si la precisión buscada los exige.

6.10 Cuándo falla o pierde precisión

• Punto interior: no puede usarse toda la masa en el centro con la misma fórmula exterior.
• Cuerpo muy irregular y cercano: diferentes regiones producen contribuciones apreciablemente distintas.
• Distribución que cambia: mareas, deformaciones o movimiento interno pueden modificar el efecto.
• Orientación relevante: un cuerpo alargado cercano puede atraer de manera diferente según cómo esté orientado.
• Cuerpos que se superponen: la distancia entre centros no resume todas las interacciones.
• Precisión elevada: pequeñas desviaciones respecto de la simetría pueden acumular efectos medibles.

El tema 9 estudiará la gravedad dentro de una esfera ideal. Aquí limitamos la equivalencia puntual al exterior.

6.11 Un modelo debe incluir su dominio

Una función que calcula gravedad exterior debería conocer el radio del astro y rechazar o derivar los puntos interiores a otro modelo:

const G = 6.67430e-11;

function gravedadExteriorMps2(astro, distanciaCentroM) {
  if (distanciaCentroM < astro.radioM) {
    throw new RangeError("El punto está dentro del astro");
  }
  return G * astro.masaKg / distanciaCentroM ** 2;
}

const tierra = {
  masaKg: 5.972e24,
  radioM: 6.371e6
};

const alturaM = 400e3;
const distanciaM = tierra.radioM + alturaM;
console.log(gravedadExteriorMps2(tierra, distanciaM).toFixed(3), "m/s²");

El programa muestra aproximadamente 8.694 m/s². La condición permite usar el modelo en la superficie, donde distanciaCentroM === astro.radioM.

En código de producción también validaríamos masas, radios y valores finitos. El objetivo principal aquí es hacer visible el límite exterior.

6.12 Comparar un cuerpo extendido con su punto equivalente

Consideremos un cuerpo no esférico muy simple: dos masas iguales separadas, como un «mancuerna» ideal. Su centro de masa está a mitad de camino. Sobre el eje perpendicular que pasa por el centro, las componentes horizontales se cancelan.

Si cada masa es M/2, está a distancia a del centro y el punto de prueba se encuentra a distancia d sobre el eje perpendicular, la aceleración exacta dirigida hacia el centro tiene módulo:

La aproximación puntual en el centro da:

Cuando d es mucho mayor que a, ambos resultados se acercan. Cerca del cuerpo, la forma y la distribución importan.

const G = 6.67430e-11;

function compararModelos(masaTotalKg, semiseparacionM, distanciaM) {
  const gExtendida = G * masaTotalKg * distanciaM
    / (distanciaM ** 2 + semiseparacionM ** 2) ** 1.5;
  const gPuntual = G * masaTotalKg / distanciaM ** 2;
  const errorRelativo = Math.abs(gPuntual - gExtendida) / gExtendida;
  return { gExtendida, gPuntual, errorRelativo };
}

for (const distanciaEnA of [1.5, 3, 10]) {
  const resultado = compararModelos(2e12, 1, distanciaEnA);
  console.log(
    distanciaEnA, "a | error:",
    (resultado.errorRelativo * 100).toFixed(2), "%"
  );
}

6.13 Laboratorio interactivo: cerca y lejos

Compará la atracción de dos masas separadas con la de una masa puntual equivalente situada en su centro de masa. La sonda se mantiene sobre el eje de simetría.

Los círculos representan dos masas iguales; la cruz marca su centro de masa y la sonda está arriba. La flecha naranja corresponde a la suma exacta y la blanca a la aproximación puntual. El dibujo ajusta la escala para mantener visibles los elementos.

• Probá d = 1,5a: la estructura del cuerpo influye claramente.
• Probá d = 10a: los resultados se aproximan.
• Aumentá a manteniendo d: el cuerpo ocupa una fracción mayor de la distancia y empeora la aproximación.
• Recordá: este objeto no es esférico; una esfera simétrica tendría equivalencia exterior exacta.

6.14 Elegir el nivel de detalle

Una estrategia útil es comenzar con el modelo más simple que pueda responder la pregunta:

1. Representar cada astro aproximadamente esférico mediante una masa central.
2. Comprobar la trayectoria, unidades y cantidades conservadas.
3. Comparar con la precisión requerida.
4. Agregar forma, distribución o perturbaciones solo si la diferencia resulta relevante.

Un modelo detallado no garantiza por sí solo un mejor programa. También introduce más datos, parámetros, cálculos y oportunidades de error.

6.15 Errores frecuentes y comprobaciones

• Tratar cualquier cuerpo redondo como perfectamente simétrico: importa la distribución de masa, no solo la superficie.
• Usar la distancia a la superficie: el punto equivalente está en el centro de masa.
• Aplicar la fórmula exterior dentro del cuerpo: allí no actúa toda la masa como si estuviera en el centro.
• Confundir exactitud por simetría con aproximación por lejanía: son justificaciones diferentes.
• Ignorar el tamaño del cuerpo de prueba: también debe poder representarse por una posición si usamos la fórmula puntual.
• No declarar tolerancia: «suficientemente lejos» depende del error aceptable.

Comprobá que el resultado exterior disminuya como 1/r², que la dirección apunte al centro y que al aumentar mucho la distancia un modelo extendido converja hacia el puntual.

6.16 Ejercicio propuesto

Un asteroide se modela inicialmente como una esfera simétrica de masa 8 × 10¹⁵ kg y radio 1000 m. Una sonda de 200 kg está a 500 m de altura.

1. Calculá la distancia de la sonda al centro.
2. Justificá por qué puede usarse una masa puntual central bajo los supuestos dados.
3. Calculá la aceleración gravitatoria de la sonda.
4. Calculá la fuerza gravitatoria sobre ella.
5. Indicá qué información adicional necesitarías para evaluar la aproximación si el asteroide fuera muy irregular.

const G = 6.67430e-11;
const asteroide = { masaKg: 8e15, radioM: 1000 };
const sonda = { masaKg: 200, alturaM: 500 };

const distanciaCentroM = asteroide.radioM + sonda.alturaM;
const gravedadMps2 = G * asteroide.masaKg / distanciaCentroM ** 2;
const fuerzaN = sonda.masaKg * gravedadMps2;

console.log("Distancia:", distanciaCentroM, "m");
console.log("Gravedad:", gravedadMps2.toFixed(4), "m/s²");
console.log("Fuerza:", fuerzaN.toFixed(2), "N");

6.17 Ideas para recordar

• Una masa puntual conserva masa y posición, pero omite tamaño, forma y estructura.
• La posición representativa es el centro de masa.
• Una distribución esféricamente simétrica equivale exactamente a una masa central para puntos exteriores.
• La distancia gravitatoria se mide desde el centro, no desde la superficie.
• Un cuerpo arbitrario puede aproximarse como puntual cuando su tamaño es pequeño frente a la distancia.
• La fórmula exterior no debe extenderse automáticamente al interior.
• La validez depende de los supuestos y de la precisión requerida.

En el próximo tema definiremos el campo gravitatorio y representaremos la aceleración que una masa produce en cada punto del espacio.