7. Campo gravitatorio y aceleración en cada punto del espacio

7.1 De la interacción entre cuerpos a una propiedad del espacio

Hasta ahora calculamos la fuerza entre cuerpos concretos. Otra forma de organizar el problema consiste en preguntar: ¿qué efecto gravitatorio produciría una masa en cada posición, aunque todavía no coloquemos allí otro cuerpo?

La respuesta se expresa mediante el campo gravitatorio. Una masa fuente crea un campo en el espacio circundante. Si luego ubicamos un cuerpo de prueba, el campo permite calcular la fuerza que recibirá.

El campo no es un dibujo de flechas materialmente presentes. Es una representación física y matemática que asigna un vector a cada posición y permite separar la causa —las masas fuente— del cuerpo utilizado para explorar su efecto.

7.2 Definición mediante una masa de prueba

En una posición dada, el campo gravitatorio g⃗ se define como la fuerza gravitatoria F⃗ que recibiría un cuerpo de prueba dividida por su masa m:

Despejando la fuerza:

La masa de prueba debe ser suficientemente pequeña para que su presencia no altere de manera relevante la distribución que estamos estudiando. En el modelo ideal podemos considerar el límite de una masa arbitrariamente pequeña.

El campo existe como descripción de la influencia de las fuentes; no depende del valor particular de la masa de prueba elegida.

7.3 Campo producido por una masa puntual

Sea una masa fuente M en la posición r⃗_M. Queremos el campo en un punto P cuya posición es r⃗. Construimos el vector desde P hacia la fuente:

Si r = |Δr⃗|, el campo es:

Su módulo es:

El vector apunta hacia la masa fuente. La forma con r³ incluye la normalización del vector separación; el módulo continúa obedeciendo la ley del inverso del cuadrado.

7.4 Unidades e interpretaciones

De la definición g⃗ = F⃗/m surge la unidad N/kg. Al usar la segunda ley de Newton obtenemos la unidad equivalente m/s²:

El valor numérico es el mismo en ambas unidades. La elección depende de qué relación queramos destacar.

7.5 Un campo radial y central

Alrededor de una masa puntual aislada, el campo tiene simetría radial:

• en puntos a la misma distancia, el módulo es el mismo;
• cada vector apunta hacia el centro;
• al aumentar la distancia, el módulo disminuye como 1/r².

Se denomina campo central porque la dirección en cada punto está alineada con un centro fijo. No existe una dirección «abajo» común a todo el mapa. Arriba de la masa el vector apunta hacia abajo; a su derecha apunta hacia la izquierda.

Para un cuerpo esféricamente simétrico, el campo exterior coincide con el de una masa puntual ubicada en su centro, según lo estudiado en el tema anterior.

7.6 Mapas de vectores

Un mapa de campo selecciona varios puntos del espacio y dibuja en cada uno una flecha con la dirección y el sentido de g⃗. La longitud o el color pueden representar su módulo.

No es posible dibujar literalmente una flecha en cada punto continuo. El mapa es un muestreo. Aumentar la cantidad de flechas mejora el detalle visual, pero no cambia la definición del campo.

Como el módulo cambia rápidamente cerca de una masa, una escala lineal puede producir flechas enormes cerca del centro y casi invisibles lejos. Las visualizaciones suelen:

• normalizar todas las flechas y usar color para el módulo;
• limitar su longitud máxima;
• usar una escala logarítmica;
• omitir puntos demasiado próximos a la singularidad.

Estas decisiones modifican el dibujo, no los valores físicos calculados.

7.7 Líneas de campo

Las líneas de campo son curvas cuya tangente coincide en cada punto con la dirección del campo. Para una masa puntual aislada son líneas radiales dirigidas hacia la masa.

Se acostumbra dibujarlas más densas donde el campo es intenso, pero no deben contarse como objetos físicos individuales. El número de líneas depende de la elección gráfica.

Las líneas no son trayectorias obligatorias. Un cuerpo soltado desde el reposo comienza acelerando en la dirección del campo, pero si posee velocidad transversal puede cruzar líneas y describir una órbita curva.

7.8 Campo, componentes y posición

Para una fuente en el origen y un punto P = (x, y), el vector dirigido desde P al origen es (−x, −y). Por lo tanto:

El signo negativo aparece porque la fuente está en el origen. Si la fuente estuviera en otra posición, convendría calcular directamente dx = fuente.x - punto.x y dy = fuente.y - punto.y.

El módulo obtenido a partir de las componentes debe coincidir con GM/(x² + y²).

7.9 Superposición de campos

Si hay varias masas fuente, cada una produce un campo y sumamos vectorialmente sus contribuciones:

Esta suma no requiere elegir una masa de prueba. Una vez calculado el campo total, cualquier cuerpo ideal de masa m recibe F⃗ = mg⃗_total.

Los resultados del tema 5 pueden reinterpretarse así: primero se suman las aceleraciones producidas por las fuentes y luego, si interesa la fuerza, se multiplica por la masa receptora.

7.10 Ejemplo resuelto por componentes

Una masa con parámetro GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s² está en el origen. Queremos el campo en P = (3 × 10⁷, 4 × 10⁷) m.

1. Vector hacia la fuente: Δr⃗ = (−3 × 10⁷, −4 × 10⁷) m.
2. Distancia: r = 5 × 10⁷ m.
3. Versor hacia el origen: û = (−0,6; −0,8).
4. Módulo: g = 3,986 × 10¹⁴ / (5 × 10⁷)² ≈ 0,1594 m/s².
5. Campo: g⃗ ≈ (−0,0957; −0,1276) m/s².

El vector apunta desde el punto del primer cuadrante hacia el origen, por eso ambas componentes son negativas. Su módulo reconstruido es aproximadamente 0,1594 m/s².

7.11 De g⃗ a la fuerza sobre distintos cuerpos

En el punto del ejemplo, una masa de 10 kg recibiría:

Una masa de 20 kg recibiría el doble de fuerza, pero ambas tendrían la misma aceleración gravitatoria. Esto muestra la ventaja de calcular el campo una vez cuando queremos evaluar varios cuerpos pequeños en posiciones conocidas.

Si el cuerpo de prueba tiene una masa comparable con la fuente, también modifica de forma importante el movimiento de esta. El campo en un instante sigue siendo calculable, pero para describir la evolución debemos actualizar ambos cuerpos.

7.12 Implementación vectorial en JavaScript

const G = 6.67430e-11;

function campoGravitatorioEn(punto, fuente) {
  const dxM = fuente.xM - punto.xM;
  const dyM = fuente.yM - punto.yM;
  const distanciaM = Math.hypot(dxM, dyM);

  if (distanciaM === 0) {
    throw new RangeError("El campo puntual no está definido en la fuente");
  }

  const factor = G * fuente.masaKg / distanciaM ** 3;
  return {
    xMps2: factor * dxM,
    yMps2: factor * dyM
  };
}

const tierra = { masaKg: 5.972e24, xM: 0, yM: 0 };
const punto = { xM: 3e7, yM: 4e7 };
const campo = campoGravitatorioEn(punto, tierra);

console.log("gx:", campo.xMps2.toFixed(4), "m/s²");
console.log("gy:", campo.yMps2.toFixed(4), "m/s²");
console.log("g:", Math.hypot(campo.xMps2, campo.yMps2).toFixed(4), "m/s²");

El resultado es aproximadamente gx: -0.0957, gy: -0.1276 y g: 0.1595 m/s². La pequeña diferencia respecto del ejemplo manual proviene de usar GM calculado con los datos de la función.

La función devuelve aceleración, no fuerza. No recibe la masa del cuerpo de prueba.

7.13 Construir un mapa mediante muestreo

Podemos evaluar la función en una cuadrícula. En una aplicación gráfica, cada resultado se transforma en una flecha:

const G = 6.67430e-11;

function campoGravitatorioEn(punto, fuente) {
  const dxM = fuente.xM - punto.xM;
  const dyM = fuente.yM - punto.yM;
  const distanciaM = Math.hypot(dxM, dyM);
  if (distanciaM === 0) throw new RangeError("Punto singular");
  const factor = G * fuente.masaKg / distanciaM ** 3;
  return { xMps2: factor * dxM, yMps2: factor * dyM };
}

const fuente = { masaKg: 5.972e24, xM: 0, yM: 0 };
const separacionM = 1e7;

for (let fila = -2; fila <= 2; fila++) {
  for (let columna = -2; columna <= 2; columna++) {
    if (fila === 0 && columna === 0) continue;

    const punto = {
      xM: columna * separacionM,
      yM: fila * separacionM
    };
    const g = campoGravitatorioEn(punto, fuente);
    console.log(columna, fila, g);
  }
}

El centro se omite porque coincide con la masa puntual. El bloque incluye la función completa para que pueda ejecutarse de manera independiente.

En el laboratorio siguiente, el cálculo y la visualización están integrados y el tamaño de las flechas se limita para mantener legible el mapa.

7.14 Laboratorio interactivo: explorar un campo central

Mové la sonda por un mapa expresado en radios terrestres y cambiá la masa central. La superficie ideal está marcada con un círculo; el campo puntual solo se evalúa en el exterior.

Las flechas pequeñas muestrean el campo y están normalizadas con una variación moderada de longitud. La flecha amarilla muestra el vector de la sonda. La visualización no representa líneas de trayectoria.

• Recorré los cuadrantes: comprobá los signos de las componentes.
• Mantené la posición y duplicá la masa: todas las componentes se duplican.
• Compará 1R y 2R: al duplicar la distancia, el módulo queda en un cuarto.
• Elegí Centro puntual: el laboratorio muestra la singularidad del modelo.

7.15 Singularidad, superficie y dominio

El modelo puntual produce un módulo que crece sin límite cuando r se aproxima a cero. Esa singularidad no describe el interior de un planeta real: proviene de concentrar toda su masa en un punto.

Si modelamos un astro con radio, debemos distinguir:

• r > R: punto exterior;
• r = R: superficie ideal;
• r < R: interior, que requiere conocer la distribución de masa.

No conviene ocultar el problema reemplazando arbitrariamente r = 0 por un número pequeño durante esta etapa conceptual. Primero debemos declarar qué modelo físico corresponde a cada región.

7.16 Campo casi uniforme en una región pequeña

El campo central conecta con el modelo de gravedad uniforme del tema 1. Cerca de un punto de la superficie y dentro de una región pequeña:

• la distancia al centro cambia muy poco;
• el módulo de g⃗ cambia muy poco;
• las direcciones radiales parecen paralelas.

Entonces podemos reemplazar el mapa curvo y variable por flechas casi iguales. La gravedad uniforme no es otra interacción: es una aproximación local del campo central.

7.17 Errores frecuentes y comprobaciones

• Incluir la masa de prueba al calcular g⃗: esa masa solo aparece después, en F⃗ = mg⃗.
• Apuntar las flechas hacia afuera: la gravedad de una masa positiva es atractiva.
• Sumar módulos de varios campos: deben sumarse componentes vectoriales.
• Confundir flechas con trayectorias: el campo muestra aceleración local.
• Usar 1/r² con el vector separación sin normalizar: la forma por componentes requiere dividir por r³.
• Evaluar el centro puntual: allí la expresión está indefinida.

Como pruebas, verificá que el módulo sea constante sobre una circunferencia centrada en la fuente, que g⃗·Δr⃗ sea positivo si Δr⃗ apunta hacia la fuente y que duplicar la masa duplique el campo.

7.18 Ejercicio propuesto

Una masa esférica ideal tiene GM = 8 × 10¹² m³/s² y está en el origen. Un punto P se encuentra en (−1,2 × 10⁶, 1,6 × 10⁶) m.

1. Calculá el vector desde P hacia la fuente.
2. Calculá la distancia al origen.
3. Obtené el módulo y las componentes de g⃗.
4. Calculá la fuerza sobre una sonda de 500 kg.
5. Explicá qué cambia si la masa de la sonda se duplica.

const muM3ps2 = 8e12; // mu = G·M
const punto = { xM: -1.2e6, yM: 1.6e6 };
const masaSondaKg = 500;
const dxM = -punto.xM;
const dyM = -punto.yM;
const distanciaM = Math.hypot(dxM, dyM);
const factor = muM3ps2 / distanciaM ** 3;
const g = { xMps2: factor * dxM, yMps2: factor * dyM };

console.log("g:", g);
console.log("F:", {
  xN: masaSondaKg * g.xMps2,
  yN: masaSondaKg * g.yMps2
});

7.19 Ideas para recordar

• El campo gravitatorio asigna un vector de aceleración a cada posición.
• Se define como fuerza gravitatoria por unidad de masa: g⃗ = F⃗/m.
• Una masa puntual produce un campo radial, atractivo y proporcional a 1/r².
• Las unidades N/kg y m/s² son equivalentes.
• Para varias fuentes, los campos se suman vectorialmente.
• Los mapas y líneas de campo representan dirección local, no trayectorias.
• La gravedad uniforme es una aproximación local de un campo radial.

En el próximo tema analizaremos cuantitativamente la variación de la gravedad con la distancia y la altitud.