8. Variación de la gravedad con la distancia y la altitud

8.1 Una gravedad diferente en cada distancia

En una región pequeña cercana al suelo resulta útil tratar g como constante. En una trayectoria que se aleja miles de kilómetros, esa aproximación deja de ser suficiente.

Para una masa esféricamente simétrica, el módulo del campo gravitatorio exterior depende de la distancia r al centro:

La masa M del astro y la constante G permanecen fijas en este modelo. Al cambiar la posición solo cambia r, y por eso cambia g.

8.2 Distancia radial y altitud

La distancia radial r se mide desde el centro. La altitud o altura h se mide desde la superficie ideal. Para un astro de radio R:

Sustituyendo en la expresión del campo:

En la superficie, h = 0 y r = R. Una altitud igual a R coloca el punto a una distancia 2R del centro.

8.3 Comparar con la gravedad superficial

En la superficie ideal:

Dividimos g(h) por g₀. Se cancelan G y M:

Esta razón es adimensional. Permite calcular qué fracción del valor superficial queda a cierta altitud sin conocer la masa del astro ni la constante universal.

Si expresamos la altitud como kR, entonces:

8.4 Leer correctamente el inverso del cuadrado

La dependencia 1/r² se aplica a la distancia al centro. Por eso:

Duplicar la altitud no implica dividir la gravedad por cuatro. Esa regla solo vale cuando se duplica r.

8.5 Porcentaje que permanece y porcentaje de disminución

La razón q = g/g₀ indica la fracción que permanece. El porcentaje correspondiente es:

El porcentaje de disminución respecto de la superficie es:

Si q = 0,8, queda el 80 % y la disminución es del 20 %. No debemos informar «error del 80 %» al comparar con el valor superficial.

8.6 Error al usar g constante

El modelo uniforme usa g₀ en toda la región. Si tomamos el modelo variable como referencia, el error relativo del valor uniforme es:

También podemos medir la diferencia respecto de g₀, obteniendo simplemente 1 − q. Ambos porcentajes responden preguntas diferentes porque usan denominadores distintos.

Por ejemplo, si g(h) = 0,8g₀:

• la gravedad disminuyó un 20 % respecto de g₀;
• usar g₀ sobreestima el valor local en un 25 % respecto de g(h).

Siempre conviene declarar qué valor se usa como referencia.

8.7 Cambios pequeños cerca de la superficie

Cuando h es mucho menor que R, la gravedad cambia poco. Una aproximación útil para estimar la disminución fraccionaria es:

Para h/R = 0,001, anticipa una disminución cercana a 0,002, es decir, 0,2 %. La fórmula exacta da un valor muy próximo.

Esta expresión es una aproximación local, no debe aplicarse a grandes alturas. Para h = R predeciría una disminución del 200 %, algo imposible; la fórmula exacta da 75 %.

8.8 Ejemplos de altitudes terrestres

Tomando R = 6371 km y g₀ = 9,81 m/s²:

Los valores describen solo la contribución terrestre idealizada. Una altitud asociada a cierta órbita no implica que un objeto permanezca allí sin una velocidad adecuada.

8.9 Problema inverso: encontrar la altitud

A veces conocemos la fracción deseada q = g/g₀ y buscamos h. Partimos de:

Tomamos la raíz cuadrada positiva, invertimos y despejamos:

Para puntos exteriores, q debe cumplir 0 < q ≤ 1. Si q = 1, la altitud es cero. Cuando q se aproxima a cero, la altitud crece sin límite.

8.10 Ejemplo resuelto: la mitad de la gravedad superficial

Busquemos dónde la gravedad terrestre ideal vale la mitad de su valor superficial. Usamos q = 0,5:

Para R = 6371 km:

La distancia al centro es aproximadamente 9010 km, es decir, √2 radios. Allí g ≈ 4,905 m/s².

La altitud no es 2R. Confundir «mitad de gravedad» con «doble de distancia» ignoraría que duplicar la distancia produce un cuarto, no la mitad.

8.11 La gravedad se aproxima a cero

Según g = GM/r², ningún valor finito de r hace que el campo de una masa aislada sea exactamente cero. Al alejarnos, g se vuelve cada vez menor y tiende a cero.

En un sistema con varias fuentes sí pueden existir puntos donde las contribuciones vectoriales se cancelen. Eso no significa que cada campo individual haya desaparecido.

Frases como «fuera de la atmósfera no hay gravedad» son incorrectas. La atmósfera y el campo gravitatorio no terminan en la misma región, y los satélites orbitales necesitan precisamente la atracción gravitatoria.

8.12 Funciones directas e inversas en JavaScript

function gravedadAAltitud(gravedadSuperficie, radio, altitud) {
  if (radio <= 0 || altitud < 0) {
    throw new RangeError("Radio positivo y altitud no negativa");
  }
  return gravedadSuperficie * (radio / (radio + altitud)) ** 2;
}

function altitudParaFraccion(radio, fraccion) {
  if (radio <= 0 || fraccion <= 0 || fraccion > 1) {
    throw new RangeError("La fracción exterior debe estar entre 0 y 1");
  }
  return radio * (1 / Math.sqrt(fraccion) - 1);
}

const radioTierraKm = 6371;
console.log("g a 400 km:", gravedadAAltitud(9.81, radioTierraKm, 400).toFixed(3), "m/s²");
console.log("Altitud para g/2:", altitudParaFraccion(radioTierraKm, 0.5).toFixed(0), "km");

Las razones permiten usar la misma unidad para radio y altitud. La primera función devuelve las unidades recibidas para g; la segunda devuelve la unidad usada para el radio.

8.13 Generar una tabla para verificar la tendencia

const radioKm = 6371;
const g0Mps2 = 9.81;

for (let alturaEnR = 0; alturaEnR <= 5; alturaEnR++) {
  const alturaKm = alturaEnR * radioKm;
  const gMps2 = g0Mps2 / (1 + alturaEnR) ** 2;
  const porcentaje = 100 * gMps2 / g0Mps2;
  console.log(
    `h=${alturaEnR}R`,
    `(${alturaKm} km):`,
    gMps2.toFixed(3), "m/s² |",
    porcentaje.toFixed(2), "%"
  );
}

La tabla debe mostrar una secuencia decreciente. Entre h = 0 y h = R, la distancia al centro se duplica y el porcentaje baja de 100 % a 25 %.

8.14 Laboratorio interactivo: curva de gravedad

Elegí un astro idealizado y una altitud. El gráfico usa h/R en el eje horizontal y g/g₀ en el vertical, por lo que la forma de la curva es universal para cuerpos esféricos.

La curva celeste muestra la relación exacta; la línea amarilla horizontal corresponde a la fracción objetivo. El punto blanco indica la altitud seleccionada y el amarillo, la altitud calculada para el objetivo.

• Cambiá de astro: la curva relativa no cambia, pero sí la altitud en kilómetros y el valor de g.
• Elegí 25 % y usá el objetivo: el control debe ubicarse en h = R.
• Elegí 1 %: la altitud necesaria es 9R.
• Recorré alturas pequeñas: observá cuándo la diferencia con g₀ sería despreciable para tu aplicación.

8.15 Discretización y variación durante una simulación

En una simulación orbital calculamos g en cada paso usando la posición actual. Si el paso temporal es grande, el cuerpo puede recorrer una distancia importante entre evaluaciones y la aceleración puede cambiar demasiado.

La tasa de cambio es mayor cerca del astro. Por eso una integración que parece adecuada lejos puede perder precisión durante una aproximación cercana.

Este tema identifica la función espacial. La elección del integrador y del paso temporal se estudiará específicamente en el tema 35.

8.16 Errores frecuentes

• Usar h en lugar de R + h: la ley depende de la distancia al centro.
• Duplicar h y dividir g por cuatro: debe duplicarse r para aplicar esa proporción.
• Confundir porcentaje restante con disminución: suman 100 %, pero no expresan lo mismo.
• Aplicar la aproximación 2h/R a grandes alturas: solo sirve cuando h/R es pequeño.
• Afirmar que g llega a cero a distancia finita: el campo aislado se aproxima a cero.
• Asociar una altitud con una órbita automática: también se necesita una velocidad apropiada.
• Mezclar radio y altitud en unidades diferentes: deben compatibilizarse antes de sumarlos.

8.17 Ejercicio propuesto

Para una Tierra ideal con R = 6371 km y g₀ = 9,81 m/s², buscá la altitud donde la gravedad sea un noveno de la superficial.

1. Calculá la distancia al centro en múltiplos de R.
2. Calculá la altitud en radios y kilómetros.
3. Calculá el valor local de g.
4. Calculá el peso de una sonda de 500 kg.
5. Comprobá los resultados con JavaScript.

const radioTierraKm = 6371;
const g0Mps2 = 9.81;
const fraccion = 1 / 9;
const masaSondaKg = 500;

const alturaKm = radioTierraKm
  * (1 / Math.sqrt(fraccion) - 1);
const gLocalMps2 = g0Mps2 * fraccion;
const pesoN = masaSondaKg * gLocalMps2;

console.log("Altitud:", alturaKm.toFixed(0), "km");
console.log("g local:", gLocalMps2.toFixed(2), "m/s²");
console.log("Peso:", pesoN.toFixed(0), "N");

8.18 Ideas para recordar

• En el exterior de un astro esférico, g = GM/r².
• La distancia radial y la altitud se relacionan mediante r = R + h.
• La razón relativa es g/g₀ = [R/(R+h)]².
• Duplicar la distancia al centro reduce la gravedad a la cuarta parte.
• La altitud para una fracción q es h = R(1/√q − 1).
• La gravedad de una masa aislada disminuye continuamente y no se anula a distancia finita.
• En una simulación, la aceleración debe recalcularse cuando cambia la posición.

En el próximo tema estudiaremos la gravedad en el interior de un cuerpo esférico ideal y por qué no podemos aplicar allí toda la masa como si estuviera concentrada en el centro.