9. Gravedad en el interior de un cuerpo esférico ideal

9.1 Por qué necesitamos otro modelo

Para un punto exterior a un cuerpo esféricamente simétrico usamos g = GM/r² con toda la masa M concentrada idealmente en el centro. Si extendiéramos esa expresión hasta r = 0, predeciríamos una gravedad que crece sin límite.

Un cuerpo real no concentra toda su masa en un punto. Al entrar en una esfera, parte de la masa queda a distancias y direcciones muy diferentes. Debemos volver a sumar sus contribuciones teniendo en cuenta la simetría.

Trabajaremos con cuerpos perfectamente esféricos y distribuciones radialmente simétricas. Es un modelo ideal, no una descripción detallada del interior terrestre.

9.2 Pensar la esfera como capas concéntricas

Imaginemos el cuerpo dividido en capas esféricas muy delgadas, todas con el mismo centro. Para un punto interior situado a una distancia r, separamos las capas en dos grupos:

• capas con radio menor que r: están encerradas por la posición;
• capas con radio mayor que r: rodean la posición.

El teorema de las capas esféricas permite conocer el efecto de cada grupo sin sumar individualmente todas las pequeñas porciones.

9.3 Dos resultados del teorema de las capas

Para una capa esférica delgada y uniforme:

1. En un punto exterior, la capa atrae como si toda su masa estuviera concentrada en el centro.
2. En cualquier punto interior, la fuerza neta producida por toda la capa es cero.

El segundo resultado puede parecer extraño: la parte cercana de la capa atrae más intensamente, pero del lado lejano hay una región mayor de material que contribuye en sentido opuesto. Para una capa completa y simétrica, las contribuciones se cancelan exactamente.

«La capa no produce fuerza neta» no significa que cada porción deje de atraer. Significa que la suma vectorial de todas esas atracciones es cero.

9.4 La masa encerrada

Llamemos M(r) a la masa contenida dentro de una esfera imaginaria de radio r, centrada en el cuerpo. Las capas exteriores a esa esfera no contribuyen al campo neto en ese punto.

La gravedad interior queda:

Esta expresión se parece a la exterior, pero contiene una diferencia decisiva: M(r) cambia con la posición. Solo en la superficie, cuando r = R, la masa encerrada coincide con la masa total.

Para utilizarla necesitamos saber cómo está distribuida la masa, no únicamente su total.

9.5 Esfera de densidad uniforme

Supongamos que la densidad es constante: volúmenes iguales contienen masas iguales. La masa encerrada es proporcional al volumen de una esfera, que crece con el cubo del radio.

A la mitad del radio se encierra (1/2)³ = 1/8 de la masa total. A un cuarto del radio se encierra 1/64.

Este resultado solo vale para densidad uniforme. Si la densidad aumenta hacia el centro, la fracción encerrada puede ser mayor que (r/R)³.

9.6 Gravedad lineal dentro de la esfera uniforme

Sustituimos la masa encerrada en g(r):

En la superficie ideal, g_s = GM/R². Por lo tanto:

Dentro de una esfera uniforme, el módulo de la gravedad es directamente proporcional a la distancia al centro:

• en el centro, g = 0;
• a mitad del radio, g = g_s/2;
• en la superficie, g = g_s.

Este comportamiento lineal es muy diferente de aplicar incorrectamente GM/r² con la masa total.

9.7 Por qué g vale cero en el centro

En el centro de una distribución esféricamente simétrica, todas las direcciones son equivalentes. Por cada porción de masa existe otra en la dirección opuesta que aporta un vector contrario.

La resultante debe ser cero: cualquier vector no nulo elegiría una dirección privilegiada que la simetría no posee.

Esto no significa ausencia de materia ni que las atracciones individuales sean cero. Es una cancelación vectorial exacta en el modelo simétrico.

9.8 Dirección del campo interior

Fuera del centro, el campo continúa apuntando hacia el centro. En forma vectorial, si r⃗ es la posición medida desde el centro:

El signo negativo indica sentido opuesto al vector posición. A la derecha del centro, la aceleración apunta a la izquierda; a la izquierda, apunta a la derecha.

En el centro, r⃗ = 0 y la fórmula entrega directamente el vector cero sin dividir por la distancia. Esta forma evita la singularidad artificial del modelo puntual.

9.9 Un modelo continuo en la superficie

La expresión interior uniforme y la exterior deben coincidir en r = R:

El módulo no salta al cruzar la superficie ideal. Crece linealmente desde cero hasta g_s y luego disminuye como 1/r².

La pendiente sí cambia en la superficie del modelo de densidad uniforme, porque allí la densidad pasa abruptamente de un valor constante a cero. Esa discontinuidad de densidad es parte de la idealización.

9.10 Ejemplo resuelto: a mitad del radio

Modelamos la Tierra como una esfera uniforme con gravedad superficial g_s = 9,81 m/s². Queremos el campo a r = R/2.

1. Fracción de radio: r/R = 1/2.
2. Fracción de masa encerrada: M(r)/M = (1/2)³ = 1/8.
3. Gravedad interior: g = g_s(r/R) = 9,81/2 = 4,905 m/s².

También podemos comprobarlo con la masa encerrada:

Si usáramos toda la masa en el centro, obtendríamos cuatro veces la gravedad superficial. Ese resultado incorrecto ignora la cancelación de las capas exteriores.

9.11 El modelo uniforme no describe exactamente la Tierra

La densidad terrestre no es uniforme: las regiones profundas son, en promedio, más densas que muchas capas externas. Por eso la curva real de g en el interior no es una línea recta perfecta.

La regla general sigue siendo:

Lo que cambia es la función M(r). Puede obtenerse a partir de un modelo de densidad por capas o de datos geofísicos. Este curso usa la esfera uniforme para comprender el papel de la masa encerrada sin introducir un modelo planetario especializado.

9.12 Aproximar una densidad por capas

Un programa puede representar el cuerpo mediante capas concéntricas. Cada una almacena radio exterior y masa. Para un punto dado, sumamos la masa de las capas completamente encerradas y tratamos de manera apropiada la fracción de la capa que contiene el punto.

En un modelo introductorio con capas uniformes, la masa parcial dentro de una capa depende de la diferencia de volúmenes:

Este procedimiento mejora el perfil radial sin abandonar la simetría esférica. No representa variaciones laterales ni cuerpos deformados.

9.13 Implementación por tramos en JavaScript

const G = 6.67430e-11;

function gravedadEsferaUniforme(astro, distanciaCentroM) {
  if (astro.masaKg <= 0 || astro.radioM <= 0) {
    throw new RangeError("Masa y radio deben ser positivos");
  }
  if (distanciaCentroM < 0) {
    throw new RangeError("La distancia radial no puede ser negativa");
  }

  if (distanciaCentroM <= astro.radioM) {
    return G * astro.masaKg * distanciaCentroM / astro.radioM ** 3;
  }
  return G * astro.masaKg / distanciaCentroM ** 2;
}

const tierraIdeal = { masaKg: 5.972e24, radioM: 6.371e6 };
for (const fraccionR of [0, 0.5, 1, 2]) {
  const g = gravedadEsferaUniforme(
    tierraIdeal,
    fraccionR * tierraIdeal.radioM
  );
  console.log(fraccionR, "R:", g.toFixed(3), "m/s²");
}

Los resultados aproximados son 0; 4,910; 9,820 y 2,455 m/s². El valor superficial surge de los datos de masa y radio elegidos, por eso es 9,820 en lugar del redondeo 9,81.

9.14 Calcular el vector en una dimensión

Si usamos una coordenada firmada x que atraviesa el centro, el módulo depende de |x| y el sentido apunta hacia cero:

function aceleracionInterior1D(gSuperficieMps2, radioM, xM) {
  if (Math.abs(xM) > radioM) {
    throw new RangeError("Esta función representa solo el interior");
  }
  return -gSuperficieMps2 * xM / radioM;
}

const radioM = 6.371e6;
for (const xEnR of [-1, -0.5, 0, 0.5, 1]) {
  const ax = aceleracionInterior1D(9.81, radioM, xEnR * radioM);
  console.log("x =", xEnR, "R | ax =", ax.toFixed(3), "m/s²");
}

A la izquierda (x < 0) la aceleración es positiva; a la derecha es negativa. En ambos lados apunta hacia el centro.

La función calcula aceleraciones instantáneas. El estudio de movimientos repetitivos asociados a ciertas fuerzas se reservará para el curso de oscilaciones.

9.15 Laboratorio interactivo: del centro al exterior

Mové una sonda a lo largo de un diámetro de una esfera uniforme ideal. El gráfico muestra la componente firmada g_x y distingue la región interior de la exterior.

La franja sombreada indica el interior entre −R y R. La curva celeste muestra la componente g_x; el punto amarillo marca la sonda. El signo indica sentido sobre el eje.

• Elegí Centro: todas las contribuciones se cancelan y g = 0.
• Compará ±0,5R: los módulos son iguales y los signos opuestos.
• Cruzá la superficie: el valor es continuo aunque cambia la forma de la curva.
• Cambiá la masa del objeto: la fuerza cambia, pero g no.

9.16 Supuestos del laboratorio y del modelo

• El cuerpo es una esfera perfecta y no gira.
• La densidad es uniforme en todo su volumen.
• La sonda no altera la distribución de masa.
• No intervienen otras fuerzas ni otras fuentes gravitatorias.
• Un túnel hipotético no modifica de manera apreciable la masa del cuerpo.

Estos supuestos permiten aislar la relación entre radio encerrado, masa encerrada y campo. No constituyen un diseño de ingeniería para atravesar un planeta.

9.17 Errores frecuentes

• Usar toda M dentro de la esfera: debe emplearse la masa encerrada M(r).
• Creer que las capas exteriores no atraen: sus contribuciones existen, pero se cancelan vectorialmente.
• Suponer g infinita en el centro: esa singularidad pertenece al modelo puntual, no a la esfera uniforme.
• Confundir masa encerrada con fracción radial: en densidad uniforme crece como (r/R)³.
• Aplicar la relación lineal a cualquier planeta real: depende de la densidad uniforme.
• Perder el sentido del vector: en lados opuestos del centro, la componente cambia de signo.
• Producir un salto en R: las fórmulas interior y exterior deben coincidir en la superficie.

9.18 Ejercicio propuesto

Un asteroide esférico ideal de densidad uniforme tiene radio 800 m y gravedad superficial 0,12 m/s². Una sonda de 300 kg está en un túnel, a 200 m del centro.

1. Calculá r/R.
2. Calculá la fracción de masa encerrada.
3. Calculá el módulo de la aceleración gravitatoria.
4. Calculá el módulo de la fuerza sobre la sonda.
5. Indicá el sentido si la coordenada de la sonda es x = +200 m.

const radioM = 800;
const xM = 200;
const gSuperficieMps2 = 0.12;
const masaSondaKg = 300;

const fraccionRadio = Math.abs(xM) / radioM;
const fraccionMasa = fraccionRadio ** 3;
const axMps2 = -gSuperficieMps2 * xM / radioM;
const fuerzaXN = masaSondaKg * axMps2;

console.log("Masa encerrada:", (fraccionMasa * 100).toFixed(4), "%");
console.log("ax:", axMps2.toFixed(3), "m/s²");
console.log("Fx:", fuerzaXN.toFixed(1), "N");

9.19 Ideas para recordar

• Dentro de una capa esférica uniforme, su contribución gravitatoria neta es cero.
• En un punto interior actúa la masa encerrada: g = GM(r)/r².
• Para densidad uniforme, M(r) = M(r/R)³.
• Dentro de una esfera uniforme, g = g_sr/R.
• El campo vale cero en el centro, alcanza g_s en la superficie y es continuo allí.
• La dirección siempre apunta hacia el centro y cambia de signo al cruzarlo.
• Una densidad no uniforme requiere calcular otra función de masa encerrada.

En el próximo tema distinguiremos peso, peso aparente, caída libre e ingravidez orbital.