13. Homogeneidad dimensional y verificación de fórmulas

13.1 Una prueba antes de calcular

Una fórmula puede parecer correcta y producir un número, pero combinar magnitudes incompatibles. El análisis dimensional permite detectar muchos de estos errores sin conocer valores concretos.

Si una fórmula afirma que una distancia es igual a una velocidad más un tiempo, sabemos que algo falla: longitud, longitud/tiempo y tiempo son dimensiones diferentes.

La comprobación dimensional es rápida, independiente de las unidades particulares y puede automatizarse en un programa.

13.2 Principio de homogeneidad dimensional

Una ecuación es dimensionalmente homogénea cuando las dimensiones de sus dos miembros coinciden. Además, todos los términos unidos mediante suma o resta deben tener la misma dimensión.

Los productos y cocientes sí pueden combinar dimensiones distintas, generando una nueva dimensión. Por ejemplo, masa por aceleración produce fuerza.

La homogeneidad debe mantenerse para cualquier sistema coherente de unidades, no solo para los valores particulares de un ejemplo.

13.3 Ejemplo: posición con velocidad constante

Consideremos la fórmula x = x₀ + v t. Las posiciones tienen dimensión L, la velocidad L·T⁻¹ y el tiempo T.

Los tres términos tienen dimensión longitud. La ecuación supera la prueba dimensional.

Si escribiéramos por error x = x₀ + v t², el último término tendría dimensión L·T y no podría sumarse a una posición.

13.4 Método sistemático

1. Identificar
   Listar todas las magnitudes de la fórmula.
2. Sustituir
   Reemplazar cada magnitud por su dimensión.
3. Operar
   Simplificar productos, cocientes y potencias.
4. Comparar
   Revisar miembros y términos sumados.
5. Concluir
   Indicar si es homogénea y qué error aparece.

Conviene analizar por separado cada término antes de comparar. Así podemos señalar exactamente dónde aparece una incompatibilidad.

13.5 Sumas y restas

La suma es la operación más restrictiva: solo combina cantidades de la misma dimensión. En una expresión como a + b + c, los tres términos deben ser comparables.

Tener la misma dimensión no significa tener la misma unidad. Antes de sumar valores debemos convertirlos a una unidad común.

13.6 Productos, cocientes y potencias

En productos se suman exponentes dimensionales; en cocientes se restan; al elevar a una potencia se multiplican los exponentes.

Las raíces dividen los exponentes. Si una expresión contiene √(L/g) y [g] = L·T⁻²:

13.7 Constantes y coeficientes

Los números puros como 2, 1/2 y π son adimensionales. No modifican la dimensión de un término.

Sin embargo, no toda constante es adimensional. La constante gravitatoria G, la constante elástica k y otras constantes físicas poseen dimensiones necesarias para que las ecuaciones sean homogéneas.

Por eso no debemos eliminar una letra del análisis solo porque se la llame “constante”. Primero debemos saber si representa un número puro o una cantidad física constante.

13.8 Argumentos de funciones

Los argumentos de funciones como seno, coseno, exponencial y logaritmo deben ser adimensionales. No tendría significado aplicar directamente sin(3 m).

En una oscilación, x = A sin(ωt), la frecuencia angular tiene dimensión T⁻¹. Por lo tanto:

El seno produce un número adimensional, que al multiplicarse por la amplitud A da una posición con dimensión L.

13.9 Encontrar exponentes desconocidos

La homogeneidad puede ayudar a determinar la forma posible de una relación. Supongamos que un tiempo T depende de una longitud l y una aceleración g como T ∝ l^ag^b.

Igualando exponentes: a + b = 0 y −2b = 1. Entonces b = −1/2 y a = 1/2, por lo que T es proporcional a √(l/g).

El método no determina el coeficiente adimensional; para un péndulo simple, el modelo completo contiene 2π.

13.10 Detectar unidades faltantes

En programación es frecuente encontrar constantes numéricas sin unidad documentada. Si una actualización usa:

y posición tiene dimensión L, entonces constante × tiempo también debe tener L. Por lo tanto, la constante debe tener dimensión L·T⁻¹: representa una velocidad.

Este razonamiento no descubre su unidad concreta, pero indica qué tipo de dato y documentación hacen falta.

13.11 Lo que la prueba no demuestra

Superar la verificación dimensional es una condición necesaria para una ecuación física, pero no garantiza que sea correcta.

Ambas expresiones tienen dimensión de energía, pero solo la segunda corresponde a la energía cinética clásica. El análisis no detecta el factor 1/2.

Tampoco detecta signos equivocados, confunde magnitudes distintas con la misma dimensión ni valida los supuestos del modelo.

13.12 Verificador interactivo de fórmulas

Seleccioná una fórmula para comparar las dimensiones de cada miembro y localizar posibles incompatibilidades.

13.13 Verificación dimensional en JavaScript

Podemos representar una dimensión mediante exponentes y comparar dos vectores:

const longitud = { M: 0, L: 1, T: 0 };
const velocidad = { M: 0, L: 1, T: -1 };
const tiempo = { M: 0, L: 0, T: 1 };

function multiplicar(a, b) {
  return { M: a.M + b.M, L: a.L + b.L, T: a.T + b.T };
}

function mismaDimension(a, b) {
  return a.M === b.M && a.L === b.L && a.T === b.T;
}

const velocidadPorTiempo = multiplicar(velocidad, tiempo);
console.log(mismaDimension(longitud, velocidadPorTiempo));

El resultado es true. Para comprobar una expresión completa también habría que modelar sumas, divisiones, potencias y las siete dimensiones base.

13.14 Estrategia para revisar código

1. Documentar la magnitud y unidad de cada entrada.
2. Anotar la dimensión esperada de la salida.
3. Separar la expresión en operaciones pequeñas.
4. Comprobar dimensiones y unidades en cada resultado intermedio.
5. Probar valores simples y órdenes de magnitud razonables.

Los nombres como velocidadMps ayudan, pero no sustituyen una validación. En proyectos críticos pueden utilizarse tipos o bibliotecas de cantidades con unidades.

13.15 Ejercicios propuestos

1. Verificá si d = v/t puede representar una distancia.
2. Verificá v = v₀ + a t.
3. Comprobá si p = F·A puede representar presión.
4. Determiná la dimensión que debe tener k en F = k x.
5. Explicá por qué la homogeneidad no permite elegir entre E = m v² y E = ½m v².

13.16 Ideas para recordar

• Los dos miembros de una ecuación física deben tener la misma dimensión.
• Solo se suman o restan términos dimensionalmente iguales.
• Los argumentos de funciones trascendentes deben ser adimensionales.
• La homogeneidad ayuda a descubrir dimensiones y exponentes desconocidos.
• Una fórmula no homogénea es incorrecta; una homogénea es solo dimensionalmente posible.
• La prueba no detecta coeficientes, signos, supuestos ni magnitudes distintas con igual dimensión.

En el próximo tema estudiaremos escalas lineales, cuadráticas, cúbicas y logarítmicas.