14.1 ¿Qué significa escala?
La palabra escala puede referirse a las marcas de un instrumento, a la correspondencia de un mapa o gráfico, o a la forma matemática en que una cantidad cambia respecto de otra.
En este tema nos concentraremos en esta última idea. Si multiplicamos una longitud por un factor k, algunas cantidades cambian por k, otras por k² o k³, y otras se representan mejor mediante logaritmos.
Distinguir estas relaciones evita extrapolaciones incorrectas. Duplicar una dimensión no siempre duplica todo lo relacionado con el objeto.
14.2 Relaciones lineales
Una relación lineal de proporcionalidad directa tiene la forma y = k x, donde k es constante. Si x se multiplica por un factor, y se multiplica por el mismo factor.
Si el lado pasa de 2 m a 6 m, se multiplica por 3. El perímetro pasa de 8 m a 24 m: también se multiplica por 3.
En un gráfico cartesiano, y = kx es una recta que pasa por el origen. La pendiente representa la razón constante k.
14.3 Lineal no siempre significa proporcional
Una función de la forma y = m x + b también es lineal en el uso elemental, pero si b no es cero no existe proporcionalidad directa.
La conversión entre Celsius y Fahrenheit es un ejemplo:
Duplicar una temperatura Celsius no duplica su valor Fahrenheit, porque ambas escalas tienen orígenes diferentes. La relación es afín y su gráfico es una recta que no pasa por el origen.
14.4 Proporcionalidad inversa
En una relación inversa y = k/x, multiplicar x por un factor divide y por ese mismo factor.
Si duplicamos la velocidad ideal manteniendo la distancia, el tiempo se reduce a la mitad. La relación no es lineal y no debe confundirse con una proporcionalidad directa.
14.5 Relaciones cuadráticas
Una relación cuadrática de proporcionalidad tiene la forma y = k x². Al multiplicar x por un factor f, y se multiplica por f².
Si duplicamos el lado, el área se multiplica por 2² = 4. Si triplicamos el lado, se multiplica por 3² = 9.
Esta es la razón geométrica por la que el factor de conversión de una unidad de área debe elevarse al cuadrado.
14.6 Leyes del inverso del cuadrado
Algunas cantidades disminuyen de forma proporcional a 1/r². Si la distancia r se duplica, la cantidad pasa a 1/4; si se triplica, pasa a 1/9.
Este comportamiento aparece cuando una influencia se distribuye sobre superficies cuya área crece como r². La relación exacta y sus condiciones dependen del fenómeno estudiado.
No debemos reemplazar una ley concreta por “todo disminuye con el cuadrado”: primero hay que justificar el modelo.
14.7 Relaciones cúbicas
Una relación cúbica tiene la forma y = k x³. Cuando todas las dimensiones lineales de un objeto semejante cambian por un factor f, su volumen cambia por f³.
Al duplicar el lado, el volumen se multiplica por 8. Al reducirlo a la mitad, el volumen se multiplica por (1/2)³ = 1/8.
Si la densidad permanece constante, la masa también crece como el volumen. Por eso objetos geométricamente semejantes no aumentan su masa de forma lineal con su tamaño.
14.8 Comparar factores
| Factor f | Lineal f | Cuadrático f² | Cúbico f³ |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,5 | 0,25 | 0,125 |
| 2 | 2 | 4 | 8 |
| 3 | 3 | 9 | 27 |
| 10 | 10 | 100 | 1000 |
Para factores mayores que uno, las relaciones cúbicas crecen más rápido. Para factores entre cero y uno, disminuyen más rápido.
14.9 Escalas logarítmicas
Una escala logarítmica representa el exponente o logaritmo de una razón, en lugar de la razón directamente. En base diez, cada incremento igual corresponde a multiplicar por diez.
log₁₀(10) = 1
log₁₀(100) = 2
log₁₀(1000) = 3
En una escala lineal, la distancia entre 1 y 10 es nueve veces la distancia entre 1 y 2. En una escala logarítmica, 1, 10, 100 y 1000 quedan igualmente separados porque cada paso multiplica por diez.
14.10 ¿Por qué usar logaritmos?
Las escalas logarítmicas son útiles cuando los valores abarcan muchos órdenes de magnitud o cuando interesan razones multiplicativas.
- Comprimen intervalos enormes en una representación manejable.
- Transforman productos en sumas de logaritmos.
- Permiten comparar cambios relativos en vez de diferencias absolutas.
- Hacen visibles valores pequeños y grandes en un mismo gráfico.
No pueden representar directamente valores cero o negativos mediante el logaritmo real de la cantidad. Es necesario definir cuidadosamente qué razón se transforma.
14.11 Decibelios como ejemplo
El decibelio expresa niveles logarítmicos relativos. Para una razón de potencias se utiliza:
Una razón de potencia de 10 corresponde a 10 dB; una razón de 100, a 20 dB. Los decibelios se suman cuando las razones se multiplican.
Para magnitudes de campo cuya potencia es proporcional al cuadrado —como ciertas amplitudes— aparece el factor 20. No debe elegirse 10 o 20 sin conocer la relación física y la referencia.
14.12 Gráficos lineales y logarítmicos
Una relación exponencial puede verse como recta en un gráfico semilogarítmico. Una ley de potencia y = kxn se transforma en recta en un gráfico log-log, cuya pendiente es n.
Siempre debemos leer las etiquetas y marcas del eje antes de interpretar distancias visuales.
14.13 Elegir e interpretar la escala
Una escala lineal es apropiada para comparar diferencias absolutas dentro de un intervalo moderado. Una logarítmica resulta útil para razones y valores que cubren varias potencias de diez.
La elección modifica la apariencia, no los datos. Una curva puede parecer más estable o más pronunciada según la escala; por eso debe indicarse explícitamente.
En instrumentos, una escala también puede ser no uniforme. No debemos asumir que la mitad de la longitud gráfica representa la mitad del valor si las marcas son logarítmicas.
14.14 Comparador interactivo de escalas
Modificá el factor aplicado a una dimensión y compará su efecto lineal, cuadrático, cúbico y logarítmico.
Efecto de un factor
Las barras usan una representación logarítmica común para que todos los resultados sean visibles.
f = 2 → f² = 4 → f³ = 8
Al duplicar una dimensión, una cantidad lineal se duplica, una cuadrática se multiplica por 4 y una cúbica por 8.
14.15 Relaciones de escala en JavaScript
function efectosDeEscala(factor) {
if (factor <= 0) {
throw new Error("El factor debe ser positivo");
}
return {
lineal: factor,
cuadratico: factor ** 2,
cubico: factor ** 3,
logaritmo: Math.log10(factor)
};
}
console.log(efectosDeEscala(2));El objeto resultante contiene 2, 4, 8 y aproximadamente 0,301. La validación exige un factor positivo porque el logaritmo real no está definido para cero ni para valores negativos.
14.16 Errores frecuentes
- Suponer crecimiento lineal: duplicar longitudes cuadruplica áreas y octuplica volúmenes semejantes.
- Confundir función lineal con proporcionalidad: una ordenada no nula cambia el comportamiento.
- Invertir una ley: proporcional a x² no es lo mismo que proporcional a 1/x².
- Leer un eje logarítmico como lineal: espacios iguales representan razones, no diferencias.
- Aplicar logaritmo a cero: no existe un logaritmo real de cero.
- Usar decibelios sin referencia: expresan una razón respecto de un valor definido o implícito.
14.17 Ejercicios propuestos
- Si el lado de un cuadrado se multiplica por 5, ¿cómo cambia su perímetro y su área?
- Si todas las dimensiones de un cubo se reducen a un tercio, ¿cómo cambia su volumen?
- En una relación inversa al cuadrado, ¿qué sucede al duplicar la distancia?
- Calculá log₁₀(100 000) y la razón de potencia correspondiente en decibelios respecto de 1.
- Explicá la diferencia visual entre un eje lineal y uno logarítmico.
Ver soluciones y explicaciones
- El perímetro se multiplica por 5 y el área por 25.
- El volumen se multiplica por (1/3)³ = 1/27.
- Se multiplica por 1/2² = 1/4.
- log₁₀(100 000) = 5; 10 log₁₀(100 000/1) = 50 dB.
- En el eje lineal, distancias iguales son diferencias iguales; en el logarítmico, son razones iguales.
14.18 Ideas para recordar
- Una relación proporcional lineal conserva el factor de cambio.
- Las relaciones cuadráticas elevan el factor al cuadrado y las cúbicas, al cubo.
- Las relaciones inversas disminuyen cuando aumenta la variable independiente.
- En una escala logarítmica, intervalos iguales representan razones iguales.
- La escala adecuada depende del intervalo y del tipo de comparación.
- La representación puede cambiar la apariencia de los datos, pero no sus valores.
En el próximo tema estudiaremos instrumentos de medición: alcance, resolución y sensibilidad.