18. Mediciones repetidas, promedio y dispersión

18.1 ¿Por qué repetir una medición?

Si medimos varias veces la duración de un mismo fenómeno, es habitual obtener resultados ligeramente distintos. Cambian el tiempo de reacción, la lectura de una escala, el ambiente y otras influencias difíciles de controlar por completo.

Una única lectura no muestra esa variabilidad. Una serie de mediciones repetidas, realizadas bajo condiciones comparables, permite estimar un valor representativo y estudiar la dispersión.

18.2 Repetibilidad y condiciones de medición

Para que la comparación sea útil se procura mantener el mismo método, instrumento, operador y ambiente durante un intervalo breve. La proximidad entre los resultados obtenidos se denomina repetibilidad.

Repetir no corrige automáticamente un instrumento desajustado. Las repeticiones revelan principalmente variación aleatoria; un sesgo sistemático puede desplazar toda la serie en la misma dirección.

18.3 Registrar antes de calcular

Conviene anotar cada lectura tal como se obtiene, con su unidad y resolución, sin descartar valores ni redondear prematuramente. También se registran las condiciones que podrían explicar cambios: hora, temperatura, instrumento o procedimiento.

18.4 La media aritmética

Para n resultados x₁, x₂, …, x_n, la media aritmética se representa con x̄:

En el ejemplo: x̄ = (2,03 + 1,98 + 2,01 + 2,00 + 2,04) s / 5 = 2,012 s. La media utiliza toda la información, aunque puede verse afectada por valores extremos.

18.5 Media, mediana y moda

• Media: suma de las mediciones dividida por su cantidad.
• Mediana: valor central después de ordenar los datos; es menos sensible a extremos.
• Moda: valor más frecuente; puede no existir o haber más de una.

En series aproximadamente simétricas sin valores anómalos, la media suele ser el resumen principal. Elegir otro indicador requiere justificar qué característica de los datos se desea representar.

18.6 Desviaciones respecto de la media

La desviación de cada lectura es d_i = x_i − x̄. Una desviación positiva queda por encima de la media y una negativa, por debajo.

La suma de todas las desviaciones es cero, salvo diferencias de redondeo. Por eso no basta promediarlas para describir dispersión: las positivas y negativas se cancelarían.

18.7 Rango: una primera medida de dispersión

Para los períodos anteriores, el rango es 2,04 s − 1,98 s = 0,06 s. Es fácil de interpretar, pero solo utiliza dos observaciones y tiende a crecer al aumentar la cantidad de mediciones.

18.8 Desviación estándar muestral

La desviación estándar muestral s combina las diferencias de todas las mediciones respecto de su media:

Se divide por n − 1 porque la serie se trata como una muestra de posibles observaciones. s tiene la misma unidad que la magnitud medida. Solo puede calcularse con dos o más valores.

18.9 Varianza y unidades

La varianza muestral es s². Si se mide longitud en metros, la desviación estándar se expresa en metros y la varianza en metros cuadrados. Aunque la varianza es útil en los cálculos, la desviación estándar suele ser más intuitiva por conservar la unidad original.

18.10 Desviación estándar y error estándar no son lo mismo

La desviación estándar describe la dispersión de las lecturas individuales. El error estándar de la media estima la variabilidad asociada al promedio:

Al aumentar n, el error estándar suele disminuir, pero esto no elimina sesgos del método ni garantiza por sí solo exactitud.

18.11 Dispersión relativa

Para comparar series con escalas diferentes puede utilizarse el coeficiente de variación:

El CV carece de unidad y debe interpretarse con cuidado cuando la media es cero o está muy próxima a cero, situación en la que deja de ser informativo.

18.12 Valores atípicos

Un dato alejado puede deberse a un error de transcripción, una falla identificable, un cambio real o simplemente una observación poco frecuente. No debe eliminarse solo porque modifica el promedio.

1. Comprobar el registro y la unidad.
2. Revisar las condiciones y el procedimiento.
3. Aplicar, si corresponde, un criterio definido antes de observar los resultados.
4. Conservar documentadas tanto la decisión como su causa.

18.13 Laboratorio de mediciones repetidas

Ingresá al menos dos mediciones de una misma magnitud. Podés separarlas con punto y coma, espacios o saltos de línea; la coma se interpreta como separador decimal.

18.14 Presentación de un resultado repetido

Una forma frecuente de informar la serie es indicar la media, una medida de dispersión o incertidumbre, la unidad, la cantidad de observaciones y las condiciones relevantes. Por ejemplo:

Si se informa como x̄ ± s o x̄ ± s_x̄, debe nombrarse expresamente cuál de las dos cantidades acompaña a la media. El símbolo ± por sí solo no explica su significado.

18.15 Cifras y redondeo del informe

Los cálculos intermedios conservan algunos dígitos adicionales. Al presentar el resultado, se redondea la dispersión o incertidumbre a una o dos cifras significativas y la media a la misma posición decimal.

Si s = 0,024083 s, puede informarse s = 0,024 s y x̄ = 2,012 s. No sería coherente escribir 2,012000 s ± 0,024 s.

18.16 Implementación básica en JavaScript

const datos = [2.03, 1.98, 2.01, 2.00, 2.04];
const n = datos.length;
const media = datos.reduce((suma, x) => suma + x, 0) / n;
const sumaCuadrados = datos.reduce(
  (suma, x) => suma + (x - media) ** 2, 0
);
const desviacionMuestral = Math.sqrt(sumaCuadrados / (n - 1));
const errorEstandar = desviacionMuestral / Math.sqrt(n);

console.log("Cantidad:", n);
console.log("Media:", media.toFixed(3), "s");
console.log("Desviación estándar:", desviacionMuestral.toFixed(3), "s");
console.log("Error estándar:", errorEstandar.toFixed(3), "s");

El código usa n − 1, por lo que requiere al menos dos observaciones. En aplicaciones reales también deben validarse las entradas, conservarse los datos originales y documentarse las unidades.

18.17 Errores frecuentes

• Mezclar mediciones tomadas en condiciones o unidades diferentes.
• Confundir la desviación estándar de los datos con el error estándar de la media.
• Eliminar valores alejados sin investigar ni documentar una causa.
• Redondear cada lectura o cálculo intermedio en exceso.
• Suponer que muchas repeticiones corrigen un error sistemático.
• Informar solo el promedio, sin dispersión, unidad ni cantidad de datos.

18.18 Ejercicios propuestos

1. Para 10,2 cm; 10,4 cm; 10,3 cm; 10,5 cm y 10,1 cm, calculá media, rango y desviación estándar muestral.
2. Calculá el error estándar del ejercicio anterior y explicá qué cantidad describe.
3. Compará las series A = {5,0; 5,1; 4,9} V y B = {5,0; 5,8; 4,2} V. ¿Pueden tener igual media y distinta dispersión?
4. En {20,1; 20,2; 20,1; 29,7} °C, describí qué investigarías antes de decidir sobre el último valor.
5. Usá el laboratorio con tus propios datos y redactá un informe que incluya x̄, s, n y unidad.

18.19 Ideas para recordar

• Las repeticiones hacen visible la variabilidad del proceso de medición.
• La media describe el centro; el rango y la desviación estándar, la dispersión.
• La desviación estándar caracteriza lecturas y el error estándar caracteriza la media.
• Repetir reduce la influencia del azar sobre la media, pero no elimina sesgos.
• Un resultado completo comunica valor, estadística usada, unidad, cantidad de datos y condiciones.

En el próximo tema estudiaremos cómo las incertidumbres de las entradas se propagan cuando esas magnitudes intervienen en un cálculo.