19. Propagación de incertidumbres en cálculos sencillos

19.1 De las mediciones al resultado calculado

Una velocidad puede obtenerse dividiendo una distancia por un tiempo; un área, multiplicando dos longitudes. Aunque la operación matemática sea exacta, sus entradas proceden de mediciones y poseen incertidumbre.

La propagación de incertidumbres permite estimar cómo esas incertidumbres de entrada influyen en la magnitud de salida.

19.2 Valor e incertidumbre de entrada

Representaremos una entrada como x ± u(x), donde x es la mejor estimación y u(x) su incertidumbre estándar. Por ejemplo, L = (2,00 ± 0,01) m.

La incertidumbre no es un error conocido que deba sumarse o restarse al valor para “corregirlo”. Describe la duda cuantificada asociada al resultado.

19.3 Incertidumbre absoluta y relativa

• Absoluta: u(x), expresada en la misma unidad que x.
• Relativa: u_r(x) = u(x) / |x|, sin unidad.
• Porcentual: 100 × u_r(x) %.

Para L = (2,00 ± 0,01) m, la incertidumbre relativa es 0,01 / 2,00 = 0,005, equivalente al 0,5 %.

19.4 La idea de sensibilidad

Si y = f(x), una pequeña variación de x produce aproximadamente una variación de salida igual a la pendiente local multiplicada por la variación de entrada:

La derivada actúa como coeficiente de sensibilidad. Una salida muy sensible a una entrada puede recibir de ella una contribución grande, incluso cuando su incertidumbre sea pequeña.

19.5 Regla general para entradas independientes

Para y = f(x₁, x₂, …), con incertidumbres pequeñas, estándar e independientes, la aproximación de primer orden es:

Las contribuciones se combinan mediante la raíz de la suma de cuadrados. Así se evita asumir que todas las desviaciones actúan simultáneamente en la misma dirección.

19.6 Suma de dos magnitudes

Si z = x + y, ambos coeficientes de sensibilidad valen 1:

Ejemplo: x = (12,0 ± 0,2) cm e y = (5,0 ± 0,1) cm. Entonces z = 17,0 cm y u(z) = √(0,2² + 0,1²) cm ≈ 0,22 cm.

19.7 Resta de dos magnitudes

Para z = x − y, las derivadas son 1 y −1. Al elevarlas al cuadrado, el signo desaparece:

Por eso, aunque los valores se resten, las incertidumbres estándar independientes no se restan. Si dos longitudes cercanas se restan, la incertidumbre relativa del pequeño resultado puede ser muy grande.

19.8 Multiplicación

Para z = x·y puede trabajarse con incertidumbres absolutas:

Cuando x e y no son cero, la forma relativa equivalente resulta especialmente sencilla:

19.9 División

Para z = x/y, con y distinto de cero, también se combinan las incertidumbres relativas:

Ejemplo: d = (100,0 ± 0,5) m y t = (9,8 ± 0,1) s producen v ≈ 10,20 m/s, con una incertidumbre relativa aproximada del 1,14 % y u(v) ≈ 0,12 m/s.

19.10 Potencias

Si z = x^p y el exponente p es exacto:

En un área A = L², la incertidumbre relativa de A es aproximadamente dos veces la de L. El exponente amplifica o reduce la sensibilidad relativa.

19.11 Constantes y factores exactos

Si z = a·x y a es una constante exacta, entonces u(z) = |a|u(x). Una conversión definida, como 1 min = 60 s exactamente, escala valor e incertidumbre sin añadir otra fuente.

Una constante experimental tabulada, en cambio, puede poseer incertidumbre y debe tratarse como otra entrada si su contribución no es despreciable.

19.12 Un ejemplo completo: densidad

Un cuerpo tiene masa m = (250,0 ± 0,5) g y volumen V = (100,0 ± 1,0) cm³. La densidad es ρ = m/V = 2,500 g/cm³.

Por lo tanto u(ρ) ≈ 2,500 × 0,0102 g/cm³ ≈ 0,026 g/cm³. Un reporte razonable es ρ = (2,500 ± 0,026) g/cm³. La medición del volumen aporta la mayor contribución.

19.13 ¿Qué entrada conviene mejorar?

El cuadrado de cada término de sensibilidad representa su aporte a la varianza combinada. Compararlos permite identificar dónde una mejora tendría mayor efecto.

No siempre conviene perfeccionar la entrada con mayor incertidumbre absoluta: importan también la fórmula, las unidades y la sensibilidad de la salida.

19.14 Calculadora de propagación

Elegí una operación e ingresá valores e incertidumbres estándar no negativas. La calculadora supone que x e y son independientes.

19.15 Entradas correlacionadas

Las reglas anteriores suponen independencia. Si dos entradas comparten instrumento, calibración o procedimiento, pueden estar correlacionadas. En ese caso aparecen términos de covarianza y la incertidumbre combinada puede aumentar o disminuir.

Una cancelación solo es válida cuando la correlación está justificada y cuantificada; no debe suponerse porque resulte conveniente.

19.16 Límites de la aproximación lineal

La propagación con derivadas aproxima la función cerca de los valores medidos. Puede ser insuficiente si las incertidumbres son grandes, la función es fuertemente no lineal, existen límites físicos o el denominador está cerca de cero.

En esas situaciones pueden emplearse métodos numéricos, como simulaciones de Monte Carlo, junto con un modelo probabilístico apropiado.

19.17 Presentación y redondeo

Primero se realizan los cálculos con dígitos adicionales. Al final, la incertidumbre suele redondearse a una o dos cifras significativas y el valor se lleva a la misma posición decimal.

También deben informarse la unidad, el significado de la incertidumbre y, cuando sea relevante, el método empleado. Escribir 10,20 ± 0,12 m/s comunica más que un símbolo ± sin definición.

19.18 Implementación básica en JavaScript

function cociente(x, ux, y, uy) {
  if (y === 0) throw new Error("División por cero");

  const z = x / y;
  const aporteX = ux / y;
  const aporteY = x * uy / (y ** 2);
  const uz = Math.hypot(aporteX, aporteY);

  return { valor: z, incertidumbre: uz };
}

const velocidad = cociente(100.0, 0.5, 9.8, 0.1);
console.log("Velocidad:", velocidad.valor.toFixed(2), "m/s");
console.log("Incertidumbre:", velocidad.incertidumbre.toFixed(2), "m/s");

Math.hypot calcula la raíz de la suma de cuadrados. Esta forma con derivadas funciona incluso cuando x vale cero, siempre que el modelo siga siendo válido.

19.19 Errores frecuentes

• Sumar incertidumbres linealmente sin indicar que se está calculando un límite máximo.
• Restar incertidumbres cuando se restan los valores.
• Confundir incertidumbre absoluta con relativa.
• Ignorar unidades en los términos de sensibilidad.
• Aplicar fórmulas de independencia a entradas correlacionadas.
• Redondear los pasos intermedios o presentar dígitos injustificados.

19.20 Ejercicios propuestos

1. Calculá el perímetro P = 2(a + b) para a = (8,0 ± 0,1) cm y b = (5,0 ± 0,1) cm.
2. Hallá el área A = L·W para L = (2,00 ± 0,02) m y W = (1,50 ± 0,01) m.
3. Calculá v = d/t para d = (25,0 ± 0,2) m y t = (4,00 ± 0,05) s e identificá la entrada dominante.
4. Una esfera tiene radio r = (3,00 ± 0,02) cm. Estimá la incertidumbre de su volumen V = (4/3)πr³ considerando exactos 4/3 y π.
5. Explicá por qué z = (10,0 ± 0,2) cm − (9,8 ± 0,2) cm posee una incertidumbre relativa grande.

19.21 Ideas para recordar

• Todo resultado calculado hereda incertidumbre de sus entradas.
• Las derivadas expresan cuánto responde la salida a cada entrada.
• Para entradas independientes, las contribuciones se combinan cuadráticamente.
• En sumas y restas resulta natural la forma absoluta; en productos y cocientes, la relativa.
• Las hipótesis del modelo son tan importantes como la fórmula.

En el próximo tema estudiaremos calibración, trazabilidad y patrones, elementos que permiten relacionar un resultado con referencias reconocidas.