10.1 Representar un movimiento angular
Una ecuación permite calcular el estado en cualquier instante, pero una tabla organiza valores concretos y un gráfico revela tendencias. Las tres representaciones —verbal, algebraica y gráfica— deben describir el mismo movimiento.
Para cada instante podemos registrar posición angular θ, velocidad angular ω y aceleración angular α. Al comparar filas observamos cambios; al graficarlas reconocemos pendientes, curvaturas, áreas y cruces por cero.
10.2 Construir una tabla
Elegimos instantes de muestreo y evaluamos las variables con unidades coherentes. Para θ0 = 0, ω0 = 1 rad/s y α = 2 rad/s²:
| t (s) | θ (rad) | ω (rad/s) | α (rad/s²) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 2 | 6 | 5 | 2 |
| 3 | 12 | 7 | 2 |
Las diferencias de θ por segundo no son constantes porque ω aumenta. Las diferencias de ω sí son constantes: α = 2 rad/s².
10.3 Qué muestra cada gráfico
θ frente a t
Muestra la posición angular acumulada. Su pendiente es ω.
ω frente a t
Muestra el ritmo y el sentido del giro. Su pendiente es α.
α frente a t
Muestra cómo cambia ω. Su área con signo es Δω.
El eje horizontal representa tiempo. Los ejes verticales representan magnitudes distintas y no deben compartir etiquetas ni unidades.
10.4 Pendiente de θ(t)
Entre dos puntos de un gráfico θ(t), la pendiente de la secante es:
La pendiente de la tangente en un instante es ω instantánea. Una pendiente positiva indica giro antihorario; una negativa, horario; una tangente horizontal indica ω = 0.
Una gráfica puede encontrarse debajo de θ = 0 y tener pendiente positiva. La posición angular negativa no obliga a que el movimiento sea horario.
10.5 Pendiente de ω(t)
Una recta creciente representa α positiva constante y una decreciente, α negativa constante. Una línea horizontal puede estar por encima o por debajo de cero: en ambos casos α = 0, aunque ω sea positiva o negativa.
Cuando ω(t) cruza el eje horizontal, el cuerpo se detiene instantáneamente y puede invertir el sentido si la curva continúa al otro lado.
10.6 Áreas con signo
El área algebraica entre ω(t) y el eje temporal representa el desplazamiento angular:
Las regiones con ω positiva aportan desplazamiento positivo; las regiones negativas, desplazamiento negativo. La suma puede ser cero aunque el cuerpo haya girado en ambos sentidos.
De forma análoga, el área con signo bajo α(t) representa Δω. Para tramos rectangulares o triangulares puede calcularse geométricamente; para curvas generales se aproxima mediante sumas numéricas.
10.7 Formas características
| Modelo | θ(t) | ω(t) | α(t) |
|---|---|---|---|
| Reposo angular | Horizontal | Cero | Cero |
| ω constante | Recta | Horizontal | Cero |
| α constante no nula | Parábola | Recta | Horizontal |
| α variable | Curva general | Curva general | Variable |
Reconocer una forma sugiere un modelo, pero los datos reales incluyen ruido. Debemos evaluar si las desviaciones son compatibles con la precisión de medición.
10.8 Ángulo acumulado frente a ángulo normalizado
Para analizar el movimiento graficamos preferentemente θ acumulado. Si normalizamos al intervalo [0, 2π), una rotación uniforme positiva genera una forma de dientes de sierra: el valor salta de casi 2π a 0 en cada vuelta.
Esos saltos producen pendientes enormes y falsas si se aplican diferencias finitas directamente. Antes de calcular ω a partir de orientaciones medidas debemos desenvolver la secuencia, agregando o quitando vueltas para recuperar continuidad.
10.9 Muestreo y resolución temporal
El paso de muestreo Δt determina cada cuánto registramos el estado. Un paso demasiado grande puede ocultar variaciones, detenciones e incluso vueltas completas. Este problema se conoce como submuestreo.
Un paso menor ofrece más detalle, pero genera más datos y puede amplificar ruido al calcular derivadas. Debemos elegirlo según la rapidez del fenómeno y la precisión requerida.
Las marcas de tiempo deben almacenarse junto con los valores: no siempre llegan a intervalos exactamente uniformes.
10.10 Estimar ω y α desde una tabla
Con muestras consecutivas:
Una diferencia central alrededor de ti suele ser más precisa:
Las derivadas numéricas amplifican pequeñas fluctuaciones. Redondear θ antes de diferenciar puede degradar mucho el resultado.
10.11 Comparar datos con un modelo
Si suponemos α constante, calculamos valores esperados con:
Luego comparamos observaciones y predicciones mediante residuos: observado menos calculado. Residuos pequeños y sin patrón apoyan el modelo; una curvatura sistemática en ω(t) indica que α probablemente no es constante.
10.12 Escalas, títulos y presentación
- Nombrá cada eje con variable y unidad.
- Usá escalas regulares y visibles.
- No unas puntos si eso sugiere una continuidad que no está justificada.
- Conservá suficientes cifras durante el cálculo y redondeá al presentar.
- Indicá si θ es acumulado o normalizado.
- Marcá discontinuidades de medición, datos faltantes y cambios de modelo.
Un gráfico atractivo pero ambiguo puede comunicar una conclusión física equivocada.
10.13 Actividad interactiva: tabla y tres gráficos
Modificá las condiciones iniciales, α y la duración. Se generan siete muestras del modelo con aceleración angular constante.
Generador de datos angulares
Las curvas usan ángulo acumulado y ajustan automáticamente su escala vertical.
| t (s) | θ acumulado (rad) | ω (rad/s) | α (rad/s²) |
|---|
ω aumenta linealmente; θ crece con una pendiente cada vez mayor y α permanece constante.
10.14 Generar muestras con JavaScript
function muestrearMovimiento({ theta0, omega0, alfa, duracion, paso }) {
const muestras = [];
for (let t = 0; t <= duracion + 1e-12; t += paso) {
muestras.push({
t,
theta: theta0 + omega0 * t + 0.5 * alfa * t ** 2,
omega: omega0 + alfa * t,
alfa
});
}
return muestras;
}
const datos = muestrearMovimiento({
theta0: 0,
omega0: 1,
alfa: 2,
duracion: 3,
paso: 0.5
});El pequeño margen 1e-12 evita perder la última muestra por errores de representación decimal. Para datos experimentales conviene almacenar los tiempos medidos, no reconstruirlos suponiendo un paso perfecto.
10.15 Ejemplos de interpretación
Caso 1: ω positiva y α negativa
La recta ω(t) desciende. Mientras permanece sobre cero, θ(t) sigue creciendo pero su pendiente disminuye. Cuando ω cruza cero, θ alcanza un máximo y luego comienza a disminuir.
Caso 2: ω negativa constante
θ(t) es una recta decreciente, ω(t) una horizontal debajo de cero y α(t) coincide con cero. El cuerpo gira uniformemente en sentido horario.
Caso 3: desplazamiento neto cero
Si las áreas positiva y negativa bajo ω(t) son iguales, θ final coincide con θ inicial. Esto no implica reposo durante el intervalo: pudo girar, detenerse e invertir el sentido.
10.16 Errores frecuentes y ejercicios
Errores frecuentes
- confundir el valor de una gráfica con su pendiente;
- ignorar las unidades de los ejes;
- calcular derivadas sobre ángulos normalizados sin desenvolverlos;
- sumar áreas sin respetar el signo;
- suponer que una curva suave demuestra una ley exacta;
- usar intervalos nominales cuando las marcas de tiempo son irregulares;
- redondear antes de calcular diferencias;
- confundir desplazamiento angular neto con distancia angular total.
Ejercicios propuestos
- Construí una tabla para θ0 = 1 rad, ω = −2 rad/s y t = 0, 1, 2 y 3 s.
- Una recta ω(t) pasa de 2 a 8 rad/s en 3 s. Calculá su pendiente.
- Calculá el área bajo la recta del ejercicio anterior y verificá Δθ con la velocidad media.
- Describí θ(t), ω(t) y α(t) para reposo angular.
- Explicá el salto entre 6,2 rad y 0,1 rad en una serie normalizada y proponé un valor acumulado continuo.
- Con muestras θ = 1, 1,8 y 3 rad en t = 0, 0,5 y 1 s, estimá ω en t = 0,5 s mediante diferencia central.
Ver soluciones y explicaciones
- θ = 1, −1, −3 y −5 rad; ω = −2 rad/s y α = 0.
- α = (8 − 2)/3 = 2 rad/s².
- Δθ = (2 + 8)·3/2 = 15 rad, igual al área del trapecio.
- θ es horizontal; ω y α son líneas sobre cero.
- Se completó una vuelta: 0,1 rad puede desenvolverse como 0,1 + 2π ≈ 6,383 rad.
- ω ≈ (3 − 1)/(1 − 0) = 2 rad/s.
10.17 Ideas para recordar
- Una tabla reúne estados angulares en instantes definidos.
- La pendiente de θ(t) es ω y la pendiente de ω(t) es α.
- El área bajo ω(t) es Δθ; el área bajo α(t) es Δω.
- Con α constante, θ(t) es parabólica, ω(t) lineal y α(t) horizontal.
- El ángulo acumulado evita discontinuidades artificiales.
- El paso de muestreo debe resolver los cambios relevantes.
- Variables, unidades, escalas y convenciones deben aparecer en la representación.
En el próximo tema utilizaremos el ángulo para obtener la posición cartesiana de un punto en movimiento circular.