Movimiento Circular y Rotaciones - 12. Direcciones radial y tangencial

12.1 Una base adaptada a la circunferencia

Los ejes cartesianos x e y permanecen fijos y sirven para cualquier posición. En movimiento circular también resulta útil una pareja de direcciones vinculada con el punto: la dirección radial y la dirección tangencial.

La dirección radial sigue la línea que une el centro con el punto. La tangencial toca la circunferencia en ese punto y es perpendicular al radio.

La base radial-tangencial cambia de orientación mientras el punto se mueve, aunque los ejes cartesianos permanezcan fijos.

12.2 Vector unitario radial

El vector unitario radial, ê_r, apunta desde el centro hacia el punto. Si la posición angular θ se mide desde x positivo:

ê_r = (cos θ, sin θ)

Su módulo es uno porque cos²θ + sin²θ = 1. El vector de posición relativo al centro es:

r⃗ = r ê_r

No debemos confundir el escalar r, que expresa distancia, con el vector r⃗, que además posee dirección.

12.3 Hacia afuera y hacia adentro

Por convención, ê_r apunta hacia afuera. La dirección hacia el centro se representa con su opuesto:

dirección hacia adentro = −ê_r

Las expresiones “radial” y “hacia el centro” no son sinónimas. Un vector radial puede apuntar hacia afuera o hacia adentro; el signo de su componente indica cuál de los dos sentidos posee.

12.4 Vector unitario tangencial

Elegimos ê_t en el sentido en que aumenta θ, es decir, antihorario con nuestra convención. Se obtiene rotando ê_r 90° en sentido positivo:

ê_t = (−sin θ, cos θ)

También tiene módulo uno. Si el movimiento es horario, la velocidad tangencial apunta en dirección −ê_t.

ê_r

Sale del centro y sigue el radio.

ê_t

Sigue la tangente en el sentido de aumento de θ.

12.5 Perpendicularidad y orientación

El producto escalar verifica que ambos vectores son perpendiculares:

ê_r · ê_t = cos θ(−sin θ) + sin θ cos θ = 0

Además, el par (ê_r, ê_t) conserva una orientación positiva en el plano. No podemos elegir arbitrariamente el signo tangencial después de fijar el sentido positivo de θ.

12.6 Valores en posiciones notables

Base local para ángulos frecuentes.
θ	ê_r	ê_t
0	(1, 0)	(0, 1)
π/2	(0, 1)	(−1, 0)
π	(−1, 0)	(0, −1)
3π/2	(0, −1)	(1, 0)

En el punto derecho de la circunferencia, la tangente positiva apunta hacia arriba. En el punto superior, apunta hacia la izquierda. La base gira con θ.

12.7 Velocidad en la base local

Para movimiento circular de radio constante:

v⃗ = rω ê_t

Si ω es positiva, el coeficiente rω es positivo y v⃗ apunta como ê_t. Si ω es negativa, apunta en sentido contrario. No existe componente radial de velocidad mientras r permanezca constante.

Esto expresa vectorialmente la rapidez v = r|ω| estudiada en el tema anterior.

12.8 Descomponer cualquier vector

Como ê_r y ê_t son unitarios y perpendiculares, cualquier vector A⃗ del plano puede escribirse:

A⃗ = A_r ê_r + A_t ê_t

Las componentes se obtienen mediante proyecciones:

A_r = A⃗·ê_r A_t = A⃗·ê_t

A_r positiva apunta hacia afuera y negativa hacia el centro. A_t positiva apunta en el sentido de θ creciente.

12.9 Fórmulas de cambio de componentes

Para A⃗ = (A_x, A_y):

A_r = A_x cos θ + A_y sin θ

A_t = −A_x sin θ + A_y cos θ

La transformación inversa reconstruye las componentes cartesianas:

A_x = A_r cos θ − A_t sin θ
A_y = A_r sin θ + A_t cos θ

12.10 La base cambia aunque sus módulos no

ê_r y ê_t siempre tienen módulo uno, pero sus componentes cartesianas cambian con θ. Esta es una diferencia esencial frente a î y ĵ, que permanecen fijos.

Por eso un vector puede conservar componentes radial y tangencial y, aun así, cambiar sus componentes x e y. En movimiento circular uniforme, la velocidad conserva el módulo y su componente tangencial, pero el vector cambia continuamente de dirección.

12.11 Derivadas de los vectores unitarios

Al derivar sus componentes respecto del tiempo obtenemos:

d ê_r/dt = ω ê_t d ê_t/dt = −ω ê_r

Estas relaciones muestran que la base gira. También explican por qué derivar v⃗ = rωê_t genera una componente de aceleración hacia el centro, incluso si ω es constante. Desarrollaremos esa aceleración en los temas 13 y 14.

12.12 Coordenadas de pantalla

Las fórmulas anteriores usan y positiva hacia arriba. En pantalla, la componente vertical suele invertirse. Conviene calcular primero los vectores en coordenadas físicas y convertirlos solo al dibujar.

Para un vector físico (v_x, v_y), la flecha de pantalla usa un cambio proporcional a (v_x, −v_y). Mezclar ambos sistemas dentro de las fórmulas físicas altera signos y orientaciones.

12.13 Actividad interactiva: base local y proyecciones

Elegí la posición angular y un vector cartesiano A⃗. El laboratorio calcula sus componentes en la base radial-tangencial.

Laboratorio de base local

Azul: ê_r. Verde: ê_t. Naranja: vector A⃗.

Ángulo θ: 45° A_x: +3,00 A_y: +1,00

ê_r(0,707; 0,707)

ê_t(−0,707; 0,707)

Componente A_r+2,828

Componente A_t−1,414

A⃗ posee una componente radial hacia afuera y una componente tangencial opuesta al sentido positivo.

12.14 Implementación con JavaScript

function baseLocal(anguloRad) {
  const cos = Math.cos(anguloRad);
  const sin = Math.sin(anguloRad);
  return {
    radial: { x: cos, y: sin },
    tangencial: { x: -sin, y: cos }
  };
}

function proyectar(vector, unitario) {
  return vector.x * unitario.x + vector.y * unitario.y;
}

const base = baseLocal(Math.PI / 4);
const vector = { x: 3, y: 1 };
console.log({
  componenteRadial: proyectar(vector, base.radial),
  componenteTangencial: proyectar(vector, base.tangencial)
});

La misma función sirve para descomponer velocidades, aceleraciones y fuerzas. Los vectores unitarios no llevan unidades; las componentes conservan la unidad del vector original.

12.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: base a 30°

ê_r = (√3/2, 1/2) ê_t = (−1/2, √3/2)

Ejemplo 2: velocidad horaria

En θ = π/2, ê_t = (−1, 0). Si r = 2 m y ω = −3 rad/s:

v⃗ = rωê_t = (−6)(−1, 0) = (6, 0) m/s

Ejemplo 3: proyectar una fuerza

Para θ = 0 y F⃗ = (−4, 3) N, ê_r = (1, 0) y ê_t = (0, 1). Entonces F_r = −4 N, hacia el centro, y F_t = 3 N.

12.16 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

hacer que ê_r apunte hacia el centro en vez de hacia afuera;
usar ê_t = (sin θ, cos θ) y perder la perpendicularidad;
confundir la tangente positiva con el sentido real de una velocidad cuando ω es negativa;
suponer que la base local permanece fija;
mezclar coordenadas físicas y de pantalla;
calcular componentes sin producto escalar;
confundir una componente negativa con un módulo negativo;
asignar unidades a un vector unitario.

Ejercicios propuestos

Calculá ê_r y ê_t para θ = 2π/3.
Verificá sus módulos y su producto escalar.
Para θ = π y A⃗ = (3, −2), calculá A_r y A_t.
Reconstruí A⃗ a partir de A_r = 4, A_t = −1 y θ = π/2.
En θ = 3π/2, indicá la dirección de v⃗ para ω positiva y negativa.
Calculá v⃗ si r = 0,5 m, θ = π/4 y ω = 6 rad/s.
Explicá por qué ê_t cambia aunque la rapidez angular sea constante.

Ver soluciones y explicaciones

ê_r = (−1/2, √3/2); ê_t = (−√3/2, −1/2).
Ambos módulos valen 1 y su producto escalar vale 0.
ê_r = (−1,0), ê_t = (0,−1); A_r = −3 y A_t = 2.
ê_r = (0,1), ê_t = (−1,0); A⃗ = 4(0,1) − (−1,0) = (1,4).
ê_t = (1,0). Con ω positiva, v⃗ apunta a la derecha; con ω negativa, a la izquierda.
rω = 3 m/s; v⃗ = 3(−√2/2, √2/2) ≈ (−2,121; 2,121) m/s.
Porque depende de θ: al moverse el punto, gira la dirección tangente aun si |ω| no cambia.

12.17 Ideas para recordar

ê_r = (cos θ, sin θ) apunta desde el centro hacia afuera.
ê_t = (−sin θ, cos θ) apunta en el sentido de θ creciente.
Los dos vectores tienen módulo uno y son perpendiculares.
La velocidad circular es v⃗ = rωê_t.
Las componentes locales se obtienen con productos escalares.
La base radial-tangencial gira con el punto.
Las coordenadas físicas deben separarse de las coordenadas de pantalla.

En el próximo tema aplicaremos esta base para estudiar la aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme.

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