13. Aceleración centrípeta en el movimiento circular uniforme

13.1 Rapidez constante no significa velocidad constante

En el movimiento circular uniforme (MCU), una partícula recorre una circunferencia con rapidez constante. Sin embargo, la velocidad es un vector: para que sea constante deberían conservarse tanto su módulo como su dirección.

La velocidad es tangente a la trayectoria y su dirección cambia en cada punto. Por lo tanto, existe aceleración aun cuando el velocímetro indique siempre el mismo valor.

13.2 Dirección de la aceleración

Al comparar dos velocidades muy próximas, el cambio Δv⃗ apunta hacia el interior de la circunferencia. En el límite temporal, la aceleración es perpendicular a la velocidad y se dirige al centro. Por eso se llama centrípeta: “que busca el centro”.

13.3 Módulo de la aceleración centrípeta

Para una trayectoria circular de radio r y rapidez v, el módulo vale:

La unidad en el SI es m/s². El cuadrado de v es esencial: si duplicamos la rapidez manteniendo el radio, la aceleración se multiplica por cuatro. Si duplicamos el radio manteniendo la rapidez, se reduce a la mitad.

La expresión anterior representa un módulo y nunca es negativa. El sentido hacia adentro se incorpora al escribir el vector.

13.4 Fórmula con velocidad angular

Como en el MCU la rapidez tangencial cumple v = |ω|r, podemos sustituirla:

El signo de ω indica si el giro es horario o antihorario, pero desaparece al elevarlo al cuadrado. La aceleración apunta al centro en ambos sentidos de giro.

Con ω constante, un punto más alejado del eje tiene mayor rapidez y también mayor aceleración centrípeta.

13.5 Fórmulas con período y frecuencia

Las relaciones ω = 2π/T y ω = 2πf permiten escribir:

13.6 Expresión vectorial

En el tema anterior definimos ê_r hacia afuera. Como la aceleración centrípeta apunta en sentido opuesto:

El signo menos no significa que el módulo sea negativo: comunica que el vector apunta hacia adentro. En la base radial-tangencial sus componentes son:

La componente tangencial es cero porque la rapidez no cambia. Esta última afirmación es propia del MCU.

13.7 Componentes cartesianas

Si el centro se encuentra en (x_c, y_c) y θ se mide desde x positivo, entonces ê_r = (cos θ, sin θ). Por lo tanto:

Las componentes cambian durante el giro, pero el módulo permanece constante. En cualquier posición, el vector −ω²(r⃗) apunta desde la partícula hacia el centro.

13.8 De dónde surge v²/r

Durante un intervalo pequeño Δt, la partícula recorre un arco Δs = vΔt y el radio gira un ángulo Δθ = Δs/r. Los vectores velocidad inicial y final tienen igual módulo v y forman también el ángulo Δθ.

Los triángulos construidos con los radios y con las velocidades son semejantes. Para ángulos pequeños:

Dividiendo por Δt y tomando el límite Δt → 0:

La geometría no solo proporciona el módulo: el vector Δv⃗ se orienta hacia el centro a medida que el intervalo se hace infinitesimal.

13.9 Derivación con la base radial-tangencial

En un círculo de radio constante, v⃗ = rωê_t. En MCU, r y ω son constantes, pero ê_t cambia. Usando d ê_t/dt = −ωê_r:

Esta derivación permite ver con claridad que la aceleración aparece por la rotación de la dirección tangencial, no por una variación de |ω|.

13.10 Escalamiento e interpretación

La fórmula puede producir conclusiones diferentes según qué magnitud mantengamos fija:

No hay contradicción en las dos filas sobre el radio: mantener v constante no es lo mismo que mantener ω constante, porque v = |ω|r.

13.11 Aceleración centrípeta no es una fuerza

“Centrípeta” describe una aceleración hacia el centro, no una nueva clase de fuerza. Una o varias fuerzas reales deben proporcionar una resultante radial que produzca esa aceleración: tensión en una cuerda, rozamiento en una curva, gravedad en una órbita o fuerza normal en una pista.

La relación con las leyes de Newton se estudiará en detalle en los temas 15 y 16.

13.12 Actividad interactiva: laboratorio centrípeto

Modificá el radio, la velocidad angular y la posición. Observá que la flecha verde es tangente, la roja apunta al centro y ambas permanecen perpendiculares. Podés animar el movimiento.

13.13 Implementación con JavaScript

function estadoMCU({ radio, omega, angulo }) {
  if (!(radio > 0)) {
    throw new RangeError("El radio debe ser positivo");
  }

  const cos = Math.cos(angulo);
  const sin = Math.sin(angulo);
  const rapidez = Math.abs(omega) * radio;
  const aceleracionCentripeta = omega ** 2 * radio;

  return {
    velocidad: {
      x: -radio * omega * sin,
      y:  radio * omega * cos
    },
    aceleracion: {
      x: -aceleracionCentripeta * cos,
      y: -aceleracionCentripeta * sin
    },
    rapidez,
    aceleracionCentripeta
  };
}

const estado = estadoMCU({
  radio: 3,
  omega: 2,
  angulo: Math.PI / 3
});

console.log(estado);

La velocidad conserva el signo de ω porque debe invertir su sentido cuando cambia el giro. El módulo centrípeto usa ω² y no depende de ese signo. Separar los cálculos físicos del dibujo evita errores con el eje vertical de la pantalla.

13.14 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: automóvil en una curva

Un automóvil recorre una curva circular de radio 50 m a 10 m/s. Su aceleración centrípeta es:

Aunque el módulo sea constante, el vector apunta al centro y cambia de orientación mientras el automóvil avanza.

Ejemplo 2: plataforma giratoria

Un punto está a 0,40 m del eje y gira con ω = 5 rad/s:

Ejemplo 3: datos de período

Una partícula describe un círculo de radio 2 m cada 4 s:

Ejemplo 4: vector en una posición

Para r = 2 m, ω = −3 rad/s y θ = π/2, ê_r = (0, 1). Entonces:

El signo negativo de ω no cambia la aceleración centrípeta; solamente invierte la dirección de la velocidad tangencial.

13.15 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• afirmar que la aceleración es cero porque la rapidez es constante;
• dibujar la aceleración tangente a la trayectoria;
• usar a_c = v/r o a_c = ωr;
• asignar signo negativo al módulo a_c en lugar de expresarlo en el vector;
• creer que una ω negativa produce aceleración hacia afuera;
• confundir aceleración centrípeta con una fuerza adicional;
• usar el diámetro donde la fórmula requiere el radio;
• introducir rpm directamente sin convertir a rad/s;
• concluir cómo cambia a_c con r sin indicar si se mantiene fija v o ω.

Ejercicios propuestos

1. Una bicicleta toma una curva de radio 20 m con rapidez de 8 m/s. Calculá a_c.
2. Un punto gira a 4 rad/s y se encuentra a 0,75 m del eje. Calculá v y a_c.
3. Una rueda de radio 0,30 m completa 2 vueltas por segundo. Calculá ω y a_c en el borde.
4. ¿Por qué la aceleración no realiza un cambio instantáneo en la rapidez del MCU?
5. Si v se triplica y r permanece fijo, ¿por qué factor cambia a_c?
6. Para r = 2 m, ω = 3 rad/s y θ = π, calculá a⃗_c en componentes cartesianas.
7. Un objeto tiene a_c = 12 m/s² y se mueve a 6 m/s. Determiná el radio.
8. Compará dos puntos de un disco situados a r y 2r cuando ambos comparten la misma ω.

13.16 Ideas para recordar

• En el MCU la rapidez es constante, pero la velocidad cambia de dirección.
• La aceleración centrípeta es perpendicular a la velocidad y apunta siempre al centro.
• Su módulo puede calcularse con a_c = v²/r = ω²r = 4π²r/T² = 4π²f²r.
• Vectorialmente, a⃗_c = −ω²r ê_r.
• El sentido de giro no cambia la dirección centrípeta.
• La aceleración centrípeta no es una fuerza; es el efecto de una fuerza resultante radial.
• Al analizar dependencias, siempre hay que aclarar qué variable permanece fija.

En el próximo tema incorporaremos el cambio de rapidez y estudiaremos juntas las aceleraciones tangencial y radial en el movimiento circular no uniforme.