14. Aceleraciones tangencial y radial en el movimiento circular no uniforme

14.1 Cambiar rapidez y dirección al mismo tiempo

En el movimiento circular uniforme estudiamos una velocidad cuyo módulo permanece constante pero cuya dirección cambia. En el movimiento circular no uniforme, la rapidez también puede aumentar o disminuir.

Estas dos variaciones independientes se describen mediante componentes perpendiculares de la aceleración:

14.2 Aceleración tangencial

Para un círculo de radio constante, la rapidez tangencial se relaciona con la velocidad angular mediante v = |ω|r. Si usamos la dirección positiva ê_t, la velocidad vectorial es v⃗ = rωê_t. La componente tangencial de la aceleración vale:

Aquí a_t es una componente con signo. Si α es positiva, a⃗_t apunta como ê_t; si α es negativa, apunta como −ê_t. Su módulo es:

La aceleración angular α se mide en rad/s² y el producto rα tiene unidades de m/s².

14.3 Aceleración radial o centrípeta

La componente radial aparece siempre que la partícula posee velocidad angular distinta de cero. Su módulo es el estudiado en el tema anterior:

Como ê_r apunta hacia afuera, la componente radial con signo y su expresión vectorial son:

El signo de ω no modifica esta dirección porque ω² siempre es no negativo: tanto en un giro horario como en uno antihorario, a⃗_r apunta al centro.

14.4 Expresión vectorial completa

Al combinar ambas componentes obtenemos la aceleración de un punto que describe una circunferencia de radio fijo:

En la base local radial-tangencial:

Esta fórmula separa los papeles físicos: ω determina la curvatura instantánea del movimiento y α determina cómo cambia la velocidad angular.

14.5 Módulo y dirección de la aceleración total

Como las componentes radial y tangencial son perpendiculares, el módulo se obtiene con el teorema de Pitágoras:

El ángulo agudo φ que la aceleración total forma con la dirección hacia el centro satisface:

El cociente no determina por sí solo de qué lado de la dirección radial queda el vector. Para eso también necesitamos el signo de α.

14.6 ¿Aumenta o disminuye la rapidez?

El signo de α indica la orientación de a⃗_t, pero no basta para saber si la partícula acelera o frena. Hay que compararlo con el signo de ω, que determina el sentido de v⃗.

14.7 Derivación desde la velocidad

Para radio constante, v⃗ = rωê_t. Al derivar debemos aplicar la regla del producto porque pueden cambiar tanto ω como el vector unitario tangencial:

Como d ê_t/dt = −ωê_r:

Los dos términos nacen de cambios diferentes: derivar ω produce la componente tangencial; derivar la dirección ê_t produce la componente radial.

14.8 Componentes cartesianas

Usando ê_r = (cos θ, sin θ) y ê_t = (−sin θ, cos θ):

Estas expresiones son útiles para actualizar el estado de una simulación o comprobar resultados en ejes fijos. Aunque a_r y a_t puedan permanecer constantes durante cierto intervalo, a_x y a_y cambian cuando cambia θ.

14.9 Casos particulares

Es posible tener aceleración tangencial cuando la velocidad instantánea es cero. Por ejemplo, un disco que comienza a girar desde el reposo tiene a_r = 0 justo al inicio, pero a_t = rα.

14.10 Aceleración angular constante

Si α es constante, la velocidad angular evoluciona como ω(t) = ω₀ + αt. Por eso:

La componente tangencial permanece constante, pero la radial generalmente no. A medida que aumenta |ω|, el módulo radial crece con su cuadrado. Por esta razón, aceleración angular constante no significa aceleración vectorial constante.

14.11 Actividad interactiva: composición de aceleraciones

Variá la posición, la velocidad angular y la aceleración angular. Las líneas auxiliares muestran cómo las componentes radial y tangencial se suman para formar la aceleración total.

14.12 Implementación con JavaScript

function aceleracionCircular({ radio, angulo, omega, alfa }) {
  if (!(radio > 0)) {
    throw new RangeError("El radio debe ser positivo");
  }

  const er = {
    x: Math.cos(angulo),
    y: Math.sin(angulo)
  };
  const et = {
    x: -Math.sin(angulo),
    y:  Math.cos(angulo)
  };

  const radial = -(omega ** 2) * radio;
  const tangencial = alfa * radio;
  const x = radial * er.x + tangencial * et.x;
  const y = radial * er.y + tangencial * et.y;

  return {
    componentesLocales: { radial, tangencial },
    componentesCartesianas: { x, y },
    modulo: Math.hypot(radial, tangencial)
  };
}

const resultado = aceleracionCircular({
  radio: 2.5,
  angulo: Math.PI / 6,
  omega: 2,
  alfa: -1.5
});

console.log(resultado);

Math.hypot calcula √(a_r² + a_t²) de forma clara. Mantener por separado las componentes locales y cartesianas facilita comprobar signos y reutilizar el resultado en una simulación.

14.13 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: giro antihorario cada vez más rápido

Un punto está a 0,50 m del eje, con ω = 4 rad/s y α = 3 rad/s²:

Como ω y α son positivas, la rapidez aumenta.

Ejemplo 2: giro horario que está frenando

Para r = 2 m, ω = −3 rad/s y α = +1 rad/s²:

La velocidad apunta como −ê_t, mientras que la aceleración tangencial apunta como +ê_t. Son opuestas y la rapidez disminuye.

Ejemplo 3: componentes cartesianas

Si r = 1 m, θ = π/2, ω = 2 rad/s y α = −3 rad/s², entonces ê_r = (0,1) y ê_t = (−1,0):

Ejemplo 4: arranque desde el reposo

Un disco parte con ω = 0 y α = 6 rad/s². A 0,20 m del eje, en el instante inicial:

14.14 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• sumar a_r y a_t como escalares para obtener el módulo;
• hacer que la componente radial apunte hacia afuera;
• usar α²r para la componente tangencial;
• confundir los signos de α y ω;
• afirmar que α negativa siempre significa que la rapidez disminuye;
• olvidar que a_r depende de la velocidad angular instantánea;
• suponer que α constante implica a⃗ constante;
• mezclar componentes locales con componentes cartesianas;
• aplicar estas fórmulas sin verificar que el radio sea constante.

Ejercicios propuestos

1. Para r = 3 m, ω = 2 rad/s y α = 4 rad/s², calculá a_r, a_t y |a⃗|.
2. Repetí el ejercicio anterior con α = −4 rad/s². ¿Qué resultados cambian?
3. Un punto gira con ω = −5 rad/s y α = −2 rad/s². Indicá si su rapidez aumenta o disminuye.
4. Para r = 0,40 m, θ = 0, ω = 3 rad/s y α = 2 rad/s², calculá a⃗ en componentes cartesianas.
5. Una partícula tiene |a⃗_r| = 16 m/s² y |a⃗_t| = 12 m/s². Calculá |a⃗| y el ángulo desde la dirección hacia el centro.
6. Un disco parte del reposo con α = 4 rad/s². Para un punto a 0,50 m, calculá ambas componentes en t = 2 s.
7. ¿Puede a⃗_t ser distinta de cero cuando v⃗ = 0? Justificá.
8. Dos puntos de un cuerpo rígido están a r y 3r del eje. Si comparten ω y α, compará sus componentes de aceleración.

14.15 Ideas para recordar

• La aceleración tangencial cambia la rapidez; la radial cambia la dirección de la velocidad.
• Para radio constante, a_t = rα y a_r = −rω².
• La aceleración completa es a⃗ = −rω²ê_r + rαê_t.
• Su módulo es |a⃗| = r√(ω⁴ + α²).
• La rapidez aumenta cuando ω y α tienen el mismo signo y disminuye cuando son opuestos.
• α constante no hace constante a⃗ porque la componente radial depende de ω² y toda la base local gira.
• Estas expresiones suponen una trayectoria circular de radio fijo.

En el próximo tema conectaremos la aceleración radial con la dinámica y estudiaremos la fuerza resultante necesaria para mantener una trayectoria circular.