15. Fuerza resultante radial y condición para una trayectoria circular

15.1 De la aceleración a las fuerzas

En los temas anteriores describimos la aceleración de una partícula que recorre una circunferencia. Ahora preguntamos qué interacción física produce esa aceleración. La segunda ley de Newton da la conexión:

Para mantener una trayectoria circular de radio r con rapidez instantánea v, la aceleración posee una componente radial de módulo v²/r dirigida hacia el centro. En consecuencia, la resultante de las fuerzas reales debe tener esa misma componente.

15.2 La “fuerza centrípeta” no es una fuerza nueva

La expresión fuerza centrípeta nombra la resultante radial necesaria, no una interacción adicional que deba agregarse al diagrama de cuerpo libre. Según el sistema, esa resultante puede ser proporcionada por una tensión, la gravedad, el rozamiento, una fuerza normal o la combinación de varias fuerzas.

15.3 Condición radial con signo

Podemos elegir positiva la dirección radial hacia afuera, como en la base (ê_r, ê_t). En ese caso, la aceleración radial es negativa:

La segunda ley proyectada sobre esa dirección queda:

Otra opción común es declarar positiva la dirección hacia el centro. Entonces la misma condición se escribe sin signo negativo:

Ambas convenciones son correctas. Lo importante es declarar una, conservarla en todas las fuerzas y no mezclar ecuaciones de convenciones distintas.

15.4 Fuerza radial requerida

El módulo de la resultante radial necesaria para una circunferencia dada es:

Esta cantidad no siempre coincide con el módulo de una fuerza individual. Si varias fuerzas tienen componentes radiales, primero se suman con sus signos y después se compara la resultante con mv²/r.

15.5 ¿Qué significa “mantener la circunferencia”?

En un instante determinado, la posición y la velocidad tangencial definen la circunferencia que la partícula seguiría localmente si su aceleración normal fuese v²/r. Para sostener ese radio, la resultante radial debe satisfacer exactamente la condición.

• Si la resultante hacia el centro es la requerida, la curvatura instantánea corresponde al radio r.
• Si es mayor, la trayectoria se curva más: para la misma rapidez, el radio de curvatura instantáneo es menor.
• Si es positiva hacia el centro pero menor que la requerida, la trayectoria se curva menos y su radio de curvatura es mayor.
• Si la resultante radial es cero, la velocidad no cambia de dirección en ese instante y el movimiento continúa localmente en línea recta.
• Si la resultante apunta hacia afuera, la curvatura es opuesta a la del círculo propuesto.

Esta última expresión supone F_{interna neta} > 0. El símbolo ρ representa el radio de curvatura que realmente produciría esa resultante en ese instante.

15.6 Diagrama de cuerpo libre

Para resolver un problema conviene aislar el objeto y dibujar solamente las fuerzas ejercidas por otros cuerpos. El centro de la circunferencia sirve para definir la dirección radial, pero no genera por sí mismo una fuerza.

1. Elegir el objeto que forma el sistema.
2. Identificar todas las interacciones externas.
3. Dibujar cada fuerza real: peso, normal, tensión, rozamiento u otras.
4. Marcar las direcciones radial y tangencial en la posición analizada.
5. Proyectar las fuerzas y aplicar la segunda ley en cada dirección.

La dirección radial cambia a lo largo de la trayectoria. Por eso el diagrama debe corresponder a una posición concreta y no a una dirección fija de la hoja.

15.7 Proyectar antes de sumar

Una fuerza oblicua puede contribuir tanto en la dirección radial como en la tangencial. Si ψ es el ángulo medido desde la dirección positiva hacia el centro hasta la fuerza F⃗:

Se proyecta cada fuerza con una convención de signos común y luego se suman las componentes:

Usar directamente el módulo completo de una fuerza oblicua como si fuese radial sobreestima su contribución hacia el centro.

15.8 Movimiento circular uniforme y no uniforme

La ecuación radial no exige que la rapidez sea constante. En cualquier movimiento sobre una circunferencia de radio fijo:

Si la rapidez cambia, también hay una ecuación tangencial:

La componente tangencial no reemplaza a la radial. Aunque un objeto acelere o frene, necesita la resultante radial correspondiente a su rapidez instantánea para conservar el radio.

15.9 La dirección de la velocidad importa

Una fuerza hacia el centro no basta por sí sola para afirmar que la trayectoria ya es circular. También se requiere una velocidad instantánea tangente a la circunferencia considerada. Si existe una componente radial de velocidad, la distancia al centro está cambiando.

La fuerza determina cómo cambia la velocidad; no coloca automáticamente al objeto en una circunferencia. Las condiciones iniciales —posición y velocidad— forman parte del problema.

15.10 No confundir equilibrio radial con equilibrio total

En una trayectoria circular, escribir ΣF_interna = mv²/r no significa que las fuerzas estén equilibradas. Si v ≠ 0, la resultante radial es distinta de cero y el objeto está acelerado.

A veces se dice informalmente que una fuerza “equilibra” otra en alguna dirección distinta de la radial. Es mejor especificar componentes: por ejemplo, las fuerzas verticales pueden sumar cero mientras existe una resultante horizontal hacia el centro.

15.11 Situaciones típicas

Una misma fuerza puede cumplir papeles diferentes según la posición. Por ejemplo, el peso es completamente radial en los puntos superior e inferior de un círculo vertical, pero posee componentes radial y tangencial en posiciones intermedias.

15.12 Actividad interactiva: fuerza disponible y requerida

Definí la masa, la rapidez y el radio propuesto. Luego ajustá las fuerzas reales hacia adentro y hacia afuera. El laboratorio compara su resultante con mv²/r.

15.13 Implementación con JavaScript

function evaluarCondicionCircular({
  masa,
  rapidez,
  radio,
  fuerzasHaciaAdentro,
  fuerzasHaciaAfuera
}) {
  if (!(masa > 0) || !(radio > 0) || rapidez < 0) {
    throw new RangeError("Revisá masa, radio y rapidez");
  }

  const suma = valores =>
    valores.reduce((total, valor) => total + valor, 0);

  const netaInterna = suma(fuerzasHaciaAdentro)
    - suma(fuerzasHaciaAfuera);
  const requerida = masa * rapidez ** 2 / radio;
  const diferencia = netaInterna - requerida;
  const tolerancia = 1e-9 * Math.max(1, requerida);

  return {
    netaInterna,
    requerida,
    diferencia,
    mantieneRadio: Math.abs(diferencia) <= tolerancia,
    radioCurvatura: netaInterna > 0
      ? masa * rapidez ** 2 / netaInterna
      : Infinity
  };
}

const resultado = evaluarCondicionCircular({
  masa: 2,
  rapidez: 6,
  radio: 3,
  fuerzasHaciaAdentro: [30],
  fuerzasHaciaAfuera: [6]
});

console.log(resultado);

La función recibe listas porque pueden existir varias fuerzas en cada sentido. Una tolerancia evita exigir igualdad exacta entre números de punto flotante. Un radio de curvatura infinito representa ausencia de resultante hacia el centro.

15.14 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tensión horizontal

Una masa de 0,50 kg gira sobre una mesa sin rozamiento, unida al centro por una cuerda. Si r = 0,80 m y v = 4 m/s, peso y normal se cancelan verticalmente. La tensión debe ser:

Ejemplo 2: dos fuerzas radiales opuestas

Sobre una partícula de 2 kg actúan 50 N hacia el centro y 14 N hacia afuera. Si se mueve a 6 m/s:

Ejemplo 3: rapidez máxima impuesta por una fuerza

Una fuerza radial máxima de 120 N actúa sobre una masa de 3 kg en un radio de 5 m:

A mayor rapidez, esa fuerza ya no alcanzaría para mantener el mismo radio.

Ejemplo 4: fuerza oblicua

Una fuerza de 40 N forma 60° con la dirección hacia el centro. Su componente radial interna es:

Los otros 34,64 N aproximadamente corresponden a la componente tangencial y cambian la rapidez.

15.15 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• agregar una fuerza centrípeta además de las fuerzas reales;
• igualar una fuerza individual a mv²/r sin sumar antes todas las componentes radiales;
• usar mv/r en lugar de mv²/r;
• olvidar que la dirección hacia el centro cambia con la posición;
• mezclar la convención radial hacia afuera con la convención positiva hacia adentro;
• suponer equilibrio porque el objeto conserva la rapidez;
• usar el módulo completo de una fuerza oblicua como componente radial;
• afirmar que una fuerza hacia el centro garantiza por sí sola una órbita circular;
• usar un valor medio de rapidez cuando la condición requiere el valor instantáneo.

Ejercicios propuestos

1. Calculá la resultante radial necesaria para una masa de 4 kg que recorre un círculo de radio 8 m a 6 m/s.
2. Una fuerza de 90 N mantiene una masa de 2 kg en una circunferencia de radio 5 m. Calculá la rapidez.
3. Actúan 70 N hacia el centro y 10 N hacia afuera sobre una masa de 3 kg que se mueve a 4 m/s. Calculá el radio de curvatura instantáneo.
4. Una partícula de 1,5 kg gira con ω = 4 rad/s a 2 m del eje. Calculá la resultante radial.
5. Si la rapidez se triplica sin cambiar masa ni radio, ¿cómo debe cambiar la resultante radial?
6. Una fuerza de 100 N forma 30° con la dirección hacia el centro. Calculá sus componentes radial interna y tangencial.
7. Explicá por qué un objeto soltado de una cuerda no continúa por la circunferencia.
8. En una trayectoria circular no uniforme, ¿qué ecuación determina el cambio de rapidez?

15.16 Ideas para recordar

• Una circunferencia requiere una resultante radial dirigida hacia el centro.
• Su módulo es F_radial = mv²/r = mω²r.
• “Fuerza centrípeta” es el nombre de esa resultante, no una interacción adicional.
• Primero se dibujan y proyectan las fuerzas reales; después se aplica la segunda ley.
• Con ê_r hacia afuera, ΣF_r = −mv²/r.
• La velocidad debe ser tangente para que el radio permanezca constante.
• Una fuerza radial diferente de la requerida produce otra curvatura, no el círculo propuesto.
• En movimiento circular no uniforme, la ecuación tangencial complementa a la radial.

En el próximo tema aplicaremos sistemáticamente las leyes de Newton en las direcciones radial y tangencial para resolver diferentes configuraciones.