Movimiento Circular y Rotaciones - 16. Leyes de Newton en direcciones radial y tangencial

16.1 Dos direcciones para dos cambios

La segunda ley de Newton es vectorial. En una trayectoria circular de radio constante conviene proyectarla sobre la base local formada por ê_r, hacia afuera, y ê_t, en el sentido de aumento del ángulo.

Ecuación radial

ΣF_r = −mv²/r = −mω²r

Determina la fuerza necesaria para cambiar la dirección de la velocidad.

Ecuación tangencial

ΣF_t = ma_t = mrα

Determina cómo cambia la rapidez y la velocidad angular.

Las dos ecuaciones son proyecciones de una sola relación, ΣF⃗ = ma⃗. No representan sistemas físicos independientes.

16.2 Método sistemático de resolución

Definir el sistema

Aislar el objeto cuya aceleración queremos estudiar.

Dibujar fuerzas

Representar solamente interacciones reales sobre el objeto.

Fijar la base

Marcar ê_r hacia afuera y ê_t según θ creciente.

Proyectar

Calcular con signo las componentes radial y tangencial de cada fuerza.

Aplicar Newton

Escribir ΣF_r = −mv²/r y ΣF_t = mrα.

Resolver y verificar

Comprobar unidades, signos, restricciones y casos límite.

No conviene comenzar escribiendo “F_c = mv²/r”. Primero se identifican las fuerzas reales y después se proyecta su resultante.

16.3 Elegir y conservar los signos

En este curso usamos ê_r hacia afuera. Por eso la componente centrípeta de la aceleración es −v²/r. Una fuerza que apunta al centro tiene componente radial negativa.

También podríamos elegir positiva la dirección hacia adentro y escribir ΣF_interna = +mv²/r. Ambas convenciones producen el mismo resultado si se aplican de manera consistente.

base hacia afuera: ΣF_r = −mv²/r
positivo hacia adentro: ΣF_interna = +mv²/r

En la dirección tangencial, una componente positiva apunta como ê_t. Esto no significa necesariamente que aumente la rapidez: si ω es negativa, la velocidad apunta como −ê_t.

16.4 Proyectar una fuerza oblicua

Si conocemos una fuerza F⃗ en componentes cartesianas, las proyecciones locales se obtienen con productos escalares:

F_r = F⃗·ê_r F_t = F⃗·ê_t

Con ê_r = (cos θ, sin θ), ê_t = (−sin θ, cos θ) y F⃗ = (F_x, F_y):

F_r = F_x cos θ + F_y sin θ

F_t = −F_x sin θ + F_y cos θ

La proyección debe hacerse para cada fuerza antes de sumar. Una misma fuerza puede aparecer en las dos ecuaciones.

16.5 Ejemplo básico: masa sobre una mesa

Una masa m se mueve sobre una mesa horizontal, unida por una cuerda a un punto fijo. La normal N y el peso mg se cancelan verticalmente. Si la tensión T es radial hacia adentro y una fuerza aplicada P es tangencial positiva:

radial: −T = −mv²/r ⇒ T = mv²/r

tangencial: P = ma_t = mrα

La tensión determina la curvatura instantánea; la fuerza P modifica la rapidez. Si P aumenta v, la tensión necesaria para conservar el radio también debe aumentar con v².

16.6 Círculo vertical: elección del ángulo

Consideremos una masa unida al centro por una cuerda y moviéndose en un plano vertical. Medimos θ desde el punto más bajo, positivo en sentido antihorario. En esa posición general:

ê_r = (sin θ, −cos θ) ê_t = (cos θ, sin θ)

La tensión apunta siempre hacia el centro, es decir, como −ê_r. El peso W⃗ = (0, −mg) tiene componentes:

W_r = mg cos θ W_t = −mg sin θ

Los signos se pueden comprobar en puntos notables. Abajo, el peso apunta hacia afuera y W_r = +mg; arriba, apunta hacia el centro y W_r = −mg.

16.7 Ecuaciones del círculo vertical

Con ê_r hacia afuera, la ecuación radial es:

−T + mg cos θ = −mv²/r

T = mv²/r + mg cos θ

En la dirección tangencial, la tensión no tiene componente y solamente contribuye el peso:

−mg sin θ = ma_t = mrα

a_t = −g sin θ α = −(g/r) sin θ

La rapidez v que aparece en la ecuación radial es la rapidez en esa posición. Si el sistema evoluciona libremente, v cambia con θ y debe obtenerse mediante cinemática, energía o integración.

16.8 Puntos notables del círculo vertical

Ecuaciones con θ medido desde el punto inferior.
Posición	θ	Ecuación radial	Aceleración tangencial
abajo	0	T − mg = mv²/r	a_t = 0
lateral derecho	π/2	T = mv²/r	a_t = −g
arriba	π	T + mg = mv²/r	a_t = 0
lateral izquierdo	3π/2	T = mv²/r	a_t = +g

Que a_t sea cero arriba o abajo no implica aceleración total cero: si v ≠ 0, existe aceleración radial.

16.9 Restricción de una cuerda

Una cuerda puede tirar, pero no empujar. Por lo tanto, la solución física debe cumplir:

T ≥ 0

En el punto superior, T = mv²/r − mg. Para que la cuerda permanezca apenas tensa:

v²/r ≥ g ⇒ v ≥ √(gr)

Si la ecuación produce T < 0, no significa que exista una tensión negativa. Significa que la trayectoria circular impuesta por una cuerda floja es imposible con esos datos. Un riel o una varilla rígida sí podrían ejercer una fuerza en el sentido opuesto, según el contacto.

16.10 Normal, contacto y pérdida de contacto

Una fuerza normal también posee una restricción de signo: una superficie empuja al objeto, pero no puede atraerlo. La ecuación radial permite calcular la normal requerida y comprobar si N ≥ 0.

Si N > 0, el contacto es compatible con el movimiento supuesto.
Si N = 0, el objeto está justo en el umbral de perder contacto.
Si el cálculo exige N < 0, la superficie tendría que tirar: el contacto ya no puede mantenerse.

La forma concreta de la ecuación depende de si el objeto está dentro o fuera de la pista y de la posición analizada. El diagrama de cuerpo libre decide el signo; memorizar una fórmula aislada no alcanza.

16.11 Rozamiento en la base local

El rozamiento no es automáticamente tangencial a la circunferencia ni automáticamente centrípeto. Su dirección se opone al deslizamiento relativo o a su tendencia.

En una curva plana sin peralte, el rozamiento estático suele ser radial. En otras configuraciones puede tener componentes radial y tangencial. Siempre se debe determinar su dirección a partir de la interacción de contacto.

|f_s| ≤ μ_sN |f_k| = μ_kN

La primera relación es una desigualdad: el rozamiento estático adopta el valor necesario hasta un máximo. No debe reemplazarse automáticamente por μ_sN.

16.12 Vincular las dos ecuaciones

En muchos problemas, la ecuación tangencial permite hallar α o el cambio de rapidez, y ese nuevo valor de v modifica la ecuación radial. Las direcciones son perpendiculares, pero la evolución puede acoplarlas.

ΣF_t → a_t = dv/dt → v(t) → mv(t)²/r → ΣF_r

Por ejemplo, al descender en un círculo vertical el peso puede aumentar la rapidez. La tensión requerida crece entonces no solo por la componente radial del peso, sino también por el crecimiento de v²/r.

16.13 Actividad interactiva: Newton en un círculo vertical

Elegí la posición y la rapidez instantánea de una masa unida por una cuerda. El laboratorio proyecta el peso, calcula la tensión requerida y comprueba si la cuerda puede permanecer tensa.

Laboratorio de círculo vertical

θ se mide desde el punto inferior en sentido antihorario. La rapidez se puede variar independientemente para analizar cada estado instantáneo.

Masa m: 1,5 kg Radio r: 2,0 m Rapidez v: 6,0 m/s Posición θ: 120° Gravedad g: 9,8 m/s²

velocidad elegidatensiónpesodirección ê_t

Peso radial W_r−7,35 N

Peso tangencial W_t−12,73 N

Tensión requerida T19,65 N

Aceleración radial a_r−18,00 m/s²

Aceleración tangencial a_t−8,49 m/s²

La tensión requerida es positiva, por lo que la cuerda puede permanecer tensa en este estado instantáneo.

16.14 Implementación con JavaScript

function estadoCirculoVertical({
  masa,
  radio,
  rapidez,
  angulo,
  gravedad = 9.8
}) {
  if (!(masa > 0) || !(radio > 0) || rapidez < 0) {
    throw new RangeError("Revisá masa, radio y rapidez");
  }

  // θ se mide desde el punto inferior.
  const pesoRadial = masa * gravedad * Math.cos(angulo);
  const pesoTangencial = -masa * gravedad * Math.sin(angulo);
  const aceleracionRadial = -(rapidez ** 2) / radio;
  const aceleracionTangencial = -gravedad * Math.sin(angulo);
  const tension = masa * rapidez ** 2 / radio
    + masa * gravedad * Math.cos(angulo);

  return {
    pesoRadial,
    pesoTangencial,
    aceleracionRadial,
    aceleracionTangencial,
    tension,
    cuerdaTensa: tension >= 0
  };
}

const estado = estadoCirculoVertical({
  masa: 1.5,
  radio: 2,
  rapidez: 6,
  angulo: 2 * Math.PI / 3
});

console.log(estado);

Las variables conservan el signo de las componentes. La propiedad cuerdaTensa comprueba la restricción física después de resolver la ecuación, en lugar de convertir una tensión negativa en un valor positivo.

16.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: punto inferior

Una masa de 2 kg pasa por el punto inferior de un círculo de radio 1,5 m a 6 m/s. Con g = 9,8 m/s²:

T − mg = mv²/r

T = 2·6²/1,5 + 2·9,8 = 67,6 N

La tensión es mayor que el peso porque la resultante debe apuntar hacia arriba.

Ejemplo 2: punto superior

La misma masa y el mismo radio pasan por arriba a 5 m/s:

T + mg = mv²/r

T = 2·5²/1,5 − 2·9,8 ≈ 13,73 N

Ahora el peso ayuda a producir la resultante centrípeta.

Ejemplo 3: posición lateral

Para m = 1 kg, r = 2 m, v = 4 m/s y θ = π/2:

T = mv²/r = 8 N a_t = −g = −9,8 m/s²

El peso es completamente tangencial y la tensión es completamente radial.

Ejemplo 4: resultado físicamente imposible para una cuerda

En el punto superior, una masa se mueve con v²/r = 4 m/s²:

T = m(4 − 9,8) < 0

La cuerda no puede ejercer esa fuerza hacia afuera. Se afloja y la masa abandona la trayectoria circular impuesta.

16.16 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

dibujar una fuerza centrípeta adicional en el diagrama;
usar los mismos signos radiales en todos los puntos sin considerar la orientación de cada fuerza;
igualar siempre T a mv²/r y olvidar otras fuerzas radiales;
suponer que el peso es siempre tangencial o siempre radial;
confundir rapidez v con componente tangencial firmada;
interpretar una tensión o normal negativa como una fuerza física válida;
usar la rapidez de otra posición en la ecuación radial;
reemplazar automáticamente el rozamiento estático por μ_sN;
olvidar que las componentes locales giran con la partícula.

Ejercicios propuestos

Una masa de 3 kg gira sobre una mesa con r = 2 m y v = 5 m/s. Calculá la tensión radial.
En el punto inferior de un círculo vertical, m = 1 kg, r = 2 m y v = 4 m/s. Calculá T.
Para los mismos datos, calculá T en el punto superior e interpretá el resultado.
En θ = π/3, calculá W_r, W_t y a_t para m = 2 kg y g = 9,8 m/s².
Determiná la rapidez mínima en la parte superior para una cuerda de radio 2,5 m.
Una fuerza F⃗ = (6, −8) N actúa cuando θ = π/2, usando la base del círculo centrado en el origen estudiada en el tema 12. Calculá F_r y F_t.
Explicá por qué α puede ser cero en el punto inferior aunque la tensión sea grande.
En un círculo vertical, ¿qué información adicional hace falta para conocer cómo cambia v entre dos posiciones?

Ver soluciones y explicaciones

T = mv²/r = 3·25/2 = 37,5 N.
Abajo, T = mv²/r + mg = 1·16/2 + 9,8 = 17,8 N.
Arriba, T = mv²/r − mg = 8 − 9,8 = −1,8 N. Una cuerda no puede sostener ese estado; se aflojaría.
W_r = mg cos(π/3) = 9,8 N; W_t = −mg sin(π/3) ≈ −16,97 N; a_t = −g sin(π/3) ≈ −8,49 m/s².
v_mín = √(gr) = √(9,8·2,5) ≈ 4,95 m/s.
Para θ = π/2, ê_r = (0,1) y ê_t = (−1,0). F_r = −8 N y F_t = −6 N.
En el punto inferior, el peso y la tensión son radiales y no hay resultante tangencial. La tensión produce aceleración radial, no angular.
Hace falta relacionar el movimiento entre posiciones, por ejemplo mediante conservación de energía, trabajo y energía, o integración de la ecuación tangencial.

16.17 Ideas para recordar

Las ecuaciones radial y tangencial son proyecciones de ΣF⃗ = ma⃗.
Con ê_r hacia afuera: ΣF_r = −mv²/r.
En la tangente: ΣF_t = ma_t = mrα.
Una fuerza oblicua puede contribuir en ambas ecuaciones.
La rapidez usada en la ecuación radial corresponde a la posición analizada.
Una cuerda o una superficie unilateral no puede ejercer cualquier signo de fuerza.
Un resultado negativo para T o N suele señalar pérdida de tensión o contacto.
El diagrama de cuerpo libre y la convención de signos deben preceder a las ecuaciones.

En el próximo tema aplicaremos este método a curvas planas y peraltadas, donde la normal y el rozamiento determinan qué velocidades son posibles.

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