17. Curvas planas y peraltadas: normal, rozamiento y velocidad

17.1 Qué necesita un vehículo para curvar

Un vehículo de masa m que describe una curva horizontal de radio r con rapidez v necesita una aceleración v²/r dirigida hacia el centro. Por la segunda ley de Newton, la resultante horizontal interna debe ser:

No hay una fuerza adicional llamada “centrípeta”. En una curva plana, esa resultante suele provenir del rozamiento. En una curva peraltada, la fuerza normal también posee una componente horizontal hacia el centro.

17.2 Curva plana: diagrama de fuerzas

En una calzada horizontal actúan el peso mg hacia abajo, la normal N hacia arriba y el rozamiento estático f_s horizontal. Si no hay aceleración vertical:

La ecuación radial hacia el centro es:

El rozamiento estático adopta el valor requerido mientras no supere su máximo. Las ruedas no necesitan estar deslizando para que exista esta fuerza.

17.3 Rapidez máxima en una curva plana

La magnitud del rozamiento estático cumple |f_s| ≤ μ_sN. En el límite de adherencia:

La masa se cancela en este modelo. Eso no significa que todas las situaciones reales sean independientes de la masa: los neumáticos, la suspensión, la carga aerodinámica y el estado de la calzada pueden introducir otros efectos.

17.4 Qué es el peralte

Una curva está peraltada cuando la superficie se inclina de modo que el borde exterior queda más alto que el interior. Si β es el ángulo de la calzada respecto de la horizontal, la normal queda inclinada β respecto de la vertical.

La componente vertical de N puede equilibrar el peso, mientras que su componente horizontal apunta hacia el centro:

Esta geometría permite curvar incluso sin rozamiento lateral, siempre que la rapidez tenga un valor específico.

17.5 Curva peraltada sin rozamiento

Si ignoramos el rozamiento, las ecuaciones vertical y radial son:

Al dividir la segunda ecuación por la primera se eliminan N y m:

A esta rapidez, denominada rapidez de diseño, no se necesita rozamiento transversal. El vehículo sí necesita fuerzas tangenciales si está acelerando o frenando.

17.6 Por qué existe una rapidez de diseño

Para un β y un r dados, la orientación de la normal fija la relación entre sus componentes horizontal y vertical. Como la componente vertical debe sostener el peso, queda determinada también la componente radial.

• Si v = v_diseño, el rozamiento lateral requerido es cero.
• Si v > v_diseño, hace falta una fuerza adicional cuesta abajo del peralte, hacia el centro.
• Si v < v_diseño, hace falta rozamiento cuesta arriba del peralte, hacia el exterior.

La dirección del rozamiento se opone a la tendencia de deslizamiento relativo, no necesariamente al movimiento hacia adelante del vehículo.

17.7 Peralte con rozamiento: fuerzas y signos

Tomemos positiva la dirección horizontal hacia el centro y positiva la vertical hacia arriba. Definimos f positiva cuando apunta cuesta abajo del peralte. Sus componentes son f cos β hacia el centro y −f sin β en vertical.

Al resolver estas ecuaciones para una rapidez cualquiera:

Si f resulta positiva, actúa cuesta abajo; si resulta negativa, actúa cuesta arriba. La condición de adherencia es |f| ≤ μ_sN.

17.8 Velocidad máxima con rozamiento

A gran rapidez, el vehículo tiende a subir hacia el borde exterior y el rozamiento debe actuar cuesta abajo. En el límite f = μ_sN:

La expresión supone que el denominador es positivo. Para β = 0 recuperamos la curva plana:

17.9 Velocidad mínima con rozamiento

A baja rapidez, el vehículo tiende a deslizar cuesta abajo hacia el interior. El rozamiento actúa cuesta arriba. En el límite f = −μ_sN:

Si sin β − μ_scos β ≤ 0, el rozamiento disponible puede sostener al vehículo incluso en reposo y se toma v_mín = 0. Esto equivale a μ_s ≥ tan β.

17.10 Intervalo de velocidades posibles

Estos límites se refieren al rozamiento transversal necesario para la curva. Frenar, acelerar, irregularidades o una calzada húmeda pueden reducir el margen disponible.

17.11 Unidades y conversiones

Las fórmulas del SI requieren r en metros, g en m/s², β en radianes al usar funciones de JavaScript y v en m/s. Para convertir velocidades:

Los coeficientes de rozamiento y tan β no tienen unidades. El ángulo mostrado en grados debe convertirse antes de llamar a Math.sin, Math.cos o Math.tan.

17.12 Modelo y realidad

Las ecuaciones describen un vehículo tratado como partícula que mantiene altura y radio constantes. En una situación real también influyen la distribución de carga entre neumáticos, deformaciones, suspensión, aerodinámica, pendiente longitudinal, maniobras y cambios del pavimento.

El valor de μ_s no es una constante universal: depende de los materiales y condiciones de contacto. Estas fórmulas sirven para comprender relaciones físicas y resolver el modelo indicado, no para fijar velocidades seguras de conducción.

17.13 Actividad interactiva: intervalo de velocidades

Modificá el radio, el peralte, el rozamiento y la rapidez. El laboratorio resuelve N y f, compara |f| con μ_sN y muestra el sentido necesario del rozamiento.

17.14 Implementación con JavaScript

function analizarCurvaPeraltada({
  masa,
  radio,
  rapidez,
  angulo,
  muEstatico,
  gravedad = 9.8
}) {
  const sin = Math.sin(angulo);
  const cos = Math.cos(angulo);
  const aceleracionRadial = rapidez ** 2 / radio;

  const normal = masa * (
    gravedad * cos + aceleracionRadial * sin
  );
  // Positivo: cuesta abajo y hacia el centro.
  const rozamiento = masa * (
    aceleracionRadial * cos - gravedad * sin
  );
  const limite = muEstatico * normal;
  const rapidezDiseno = Math.sqrt(
    radio * gravedad * Math.tan(angulo)
  );

  const razonMin = (sin - muEstatico * cos)
    / (cos + muEstatico * sin);
  const razonMax = (sin + muEstatico * cos)
    / (cos - muEstatico * sin);

  return {
    normal,
    rozamiento,
    limite,
    rapidezDiseno,
    rapidezMinima: Math.sqrt(
      radio * gravedad * Math.max(0, razonMin)
    ),
    rapidezMaxima: Math.sqrt(radio * gravedad * razonMax),
    sinDeslizamiento: Math.abs(rozamiento) <= limite
  };
}

const resultado = analizarCurvaPeraltada({
  masa: 1000,
  radio: 80,
  rapidez: 20,
  angulo: 15 * Math.PI / 180,
  muEstatico: 0.3
});

console.log(resultado);

El rozamiento conserva su signo para comunicar el sentido. Antes de usar la fórmula de rapidez máxima en un programa general conviene comprobar que cos − μ·sin sea positivo.

17.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: curva plana seca

Para r = 50 m, μ_s = 0,60 y g = 9,8 m/s²:

Ejemplo 2: peralte sin rozamiento

Una curva de radio 100 m se diseña para 20 m/s:

Ejemplo 3: rapidez de diseño conocida

Para r = 80 m y β = 15°:

Ejemplo 4: dirección del rozamiento

En la curva anterior, un vehículo circula a 10 m/s, menos que la rapidez de diseño. Sin rozamiento, tendería a descender por el peralte; por eso el rozamiento estático necesario apunta cuesta arriba, hacia el exterior.

17.16 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• dibujar una fuerza centrípeta adicional;
• suponer que N = mg en una curva peraltada;
• hacer que el rozamiento siempre apunte hacia el centro;
• usar f_s = μ_sN aunque el vehículo no esté al límite;
• confundir el ángulo de la calzada con el ángulo de la normal respecto de la horizontal;
• usar kilómetros por hora directamente en fórmulas del SI;
• introducir grados directamente en funciones trigonométricas de JavaScript;
• olvidar que existe una rapidez mínima cuando el peralte es grande respecto del rozamiento;
• interpretar el límite teórico como velocidad segura de manejo.

Ejercicios propuestos

1. Calculá la rapidez máxima en una curva plana de r = 40 m y μ_s = 0,50.
2. ¿Qué coeficiente mínimo necesita una curva plana de radio 60 m para circular a 18 m/s?
3. Calculá el peralte sin rozamiento para r = 120 m y v = 25 m/s.
4. Una curva tiene r = 75 m y β = 12°. Calculá su rapidez de diseño.
5. Explicá el sentido del rozamiento si un vehículo circula por debajo de la rapidez de diseño.
6. Para β = 0, verificá que la fórmula general de v_máx se reduce a √(μ_sgr).
7. Con r = 80 m, β = 15° y μ_s = 0,30, calculá v_mín y v_máx.
8. ¿Por qué la masa se cancela en las velocidades límite del modelo?

17.17 Ideas para recordar

• En una curva plana, el rozamiento estático suele proporcionar la resultante radial.
• La rapidez máxima plana ideal es v_máx = √(μ_sgr).
• En una curva peraltada, la normal posee componentes vertical y radial.
• Sin rozamiento, tan β = v²/(rg).
• Por debajo de la rapidez de diseño, el rozamiento actúa cuesta arriba; por encima, cuesta abajo.
• El rozamiento estático debe satisfacer |f| ≤ μ_sN.
• Con rozamiento existe un intervalo de velocidades, no una única velocidad posible.
• Los límites del modelo no sustituyen las velocidades legales y seguras.

En el próximo tema cambiaremos de observador y estudiaremos los sistemas de referencia en rotación y las fuerzas aparentes.