18. Sistemas de referencia en rotación y fuerzas aparentes

18.1 El movimiento depende del observador

La posición, la velocidad y la aceleración se miden respecto de un sistema de referencia. Una persona parada junto a una calesita y otra que viaja sobre ella pueden describir de manera distinta el mismo objeto.

Para el observador exterior, los ejes permanecen fijos y un punto sujeto a la plataforma describe una circunferencia. Para el observador que gira con ella, ese punto puede estar en reposo.

18.2 Qué es un sistema inercial

Un sistema inercial es aquel en el que una partícula aislada permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. En él, la segunda ley adopta su forma habitual:

Un sistema cuyos ejes rotan respecto de un marco inercial tiene aceleración incluso si su origen permanece fijo. Por eso no es inercial y no puede usar la ecuación anterior con la aceleración relativa sin agregar correcciones.

En problemas cotidianos solemos tratar el laboratorio o el suelo como aproximadamente inerciales cuando los efectos de la rotación terrestre son despreciables para la precisión buscada.

18.3 Derivada de un vector en ejes que giran

Sea A⃗ un vector observado desde un marco que gira con velocidad angular Ω⃗. Su derivada medida en el marco inercial y la medida en el marco rotante se relacionan mediante:

El término Ω⃗ × A⃗ aparece porque los vectores de la base rotante cambian de dirección. Esta relación se aplica primero a la posición para obtener velocidades y luego otra vez para obtener aceleraciones.

18.4 Relación entre velocidades

Si ambos marcos comparten un origen fijo, la velocidad inercial de una partícula es:

v⃗_rel es la velocidad que mide el observador rotante. El segundo término es la velocidad debida al movimiento de los propios ejes.

Si la partícula está quieta sobre una plataforma, v⃗_rel = 0, pero el observador exterior mide v⃗_I = Ω⃗ × r⃗.

18.5 Relación entre aceleraciones

Al derivar nuevamente, para un origen común y fijo obtenemos:

donde α⃗ = dΩ⃗/dt. Los términos representan:

• a⃗_rel: aceleración vista desde la plataforma;
• 2Ω⃗×v⃗_rel: aceleración de Coriolis;
• Ω⃗×(Ω⃗×r⃗): aceleración centrípeta asociada con la rotación de los ejes;
• α⃗×r⃗: aceleración tangencial asociada con el cambio de Ω⃗.

Si el origen del marco rotante también acelera, debe agregarse su aceleración traslacional a la relación.

18.6 Newton desde el marco rotante

Sustituimos la relación de aceleraciones en ΣF⃗_real = ma⃗_I y aislamos ma⃗_rel:

Estas fuerzas se denominan aparentes, ficticias o de inercia. No corresponden a una interacción con otro cuerpo: se introducen para escribir la dinámica usando la aceleración relativa.

18.7 Fuerza centrífuga

Para una plataforma que gira alrededor del eje z y una partícula situada a distancia perpendicular r:

Su módulo crece linealmente con m y r, y cuadráticamente con |ω|. Apunta hacia afuera sin importar si el giro es horario o antihorario.

Una persona quieta en la plataforma puede sentir que tiende a desplazarse hacia afuera. En el marco inercial no se necesita una fuerza real hacia afuera para explicarlo: su cuerpo tiende a mantener su velocidad mientras el piso debe ejercer una fuerza real hacia el centro para curvar la trayectoria.

18.8 Centrífuga y centrípeta no forman acción y reacción

La resultante centrípeta es una suma de fuerzas reales dirigida hacia el centro y se usa en un marco inercial. La centrífuga es una fuerza aparente dirigida hacia afuera y se introduce en un marco rotante.

No constituyen un par de acción y reacción: esas dos fuerzas se asignan en descripciones diferentes y, además, los pares de la tercera ley actúan sobre cuerpos distintos.

18.9 Fuerza de Coriolis

La fuerza de Coriolis aparece cuando una partícula se mueve con velocidad v⃗_rel respecto del marco rotante:

Es perpendicular tanto a Ω⃗ como a v⃗_rel. Su módulo es:

γ es el ángulo entre Ω⃗ y v⃗_rel. En una plataforma horizontal, ambos son perpendiculares y sin γ = 1. Si no hay movimiento relativo, la fuerza de Coriolis es cero.

18.10 Dirección de Coriolis en una plataforma

Supongamos Ω⃗ hacia arriba, correspondiente a giro antihorario visto desde arriba. Si la partícula se mueve radialmente hacia afuera, Ω⃗×v⃗_rel apunta en sentido tangencial positivo y F⃗_cor en sentido tangencial negativo.

Si se invierte ω o se invierte la velocidad relativa, también se invierte Coriolis. La regla del producto vectorial es más segura que memorizar “izquierda” o “derecha” sin especificar orientación.

18.11 Fuerza de Euler

Cuando la plataforma acelera o frena su rotación, α⃗ ≠ 0 y aparece:

En el plano, si α es positiva respecto del sentido angular elegido:

Esta fuerza aparente explica por qué, desde un vehículo o plataforma que comienza a girar, los objetos parecen retrasarse en sentido opuesto a la aceleración angular. Si ω es constante, F⃗_E = 0.

18.12 Ejemplo de equilibrio en el marco rotante

Un bloque permanece quieto a distancia r sobre un disco que gira con ω constante. El rozamiento estático real apunta hacia el centro y tiene módulo mω²r.

No se debe sumar la centrífuga en la ecuación inercial ni omitirla después de decidir trabajar con a⃗_rel en el marco rotante.

18.13 La Tierra como sistema rotante

La Tierra gira, por lo que un sistema fijo a su superficie no es exactamente inercial. En escalas grandes, Coriolis contribuye a la desviación de masas de aire, corrientes oceánicas y proyectiles de largo alcance. La fuerza centrífuga también modifica ligeramente el peso efectivo.

En un modelo local terrestre, la dirección y magnitud de estos términos dependen de la latitud y de la orientación del movimiento. Para experimentos pequeños y breves suelen ser despreciables; para dinámica atmosférica no lo son.

18.14 Actividad interactiva: fuerzas aparentes en una plataforma

Situá una partícula sobre una plataforma horizontal. Variá ω, α y la velocidad relativa. El laboratorio calcula y dibuja las tres fuerzas aparentes vistas desde el sistema rotante.

18.15 Implementación con JavaScript

function fuerzasAparentesPlanas({
  masa,
  posicion,
  velocidadRelativa,
  omega,
  alfa
}) {
  const { x, y } = posicion;
  const { x: vx, y: vy } = velocidadRelativa;

  const centrifuga = {
    x: masa * omega ** 2 * x,
    y: masa * omega ** 2 * y
  };
  const coriolis = {
    x: 2 * masa * omega * vy,
    y: -2 * masa * omega * vx
  };
  const euler = {
    x: masa * alfa * y,
    y: -masa * alfa * x
  };

  return {
    centrifuga,
    coriolis,
    euler,
    total: {
      x: centrifuga.x + coriolis.x + euler.x,
      y: centrifuga.y + coriolis.y + euler.y
    }
  };
}

const fuerzas = fuerzasAparentesPlanas({
  masa: 1,
  posicion: { x: 2.5, y: 0 },
  velocidadRelativa: { x: 2, y: 0 },
  omega: 1.5,
  alfa: 0.8
});

console.log(fuerzas);

Las fórmulas suponen que el eje de rotación es z y que x e y pertenecen al plano. Los signos surgen de los productos vectoriales, por lo que también funcionan con ω y α negativas.

18.16 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: bloque quieto en un disco

Un bloque de 2 kg permanece a 1,5 m del eje de un disco que gira a 3 rad/s. En el marco rotante:

Para que el bloque esté quieto, una fuerza real neta de 27 N debe actuar hacia el centro.

Ejemplo 2: movimiento radial

Sobre una plataforma antihoraria con ω = 2 rad/s, una masa de 0,5 kg se mueve radialmente hacia afuera a 4 m/s:

La dirección es tangencial negativa. Si la masa se moviera hacia adentro, la dirección se invertiría.

Ejemplo 3: plataforma que acelera

Una masa de 3 kg está a 2 m del eje y la plataforma tiene α = 1,5 rad/s²:

Para α positiva, la fuerza de Euler apunta en sentido tangencial negativo.

Ejemplo 4: partícula en el eje

Si r = 0, las fuerzas centrífuga y de Euler son cero. Coriolis todavía puede existir si la partícula cruza el eje con v⃗_rel ≠ 0 y Ω⃗ ≠ 0.

18.17 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• mezclar fuerzas aparentes con una ecuación escrita en el marco inercial;
• tratar la centrífuga y la resultante centrípeta como un par de acción y reacción;
• atribuir las fuerzas aparentes a una interacción con otro cuerpo;
• incluir Coriolis aunque v⃗_rel = 0;
• incluir Euler cuando ω es constante;
• olvidar el factor 2 en la fuerza de Coriolis;
• determinar direcciones sin respetar el producto vectorial;
• usar la velocidad inercial donde la fórmula requiere velocidad relativa;
• suponer que cualquier sistema unido a la Tierra es exactamente inercial.

Ejercicios propuestos

1. Calculá la fuerza centrífuga aparente sobre 4 kg a 2 m del eje cuando |ω| = 1,5 rad/s.
2. ¿Qué fuerzas aparentes son cero para un objeto quieto respecto de una plataforma que gira con ω constante?
3. Una masa de 2 kg se mueve a 3 m/s respecto de una plataforma con ω = 4 rad/s, perpendicular al eje. Calculá el módulo de Coriolis.
4. Para ω positiva, indicá la dirección de Coriolis si la velocidad relativa es radial hacia adentro.
5. Calculá la fuerza de Euler sobre 1,2 kg a 0,50 m del eje si α = −3 rad/s².
6. Explicá el mismo bloque quieto sobre un disco desde los marcos inercial y rotante.
7. En el código del tema, calculá las tres fuerzas para m = 2 kg, r⃗ = (1,0) m, v⃗_rel = (0,3) m/s, ω = 2 rad/s y α = 0.
8. ¿Por qué Coriolis no cambia directamente la rapidez relativa?

18.18 Ideas para recordar

• Un marco que gira respecto de uno inercial es no inercial.
• En el marco rotante se agregan fuerzas aparentes para usar ma⃗_rel.
• La centrífuga apunta hacia afuera y vale mω²r en el movimiento plano.
• Coriolis requiere velocidad relativa y contiene el factor 2.
• Euler requiere aceleración angular del marco.
• Las fuerzas aparentes no son interacciones ni pares de tercera ley.
• Una descripción debe mantenerse completa dentro del marco elegido.
• Los dos observadores deben predecir los mismos acontecimientos físicos.

En el próximo tema distinguiremos partículas y cuerpos rígidos y comenzaremos el estudio sistemático de la rotación de objetos extensos alrededor de un eje fijo.