19. Partícula y cuerpo rígido: traslación, rotación y eje fijo

19.1 Los modelos conservan lo importante

En física no siempre representamos un objeto con todos sus detalles. Elegimos un modelo que conserve la información relevante para la pregunta y descarte lo que no influye en el resultado buscado.

Una pelota puede tratarse como partícula para estudiar la trayectoria de su centro, pero ese modelo no permite analizar cómo gira, qué punto toca el suelo o cómo está distribuida su masa.

19.2 Modelo de partícula

Una partícula posee masa pero no tamaño ni orientación. Su configuración queda determinada por las coordenadas de un punto. En el plano bastan x e y; en el espacio, x, y y z.

El modelo resulta apropiado cuando:

• las dimensiones del objeto son pequeñas comparadas con las distancias del problema;
• solo interesa el movimiento de su centro de masa;
• la orientación no afecta las fuerzas o el resultado buscado;
• no necesitamos estudiar rotación, deformación ni puntos de contacto.

19.3 Modelo de cuerpo rígido

Un cuerpo rígido es un sistema ideal de partículas cuyas distancias mutuas permanecen constantes:

Esta restricción impide deformaciones. El cuerpo puede cambiar de posición y orientación, pero mantiene su forma y tamaño.

Ningún material real es perfectamente rígido: todos se deforman bajo fuerzas. El modelo es útil cuando esas deformaciones son pequeñas respecto de las escalas y la precisión del problema.

19.4 Centro de masa

El centro de masa (CM) resume la posición media de la masa del cuerpo. Para partículas discretas:

El movimiento del CM obedece a la resultante de las fuerzas externas:

Esta ecuación permite tratar la traslación del cuerpo como la de una partícula de masa M situada en el CM. Sin embargo, no describe por sí sola el cambio de orientación.

19.5 Traslación pura

En una traslación pura, cualquier segmento unido al cuerpo permanece paralelo a sí mismo. La orientación no cambia y todos los puntos experimentan el mismo desplazamiento durante un intervalo dado.

La trayectoria no tiene que ser recta. Un cuerpo puede realizar traslación curvilínea si su orientación permanece fija mientras todos sus puntos recorren curvas congruentes.

19.6 Rotación pura

En una rotación, la orientación cambia. Si existe un eje fijo, cada punto del cuerpo permanece a distancia constante del eje y describe una circunferencia situada en un plano perpendicular a él.

Todos los puntos comparten las magnitudes angulares:

Pero las magnitudes lineales dependen de la distancia perpendicular ρ al eje:

Los puntos situados sobre el eje tienen ρ = 0 y permanecen en reposo.

19.7 Qué significa “eje fijo”

Un eje de rotación es una línea, no necesariamente una pieza material. En rotación alrededor de un eje fijo, esa línea conserva su posición y dirección respecto del marco de referencia elegido.

• Una puerta ideal gira alrededor de la línea de sus bisagras.
• Una rueda montada puede girar alrededor de su eje central.
• Una polea soportada por un cojinete tiene un eje fijo aunque cada punto de su borde se mueva.

El eje puede atravesar el cuerpo o encontrarse fuera de él. La distancia relevante de cada punto es la perpendicular al eje.

19.8 Grados de libertad en el plano

Una partícula libre en el plano necesita dos coordenadas, x e y. Un cuerpo rígido libre necesita además un ángulo de orientación θ:

Las uniones, guías y contactos introducen restricciones que reducen los grados de libertad.

19.9 Movimiento plano general

El movimiento más general de un cuerpo rígido en el plano puede descomponerse en:

Para un punto P del cuerpo:

r⃗′_P está fijo en el cuerpo, pero gira respecto de los ejes del laboratorio. Esta descomposición no agrega dos movimientos independientes: es una manera conveniente de describir un único movimiento.

19.10 Velocidad de los puntos

Al derivar la posición de P obtenemos, para un cuerpo rígido:

El primer término es común a todos los puntos y proviene de la traslación. El segundo depende de la ubicación de P respecto del CM y proviene de la rotación.

En el tema siguiente desarrollaremos esta relación para distintos puntos y geometrías.

19.11 Aceleración de los puntos

La aceleración también se separa en traslación del CM y términos rotacionales:

El segundo término es tangencial respecto del CM y el tercero es radial hacia el CM. Incluso con ω constante, dos puntos diferentes pueden poseer aceleraciones distintas.

19.12 Rotación no significa movimiento circular del cuerpo

Un cuerpo rígido no recorre una sola circunferencia como conjunto. En torno a un eje fijo, cada punto describe su propia circunferencia con radio igual a su distancia al eje.

Tampoco todo objeto que sigue una trayectoria circular está rotando sobre sí mismo. Una cabina ideal de una rueda panorámica puede trasladarse por una circunferencia manteniendo aproximadamente vertical su orientación.

19.13 Posición del eje y distribución de masa

Dos rotaciones con la misma ω pueden requerir respuestas dinámicas diferentes si cambia el eje. La distribución de la masa respecto de él será esencial al estudiar momento de inercia, torque y energía de rotación.

Por ahora basta reconocer que especificar “el objeto gira” no determina completamente el modelo. También debemos indicar:

• respecto de qué marco se observa;
• dónde está el eje o punto de referencia;
• si el eje permanece fijo;
• cuál es el sentido positivo del ángulo;
• si el cuerpo también se traslada.

19.14 Elegir el modelo adecuado

Un modelo más detallado no siempre es mejor: agrega variables y cálculos. Debe ser tan simple como permita la pregunta y tan completo como exija la precisión.

19.15 Actividad interactiva: partícula y cuerpo rígido

Elegí un modelo de movimiento y avanzá el tiempo. La figura gris indica la configuración inicial; la violeta muestra la actual. El punto rojo P permite observar la contribución rotacional.

19.16 Implementación con JavaScript

function estadoPuntoCuerpoRigido({
  centro,
  velocidadCentro,
  angulo,
  omega,
  puntoLocal
}) {
  const cos = Math.cos(angulo);
  const sin = Math.sin(angulo);

  // Posición del punto respecto del CM, rotada al marco global.
  const relativo = {
    x: puntoLocal.x * cos - puntoLocal.y * sin,
    y: puntoLocal.x * sin + puntoLocal.y * cos
  };

  return {
    posicion: {
      x: centro.x + relativo.x,
      y: centro.y + relativo.y
    },
    velocidad: {
      x: velocidadCentro.x - omega * relativo.y,
      y: velocidadCentro.y + omega * relativo.x
    }
  };
}

const punto = estadoPuntoCuerpoRigido({
  centro: { x: 3, y: 1 },
  velocidadCentro: { x: 1.5, y: 0.5 },
  angulo: 1.6,
  omega: 0.8,
  puntoLocal: { x: 1, y: 0.5 }
});

console.log(punto);

El punto local permanece fijo en el cuerpo. Primero se rota para obtener su posición relativa global y después se usa ω⃗×r⃗′ = (−ωr′_y, ωr′_x) para calcular su contribución a la velocidad.

19.17 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: todos los puntos en traslación

Una caja se mueve sin cambiar su orientación con v⃗_CM = (3, −1) m/s. Cualquier punto A fijo a la caja tiene:

Ejemplo 2: disco con eje central fijo

Un disco gira a 4 rad/s. Un punto a 0,20 m del eje tiene rapidez 0,80 m/s; otro a 0,50 m tiene 2,0 m/s. Ambos comparten la misma ω.

Ejemplo 3: punto de un cuerpo en movimiento general

En cierto instante v⃗_CM = (2,0) m/s, ω = 3 rad/s y r⃗′_P = (0,1) m:

Ejemplo 4: punto sobre el eje

Si P pertenece a un eje fijo, ρ = 0 y su velocidad rotacional es cero, aunque otros puntos del mismo cuerpo se muevan.

19.18 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• usar el modelo de partícula cuando la orientación es parte de la pregunta;
• suponer que rígido significa que ninguna de sus partículas se mueve;
• confundir traslación rectilínea con toda traslación posible;
• afirmar que todos los puntos de un cuerpo giratorio tienen la misma rapidez lineal;
• confundir el recorrido circular del CM con la rotación del cuerpo;
• creer que el eje debe atravesar siempre el centro de masa;
• sumar módulos en lugar de vectores al calcular v⃗_P;
• olvidar especificar el marco y el punto de referencia;
• aplicar el modelo rígido cuando la deformación es esencial.

Ejercicios propuestos

1. Indicá si conviene modelar como partícula o cuerpo rígido: a) órbita de un satélite; b) orientación de ese satélite; c) giro de una puerta.
2. Explicá cómo puede un cuerpo realizar traslación sobre una trayectoria curva.
3. Una rueda con eje fijo gira a 5 rad/s. Calculá las rapideces de puntos a 0,10 m y 0,40 m del eje.
4. ¿Cuántos grados de libertad tiene un cuerpo rígido libre en el plano y qué variables pueden representarlos?
5. Para v⃗_CM = (1,2) m/s, ω = 2 rad/s y r⃗′_P = (3,0) m, calculá v⃗_P.
6. Repetí el ejercicio anterior para r⃗′_Q = (0, −1) m.
7. ¿Puede el centro de masa estar quieto mientras otros puntos se mueven? Proporcioná un ejemplo.
8. ¿Qué información adicional a r⃗_CM se necesita para reconstruir la configuración plana de un cuerpo rígido?

19.19 Ideas para recordar

• Una partícula conserva masa y traslación, pero no tamaño ni orientación.
• En un cuerpo rígido, las distancias entre sus partículas permanecen constantes.
• El centro de masa describe la traslación global del cuerpo.
• En traslación pura todos los puntos tienen la misma velocidad.
• En rotación de eje fijo todos comparten θ, ω y α, pero no la rapidez lineal.
• Un cuerpo rígido libre en el plano necesita x_CM, y_CM y θ.
• El movimiento plano general combina traslación del CM y rotación alrededor de él.
• El modelo debe elegirse según la pregunta, no según el tamaño cotidiano del objeto.

En el próximo tema estudiaremos con detalle la cinemática de los puntos de un cuerpo rígido en rotación.