2. Ángulos en radianes, orientación y sentido de giro

2.1 De la orientación a una medida

En el tema anterior distinguimos la trayectoria circular de un punto y la rotación de un cuerpo. Para describirlas cuantitativamente necesitamos medir cuánto se separa una dirección de otra. Esa medida es un ángulo.

Una orientación angular no queda definida por un número aislado. Primero elegimos una dirección de referencia, un origen para los ángulos y un sentido positivo de giro. En el plano cartesiano usaremos habitualmente el eje x positivo como referencia y el sentido antihorario como positivo.

2.2 El ángulo central

Tomemos dos radios que parten del centro de una circunferencia. La abertura entre ellos define un ángulo central. Al pasar del radio inicial al final también queda determinado un arco sobre la circunferencia.

Podemos medir la misma abertura en grados o radianes. Los grados dividen una vuelta en 360 partes iguales. Los radianes comparan la longitud del arco con el radio y por eso se conectan de forma natural con las distancias recorridas en movimientos circulares.

2.3 Definición de radián

Si un arco tiene longitud s en una circunferencia de radio r, el ángulo central medido en radianes es:

Un ángulo mide 1 radián cuando la longitud del arco es igual al radio. Si r = 2 m y el arco mide 2 m, θ = 1 rad. Si el arco mide 5 m sobre una circunferencia de radio 2 m, θ = 2,5 rad.

Como s y r son longitudes, su cociente no tiene dimensión física:

El radián es una unidad adimensional con nombre propio. Escribimos rad para comunicar claramente que el número representa un ángulo.

2.4 Una vuelta completa equivale a 2π radianes

La longitud de una circunferencia completa es 2πr. Al dividirla por el radio obtenemos el ángulo de una vuelta:

Estas equivalencias conviene comprender a partir de la vuelta, no memorizarlas como datos desconectados.

2.5 Convertir grados y radianes

La igualdad 180° = π rad proporciona los factores de conversión:

Por ejemplo, 60° · π/180 = π/3 rad. En sentido inverso, 2,4 rad · 180/π ≈ 137,5°. Las unidades que se cancelan deben formar parte del razonamiento.

2.6 Orientación angular

La posición angular u orientación angular θ indica la dirección de un radio o de una línea fija al cuerpo respecto de la dirección de referencia. Con eje x positivo como referencia:

• θ = 0 apunta hacia la derecha;
• θ = π/2 apunta hacia arriba;
• θ = π apunta hacia la izquierda;
• θ = 3π/2 apunta hacia abajo.

En una partícula sobre una circunferencia, el radio que une el centro con la partícula define su posición angular. En un cuerpo rígido podemos usar una marca o línea fija al cuerpo para indicar su orientación.

2.7 Sentido positivo y ángulos con signo

Adoptaremos la convención usual del plano cartesiano: los giros antihorarios son positivos y los horarios son negativos. Así, un cuarto de vuelta antihorario vale +π/2 rad y uno horario vale −π/2 rad.

El signo no representa el tamaño del ángulo sino el sentido en que se mide. Los ángulos +π/2 y −π/2 tienen el mismo módulo, pero conducen a orientaciones finales distintas si parten de la misma dirección.

Otra convención sería válida si se declara y se usa de forma coherente. En interfaces gráficas, además, el eje vertical suele crecer hacia abajo; esto puede hacer que las rotaciones positivas de una biblioteca se vean horarias. Siempre debemos revisar la convención de la herramienta.

2.8 Desplazamiento angular

Si la orientación cambia desde θ_i hasta θ_f, el desplazamiento angular es:

Si pasa de π/6 a 2π/3, entonces Δθ = 2π/3 − π/6 = π/2 rad. El resultado positivo indica un cambio antihorario con nuestra convención.

La resta directa funciona cuando θ_f conserva el historial de vueltas. Si solo conocemos dos orientaciones normalizadas, pueden existir varios recorridos posibles entre ellas. Saber dónde empezó y terminó no siempre informa cuántas vueltas realizó.

2.9 Ángulos equivalentes

Después de una vuelta completa, una dirección vuelve a coincidir con la inicial. Por eso dos ángulos que difieren en un múltiplo entero de 2π representan la misma orientación:

π/2, 5π/2 y −3π/2 apuntan en la misma dirección, pero no describen necesariamente el mismo desplazamiento: pueden contener historiales de vueltas diferentes.

2.10 Normalizar sin perder información

Normalizar consiste en reemplazar un ángulo por otro equivalente dentro de un intervalo elegido, por ejemplo 0 ≤ θ < 2π o −π ≤ θ < π. Resulta útil para dibujar una orientación o comparar direcciones.

Sin embargo, normalizar elimina el número de vueltas completas. En una simulación conviene conservar por separado el ángulo acumulado y calcular una versión normalizada solo cuando haga falta mostrarla.

Para el intervalo 0 ≤ θ < 2π podemos usar:

La segunda operación corrige el resto negativo que producen varios lenguajes, incluido JavaScript.

2.11 Actividad interactiva: explorador de ángulos

Mové el control entre dos vueltas horarias y dos antihorarias. La flecha muestra la orientación final; los resultados conservan también el desplazamiento acumulado.

Compará 90°, 450° y −270°: producen la misma orientación, pero expresan desplazamientos acumulados diferentes.

2.12 Radianes en JavaScript

Las funciones trigonométricas de JavaScript reciben ángulos en radianes. Conviene centralizar las conversiones y dar nombres que indiquen la unidad:

const VUELTA_RAD = 2 * Math.PI;

function gradosARadianes(grados) {
  return grados * Math.PI / 180;
}

function radianesAGrados(radianes) {
  return radianes * 180 / Math.PI;
}

function normalizarAngulo(radianes) {
  return ((radianes % VUELTA_RAD) + VUELTA_RAD) % VUELTA_RAD;
}

const acumuladoRad = gradosARadianes(450);
console.log(acumuladoRad);                  // 7.8539... rad
console.log(normalizarAngulo(acumuladoRad)); // 1.5708... rad

El primer valor conserva una vuelta y un cuarto. El segundo conserva solo la orientación equivalente de un cuarto de vuelta. No conviene reemplazar automáticamente el estado acumulado por el normalizado.

2.13 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: convertir 135°

Aplicamos el factor π/180:

Ejemplo 2: convertir 5π/6 rad

Ejemplo 3: desplazamiento angular

Una marca pasa de θ_i = π/4 a θ_f = 7π/4 conservando el historial positivo:

Ejemplo 4: orientación equivalente

Para normalizar −π/2 en [0, 2π), sumamos una vuelta: −π/2 + 2π = 3π/2. Ambas expresiones apuntan hacia abajo, aunque sus signos sugieren recorridos distintos desde cero.

2.14 Errores frecuentes

• Usar grados en Math.sin o Math.cos: estas funciones esperan radianes.
• Agregar “rad” después de convertir mal: la unidad debe acompañar un factor de conversión correcto.
• Confundir orientación con desplazamiento: una indica una dirección; el otro conserva el cambio recorrido.
• Perder vueltas al normalizar: 5π/2 y π/2 orientan igual, pero no representan el mismo giro acumulado.
• Ignorar el signo: +π/2 y −π/2 corresponden a sentidos opuestos.
• No declarar la referencia: el mismo número puede describir otra dirección si cambia el cero angular.
• Confundir radio con radián: el radio es una longitud; el radián es una unidad angular.
• Redondear π demasiado pronto: conviene conservar expresiones exactas durante los cálculos.

2.15 Ejercicios propuestos

1. Explicá por qué una vuelta completa mide 2π rad.
2. Convertí 30°, 120°, 225° y −90° a radianes.
3. Convertí π/5, 4π/3 y −3π/2 rad a grados.
4. Un arco mide 3 m en una circunferencia de radio 2 m. Calculá el ángulo en radianes.
5. Calculá Δθ si θ_i = π/3 y θ_f = 11π/6.
6. Indicá una orientación equivalente a 13π/6 dentro del intervalo [0, 2π).
7. ¿Por qué 90° y 450° pueden tener la misma orientación pero distinto desplazamiento?
8. Usá las funciones JavaScript para normalizar −7π/2 y expresá el resultado también en grados.

2.16 Ideas para recordar

• Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.
• θ = s/r y una vuelta completa equivale a 2π rad = 360°.
• Usamos normalmente el eje x positivo como referencia y el sentido antihorario como positivo.
• El desplazamiento angular es Δθ = θ_f − θ_i.
• Ángulos que difieren en k·2π tienen la misma orientación.
• Normalizar sirve para expresar una orientación, pero puede eliminar el historial de vueltas.
• Las funciones trigonométricas de JavaScript reciben radianes.

En el próximo tema utilizaremos estas ideas para relacionar el desplazamiento angular con la longitud de arco recorrida por puntos situados a diferentes radios.